1、第7讲离散型随机变量的分布列及数字特征1随机变量的概念及特征(1)概念：一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点，都有唯一的实数X()与之对应，我们称X为随机变量(2)特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征：取值依赖于样本点.所有可能取值是明确的.(3)离散型随机变量可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量2分布列及其性质(1)定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，xn，我们称X的每一个值xi的概率P(Xxi)Pi，i1,2,3，n为X的概率分布列，简称分布列(2)表示：离散型随机变量的分布列也可以用表格表示，如
2、下表所示： Xx1x2xnPp1p2pn(3)离散型随机变量的分布列的性质pi0(i1,2，n)；p1p2pn1.3离散型随机变量的均值(1)离散型随机变量的均值的概念一般地，若离散型随机变量X的分布列为 Xx1x2xnPp1p2pn则称E(X)x1p1x2p2xnpnxipi为随机变量X的均值或数学期望(2)离散型随机变量的均值的意义均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.(3)离散型随机变量的均值的性质若YaXb，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有E(aXb)aE(X)b.4离散型随机变量的方
3、差、标准差(1)设离散型随机变量X的分布列如表所示 Xx1x2xnPp1p2pn我们用X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1E(X)2，(x2E(X)2，(xnE(X)2关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度(2)称D(X)(x1E(X)2p1(x2E(X)2p2(xnE(X)2pn (xiE(X)2pi为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称 为随机变量X的标准差，记为(x)(3)离散型随机变量方差的性质设a，b为常数，则D(aXb)a2D(X).D(C)0(其中C为常数)5两点分布如果P(A)p，则P()1p，那么X的分布列为X01P1pp称
4、X服从两点分布或01分布且E(X)p，D(X)p(1p).1分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率2E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定随机变量X是可变的，可取不同的值，E(X)描述X取值的平均状态3变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，其中标准差与随机变量本身具有相同的单位4方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是非负的1某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为，则“5”表示的试验结果是()A第5次击中目标 B
5、第5次未击中目标C前4次未击中目标 D第4次击中目标答案C解析因为击中目标或子弹打完就停止射击，所以射击次数5，则说明前4次均未击中目标故选C.2已知随机变量X的分布列为P(Xk)，k1，2，则P(2X4)()A. B C D答案A解析P(2n.(1)求m与n的值；(2)该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“棋类”社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学”社的同学增加校本选修学分3分求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数的分布列解(1)依题意，得解得(2)令该新同学在社团方面获得校本选修课学分的分数为随机变量X，则X的值可以为0,1,2,3,4
6、,5,6.而P(X0)；P(X1)；P(X2)；P(X3)；P(X4)；P(X5)；P(X6).X的分布列如下X0123456P 离散型随机变量分布列的求解步骤(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些及每一个取值所表示的意义(2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率(3)画表格：按规范要求形式写出分布列(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确3.某校首届安琪杯教职工运动会上有一个扑克小游戏，游戏规则如下：甲、乙双方每局比赛均从5张扑克牌(3张红桃A,2张黑桃A)中轮流抽取1张，抽取到第2张黑桃A的人获胜，并结束该局比赛每三局比赛为一轮(1)若在第一局比
7、赛中甲先抽牌，求甲获胜的概率；(2)若在一轮比赛中规定：第一局由甲先抽牌，并且上一局比赛输的人在下一局比赛先抽，每一局比赛先抽牌并获胜的人得1分，后抽牌并获胜的人得2分，未获胜的人得0分求此轮比赛中甲得分X的分布列解(1)设“在第一局比赛中甲先抽牌，甲获胜”为事件M，甲先抽牌，甲获胜等价于把这5张牌进行排序，第二张黑桃A排在3号位置或5号位置，共有246(种)，而2张黑桃A的位置共有C10(种)所以P(M).(2)甲得分X的所有可能取值为0,1,2,3,5.由(1)知在一局比赛中，先抽牌并获胜(后抽牌并输)的概率为，则后抽牌并获胜(先抽牌并输)的概率为.当X0时，即三局甲都输，P(X0)；当X
8、1时，即第一局甲胜，二、三局甲输或第二局甲胜，一、三局甲输或第三局甲胜，一、二局甲输，P(X1)；当X2时，即第一局甲胜，第二局甲输，第三局甲胜，P(X2)；当X3时，即第一局甲输，二、三两局甲都胜或者第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲输，P(X3)；当X5时，即三局甲都胜，P(X5).所以此轮比赛中甲得分X的分布列如下 X01235P多角度探究突破考向三离散型随机变量的数字特征角度数字特征的计算例3为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)有甲、乙两人相
9、互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量，求的分布列与期望E()，方差D()解(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元，甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为，.两人都付0元的概率为P1，两人都付40元的概率为P2，两人都付80元的概率为P3，则两人所付费用相同的概率为PP1P2P3.(2)的所有可能取值为0,40,80,120,160，则P(0)，P(40)，P(80)，P(120)
10、，P(160).所以的分布列为 04080120160PE()0408012016080.D()(080)2(4080)2(8080)2(12080)2(16080)2.角度数字特征的应用例4某投资公司在2020年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为和；项目二：通信设备据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由解若按
11、“项目一”投资，设获利为X1万元，则X1的分布列为X1300150PE(X1)300(150)200.D(X1)(300200)2(150200)235000.若按“项目二”投资，设获利为X2万元，则X2的分布列为X25003000PE(X2)500(300)0200.D(X2)(500200)2(300200)2(0200)2140000.E(X1)E(X2)，D(X1)E(X)5(2021潍坊一模)在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的可靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的可靠度为了增加系统的可靠度，人们经常使用“备用冗余设备”(即正在使用的设备出故障时才启动的设备)已知某计
12、算机网络服务器系统采用的是“一用两备”(即一台正常设备，两台备用设备)的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉设三台设备的可靠度均为r(0r1)，它们之间相互不影响(1)要使系统的可靠度不低于0.992，求r的最小值；(2)当r0.9时，求能正常工作的设备数X的分布列；(3)已知某高科技产业园当前的计算机网络中每台设备的可靠度是0.7，根据以往经验可知，计算机网络断掉可能给该产业园带来约50万的经济损失为减少对该产业园带来的经济损失，有以下两种方案：方案1：更换部分设备的硬件，使得每台设备的可靠度维持在0.9，更换设备硬件的总费用为8万元；方案2：对系统的设备进行维护，
13、使得设备可靠度维持在0.8，设备维护的总费用为5万元请从期望损失最小的角度判断决策部门该如何决策解(1)计算机网络系统无法正常工作的概率P(1r)3，要使系统的可靠度不低于0.992，则1(1r)30.992，解得r0.8，故要使系统的可靠度不低于0.992，则r的最小值为0.8.(2)依题意，X的所有可能取值为0,1,2,3，且XB(3,0.9)，则P(X0)C0.90(10.9)30.001，P(X1)C0.91(10.9)20.027，P(X2)C0.92(10.9)10.243，P(X3)C0.93(10.9)00.729，所以X的分布列为 X0123P0.0010.0270.2430
14、.729(3)设方案1、方案2的总损失分别为X1，X2.采用方案1，更换部分设备的硬件，使得设备可靠度维持在0.9，由(2)可知计算机网络断掉的概率为0.001，所以E(X1)800000.00150000080500.采用方案2，对系统的设备进行维护，使得设备可靠度维持在0.8，由(1)可知计算机网络断掉的概率为0.008，所以E(X2)500000.00850000054000.E(X1)E(X2)，因此，从期望损失最小的角度，决策部门应选择方案2.一、单项选择题1(2021云南、贵州、四川、广西四省名校联考)设随机变量X，Y满足Y2Xb(b为非零常数)，若E(Y)4b，D(Y)32，则E
15、(X)和D(X)分别为()A4,8 B2,8C2,16 D2b,16答案B解析由题意可知E(X)2，D(X)8.故选B.2若随机变量X的分布列为 X210123P0.10.20.20.30.10.1则当P(Xa)0.8时，实数a的取值范围是()A(，2 B1,2C(1,2 D(1,2)答案C解析由随机变量X的分布列，得P(X1)0.1，P(X0)0.3，P(X1)0.5，P(X2)0.8，则当P(Xa)0.8时，实数a的取值范围是(1,2故选C.3一射手对靶射击，直到命中或子弹打完为止，每次命中的概率为0.6，现有4发子弹，则停止射击后剩余子弹数目的均值为()A2.44 B3.376 C2.3
16、76 D2.4答案C解析Xk表示停止射击后剩余子弹的数目，P(X3)0.6，P(X2)0.40.6，P(X1)0.420.6，P(X0)0.43(0.60.4)，E(X)30.620.40.610.420.600.43(0.60.4)2.376.故选C.4签盒中有编号为1,2,3,4,5,6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为()A5 B5.25 C5.8 D4.6答案B解析由题意可知，X可以为3,4,5,6，P(X3)，P(X4)，P(X5)，P(X6).由数学期望的定义可求得E(X)34565.25.故选B.5(2020全国卷)在一组样本数据中，1
17、,2,3,4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且pi1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是()Ap1p40.1，p2p30.4Bp1p40.4，p2p30.1Cp1p40.2，p2p30.3Dp1p40.3，p2p30.2答案B解析对于A，该组数据的平均数为A(14)0.1(23)0.42.5，方差为s(12.5)20.1(22.5)20.4(32.5)20.4(42.5)20.10.65；对于B，该组数据的平均数为B(14)0.4(23)0.12.5，方差为s(12.5)20.4(22.5)20.1(32.5)20.1(42.5)20.41.85；对于C，该组数据的平均数为
18、C(14)0.2(23)0.32.5，方差为s(12.5)20.2(22.5)20.3(32.5)20.3(42.5)20.21.05；对于D，该组数据的平均数为D(14)0.3(23)0.22.5，方差为s(12.5)20.3(22.5)20.2(32.5)20.2(42.5)20.31.45.因此，B项这一组样本数据的标准差最大故选B.6甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X的期望E(X)为()A. B C D答案B解析依题意，知X的所
19、有可能值为2,4,6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为22.若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响从而有P(X2)，P(X4)，P(X6)2，故E(X)246.故选B.7已知某口袋中有3个白球和a个黑球(aN*)，现从中随机取出一球，再放入一个不同颜色的球(即若取出的是白球，则放入一个黑球；若取出的是黑球，则放入一个白球)，记换好球后袋中白球的个数是.若E()3，则D()()A. B1 C D2答案B解析由题意得的所有可能取值为2,4，且P(2)，P(4)，E()243，解得a3，P(2)，P(4)，D()(23)2
20、(43)21.故选B.8(2018浙江高考)设0p1时，p1；(3)根据你的理解，说明(2)问结论的实际含义解(1)E(X)00.410.320.230.11.(2)证明：设f(x)p3x3p2x2(p11)xp0，因为p3p2p1p01，故f(x)p3x3p2x2(p2p0p3)xp0.若E(X)1，则p12p23p31，故p22p3p0.f(x)3p3x22p2x(p2p0p3)，因为f(0)(p2p0p3)0，f(1)2p3p2p00，易知f(x)在上单调递减，在上单调递增，且0，故f(x)有两个不同零点x1，x2，且x100；x(x1，x2)时，f(x)f(x2)f(1)0，故1为p0
21、p1xp2x2p3x3x的一个最小正实根；若x21，因为f(1)0且f(x)在(0，x2)上单调递减，故1为p0p1xp2x2p3x3x的一个最小正实根，综上，若E(X)1，则p1.若E(X)1，则p12p23p31，故p22p3p0.此时f(0)(p2p0p3)0，故f(x)有两个不同零点x3，x4，且x30x40；x(x3，x4)时，f(x)0.故f(x)在(，x3)，(x4，)上单调递增，在(x3，x4)上单调递减，而f(1)0，故f(x4)0，故f(x)在(0，x4)上存在一个零点p，且p1.所以p为p0p1xp2x2p3x3x的一个最小正实根，此时p1时，p1.(3)实际含义：若每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后灭绝的概率小于1.
