1、 考纲定位1了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义2了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用教材回归1三种函数模型的性质函数性质 yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平移图象的变化随x增大逐渐表现为与y轴平行一样随x增大逐渐表现为与x轴平行一样随n值变化而不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxnx0时有axxnlogax.2解函数应用问题的步骤(四步八字)(1)审题：弄清题意，分清
2、条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义以上过程用框图表示如下：解析：因指数函数型增长快，又e2.则应选A.答案：A三基强化1下列函数中，随 x 的增大而增大速度最快的是()Ay 1100ex By100lnxCyx100Dy1002x2某企业去年销售收入1000万元，年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分若年利润必须按p%纳税，且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p%纳税，其他不纳税已知该企业
3、去年共纳税120万元则税率p%为()A10%B12%C25%D40%答案：C解析：利润 300 万元，纳税 300p%万元，年广告费超出年销售收入 2%的部分为20010002%180(万元)，纳税 180p%万元，共纳税 300p%180p%120(万元)，p%1425%.32004年6月30日到银行存入a元，若年利率为x，且按复利计算，到2012年6月30日可取回()Aa(1x)8元Ba(1x)9元Ca(1x8)元Da(1x)8元解析：由已知一年后可取回a(1x)元二年后可取回a(1x)2元，2012年6月30日可取回a(1x)8元答案：A4高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底
4、部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数vf(h)的大致图象是()解析：当hH时，体积为V，故排除A、C，又当开始阶段，由H0过程中，减少相同高度的水，水的体积减少的越来越多，故D不满足要求答案：B考点一 一次函数与二次函数模型的应用(1)在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)，构建一次函数模型，利用一次函数的图象与单调性求解(2)有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问题、利润问题、产量问题等构建二次函数模型，利用二次函数图象与单调性解决例 1 西部山区的某种特产由
5、于运输原因，长期只能在当地销售，当地政府对该项特产的销售投资收益为：每投入 x 万元，可获得利润 P 1160(x40)2100 万元当地政府拟在新的十年发展规划中加快发展此特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年都投入 60 万元的销售投资，在未来 10 年的前 5 年中，每年都从 60 万元中拨出 30 万元用于修建一条公路，5 年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的 5 年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售的投资收益为：每投入 x 万元，可获利润 Q159160(60 x)21192(60 x)万元问从 10 年的总利润看，该规划方案是否具有实施价值？【分
6、析】先由二次函数性质求出实施规划前每年获得的最大利润，从而得10年的总利润W1，再由已知求实施规划后的前5年、后5年的最大利润，得10年的总利润W2，最后比较W1、W2的大小得结论【解】在实施规划前，由题设 P 1160(x40)2100(万元)知，每年只需投入 40 万，即可获得最大利润 100 万元则 10 年的总利润为 W1100101000(万元)实施规划后的前 5 年中，修建公路的费用为 305150 万元，又由题设 P 1160(x40)2100 知，每年投入 30 万元时，利润 P7958(万元)前 5 年的利润和为7958 515027758(万元)设在公路通车的后 5 年中，
7、每年用 x 万元投资于本地的销售，而用剩下的(60 x)万元投资于外地的销售，则其总利润为W2 1160(x40)21005(159160 x21192 x)55(x30)24950.当 x30 时，(W2)max4950(万元)从而 10 年的总利润为277584950(万元)27758 49501000，故该规划方案有极大实施价值变 式 迁 移 1 某 租 赁 公 司 拥 有 汽 车 100辆当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出；当每辆车的月租金增加50元时，未租出的车将会增加一辆租出的车辆每月需要维护费200元(1)当每辆车月租金为3600元时，能租出多少辆车？(2)当每辆车的月租
8、金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少元？解：(1)当每辆车的月租金定为 3600 元时，未租出的车辆数为360030005012，所以这时租出了 88 辆车(2)设每辆车的月租金定为 x(x3000)元，则租赁公司的月收益为 f(x)(100 x300050)(x200)，整理得 f(x)150(8000 x)(x200)150 x2164x32000 150(x4100)2304200.所以，当 x4100 时，f(x)最大最大值为 f(4100)304200，即当每辆车的月租金定为 4100元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为 304200 元考点二 yxax模型函数
9、yxax(a0)也称为“对勾”函数解决“对勾”函数的最值问题通常利用基本不等式，但特别要注意基本不等式中等量成立的条件，如若等号不能成立时，可通过判断函数的单调性解决函数的最值问题例2 某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地，当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大面积是多少？【解】设温室的左侧边长为 xm，则后侧边长为800 x m.蔬 菜 种 植 面 积y (x 4)(800 x 2)808 2(x 1600 x)(4x400)，x1600 x 2x1600 x 80，y80828064
10、8(m2)当且仅当 x1600 x，即 x40，此时800 x 20(m)，y 最大648m2.当矩形温室的左侧边长为 40m，后侧边长为 20m 时，蔬菜的种植面积最大，为 648m2.变式迁移 2 某工厂有一段旧墙长 14m，现准备利用这段旧墙为一面建造平面图形为矩形，面积为 126m2 的厂房，工程条件是：建 1m 新墙的费用为 a 元；修 1m 旧墙费用是a4元；拆去 1m 旧墙，用所得的材料建 1m 新墙的费用为a2元，经讨论有两种方案：(1)利用旧墙的一段 xm(x14)为矩形厂房一面的边长；(2)矩形厂房利用旧墙的一面边长 x14，问如何利用旧墙，即 x 为多少米时，建墙费用最省
11、？(1)、(2)两种方案哪个更好？解：(1)利用旧墙的一段 xm(x14)为矩形一面边长，则修旧墙的费用 xa4元，将剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为(14x)a2元，其余建新墙的费用为(2x2126x14)a 元故总费用为 yx4a 14x2a (2x 252x 14)a a(74 x 252x 7)7a(x4 36x 1)(0 x14)y7a(2x436x 1)35a，当且仅当x436x，即 x12m 时，ymin35a.(2)若利用旧墙的一面矩形边长 x14，则修旧墙的费用为a41472a 元，建新墙的费用为(2x252x 14)a 元，故总费用为：y72a(2x252x 14)a72
12、a2a(x126x 7)(x14)设 14x1x2 则(x1126x1)(x2126x2)(x1x2)x1x2126x1x2.14x1x2，x1x2126.从而x1x2126x1x20，函数 yx126x 在14，)上为增函数故当 x14 时，ymin72a2a(1412614 7)35.5a.综上讨论知，采用第(1)方案，利用旧墙 12m 为矩形的一面边长时，建墙总费用最省，为 35a 元考点三 指数函数模型与幂函数模型指数函数模型的应用是高考的一个主要内容，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型来表示通常可表示为ya(1p)x(其中
13、a为原来的基础数，p为增长率，x为时间)的形式例3 某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答以下问题：(1)写出该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式；(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年以后，该城市人口将达到120万人(精确到1年)；(4)如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年自然增长率应该控制在多少？(参 考 数 据：1.01291.113,1.012101.127，lg1.20.079，lg20.3010，lg1.0120.005，lg1.0090.0039)【解】(1)1年后该城市人口总数为y1001
14、001.2%100(11.2%)2年后该城市人口总数为y100(11.2%)100(11.2%)1.2%100(11.2%)2.3年后该城市人口总数为y100(11.2%)2100(11.2%)21.2%100(11.2%)3.x年后该城市人口总数为y100(11.2%)x.(2)10 年后，人口总数为 100(11.2%)10112.7(万人)(3)设 x 年后该城市人口将达到 120 万人，即 100(11.2%)x120，xlog1.012120100log1.0121.2016(年)(4)由 100(1x%)20120，得(1x%)201.2，两边取对数得 20lg(1x%)lg1.2
15、0.079，所以 lg(1x%)0.07920 0.00395，所以 1x%1.009，得 x0.9，即年自然增长率应该控制在 0.9%.变式迁移3 1999年10月12日“世界60亿人口日”，提出了“人类对生育的选择将决定世界未来”的主题，控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前(1)世界人口在过去40年内翻了一番，问每年人口平均增长率是多少？(2)我国人口在1998年底达到12.48亿，若将人口平均增长率控制在1%以内，我国人口在2008年底至多有多少亿？以下数据供计算时使用：数N1.0101.0151.0171.3102.000对数lgN0.00430.00650.0073 0.1173
16、 0.3010数N3.0005.00012.4813.1113.78对数lgN0.47710.69901.0962 1.1176 1.1392解：(1)设每年人口平均增长率为 x，n 年前的人口数为 y，则y(1x)n60，则当 n40 时，y30，即 30(1x)4060，(1x)402，两边取对数，则 40lg(1x)lg2，则 lg(1x)lg240 0.007525，1x1.017，得 x1.7%.(2)依题意，y12.48(11%)10，得lgylg12.4810lg1.011.1392，y13.78，故人口至多有13.78亿答：每年人口平均增长率为1.7%,2008年人口至多有13
17、.78亿 考情分析高考数学应用题的命题背景常常关注一些与现实生活中密切相关的人文性问题，人口现状、失学儿童的求助、世界环保、人文与社会，这些源于生活而应用于生活的命题形式，是高考命题的首选.函数在实际问题中的应用，是高考的一个新的考查方向考场样题2011北京卷 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800 元，若每批生产 x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为 1 元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品()A60 件 B80 件 C100 件 D120 件【解析】记平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为 f(x)，则 f(x)80
18、0 x8x1x800 x x82800 x x820，当且仅当800 x x8，即 x80 件(x0)时，取最小值，故选 B.答案：B(2)隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值解：(1)设隔热层厚度为 x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)k3x5，1 分再由 C(0)8，得 k40，因此 C(x)403x5.而建造费用为 C1(x)6x.3 分最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 f(x)20C(x)C1(x)20 403x56x 8003x56x(0 x10).5 分易错盘点1审题失误求解函数应用题时，关键环节是审题，审题时一要弄清问题的实际背景，注
19、意隐含条件；二是将文字语言恰当准确的翻译为数学语言，用数学表达式加以表示；三是弄清给出什么条件，解决什么问题，通过何种数学模型加以解决；四是严格按各种数学模型的要求进行推理运算，并对运算结果作出实际解释纠错训练1 某不法商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果是彩电平均每台比原价高了270元，那么每台彩电原价是_元【答案】22502忽视实际问题对变量的限制纠错训练2 如图所示，在矩形ABCD中，已知ABa，BCb(ab)在AB、AD、CD、CB上分别截取AE、AH、CG、CF都等于x，当x为何值时，四边形EFGH的面积最大？求出这个最大面积【解】设四边形 EFGH 面积为 SSabx2(ax)(bx)S2(xab4)2ab28，由题意可得函数的定义域为x|0b0，所以 0bb，即 a3b 时，函数 S2(xab4)2ab28在(0，b上是增函数，因此，当 xb 时，面积 S 取得最大值 abb2.综上可知，若 a3b，当 xab4 时，四边形 EFGH 的面积取得最大值ab28；若 a3b，当 xb 时，四边形 EFGH 的面积取得最大值 abb2.
