1、 考纲定位理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义 教材回归1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数 f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数 f(x)的区间D上是增函数当x1f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义若函数 f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数 f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做 f(x)的单调区间思考探究1：如果一个函数在定义域的几个区间上都是增(减)
2、函数，能不能说这个函数在其定义域上是增(减)函数？提示：不能，如 f(x)1x，及 f(x)tanx.思考探究2：函数的单调性、最大(小)值反映在其函数图象上有什么特征？提示：函数单调性反映在图象上是上升或下降的，而最大(小)值反映在图象上为其最高(低)点的纵坐标的值2函数的最值前提设函数y f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意xI，都有_f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M.对于任意xI，都有_f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M.结论M为最大值M为最小值三基强化1（2011 年全国高考课标理 2）下列函数中，既是偶函数、又在（0，+）单调递增的函数是（）（A）2yx
3、 (B)1yx （C）21yx (D)2xy 答案:B答案：D2(2011 年菏泽月考)函数 y(2k1)xb 在(，)上是减函数，则()Ak12Bk12Dk12解析：使 y(2k1)xb 在(，)上是减函数，则 2k10，即 k12.解析：依题意可得函数应在x(0，)上单调递减，故由选项可得A正确答案：A3(2011 年湖北华师附中)下列函数 f(x)中，满足“对任意x1，x2(0，)，当 x1f(x2)”的是()A f(x)1x B f(x)(x1)2C f(x)ex D f(x)ln(x1)4(2010年广东省深圳市联考)定义在R上的函数 f(x)满足：f(x)f(x4)，且x2时，f(
4、x)递增，x1x24，(x12)(x22)0，则f(x1)f(x2)的值是()A恒为正数B恒为负数C等于0D正、负都有可能解析：解法一：由(x12)(x22)0，不妨设x1x2，则x12x2，又x24x1,2x24x1，f(x1)f(x2)2时 f(x)递增，则 f(x)在R上单调递增，由x1x24得x14x2，故 f(x1)f(4x2)，由已知得f(4x)f(x)，f(x1)f(x2)f(4x2)f(x2)f(x2)f(x2)0.答案：B考点一 函数单调性的判断与证明用定义证明函数单调性的一般步骤1取值：即设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1x2.2作差：即 f(x2)f(x1)(或
5、f(x1)f(x2)，并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形3定号：根据给定的区间和x2x1的符号，确定差 f(x2)f(x1)(或 f(x1)f(x2)的符号当符号不确定时，可以进行分类讨论4判断：根据定义得出结论【分析】先判断单调性，再用单调性的定义证明(1)采用通分进行变形，(2)采用因式分解进行变形，(3)采用分子有理化的方式进行变形例 1 判断下列函数的单调性并证明(1)f(x)2x1，x(1，)；(2)f(x)x22x1，x1，)；(3)f(x)x1，x1，)【解析】(1)函数 f(x)2x1在(1，)上为减函数利用定义证明如下：任取 x1、x2(1，)，
6、且1x1x2，则有 x1x20，f(x1)f(x2)2x112x212x2x1x11x21，1x10，x210，x2x10.2x2x1x11x210，即 f(x1)f(x2)0，所以 f(x1)f(x2)故 f(x)2x1在(1，)上为减函数(2)函数 f(x)x22x1 在1，)上为减函数，证明如下：任取 x1、x21，)，且 x2x11，则 f(x1)f(x2)(x122x11)(x222x21)(x22x12)2(x1x2)(x2x1)(x2x1)2(x1x2)(x2x1)(x2x12)x2x11，x2x10，x2x12，x2x120，f(x1)f(x2)(x2x1)(x2x12)0，即
7、有 f(x1)f(x2)故函数 f(x)x22x1 在1，)上为减函数(3)函数 f(x)x1在1，)上为增函数，证明如下：任取 x1、x21，)且1x1x2，则有 x1x20，f(x1)f(x2)x11 x21 x11 x21 x11 x21x11 x21x11x21x11 x21x1x2x11 x21，1x1x2，则有 x1x20.x1x2x11 x210，即有 f(x1)f(x2)0，f(x1)x21，由 y1y2x12x11x22x21x2x1x11x21.x1x21，x2x10，x210，x2x1x11x210，即 y1y20，y1y2.yx2x1在(1，)上是减函数考点二 求函数的
8、单调区间1求函数的单调区间(1)利用已知函数的单调性(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义(3)图象法：如果 f(x)是以图象给出的，或者 f(x)的图象易作出，可直接由图象的直观性写出它的单调区间(4)导数法：利用导函数取值的正负确定原函数的单调区间2求复合函数 yfg(x)的单调区间的步骤(1)确定定义域(2)将复合函数分解成基本初等函数：y f(u)，ug(x)(3)分别确定这两个函数的单调区间(4)若这两个函数同增或同减，则 yfg(x)为增函数；若一增一减，则 yfg(x)为减函数，即“同增异减”例 2 求下列函数的单调区间：y|log(x1)|；y1 x23x2；yx33x.【
9、解】解法一：设 ulog(x1)由 u0 得1x0由 u0当10 时，u 为减函数，y|u|为减函数(0，)为 y|log(x1)|的增区间解法二：作函数 y|log(x1)|的图象由图象可知 y|log(x1)|的单调增区间为(0，)，单调减区间为(1,0由 x23x20 得 x2 或 x1设 u(x)x23x2，则 y1 ux(，1时，u(x)为减函数x2，)时，u(x)为增函数而 u0 时，y1 u为减函数y1 x23x2的单调增区间为(，1，单调减区间为2，)y3x233(x1)(x1)令y0得x1或x1，由y0得1x0，得3x1，所以函数 ylog(x22x3)的定义域是x|3x0
10、时，f(x)|x|x2x22x2 1 2x2，可以证明 f(x)在(0，)上递增，设 0 x1x2，f(x1)f(x2)12x12 12x222x1x2x12x22，由 0 x1x2 可得 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(4)，则 f(x)的最小值是 f(4)2 21.答案：12 2考点四 抽象函数单调性与不等式对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目中所给性质和相应的条件，对任意 x1，x2 在所给区间内比较 f(x1)f(x2)与 0 的大小，或 fx1 fx2与 1 的大小有时根据需要，需作适当的变形：如 x1x2x1x2或 x1x2x1x2 等例4 函数 f
11、(x)对任意的a、bR，都有f(ab)f(a)f(b)1，并且当x0时，f(x)1.(1)求证：f(x)是R上的增函数；(2)若f(4)5，解不等式f(3m2m2)3.【分析】问题(1)是抽象函数单调性的证明，所以要用单调性的定义问题(2)将函数不等式中抽象的函数符号“f”运用单调性“去掉”，为此需将右边常数3看成某个变量的函数值【解】(1)证明：设x1，x2R，且x10，f(x2x1)1.f(x2)f(x1)f(x2x1)x1)f(x1)f(x2x1)f(x1)1f(x1)f(x2x1)10.f(x2)f(x1)即 f(x)是R上的增函数(2)解：f(4)f(22)f(2)f(2)15，f(
12、2)3，原不等式可化为 f(3m2m2)f(2)，f(x)是 R 上的增函数，3m2m22，解得1m1 时，f(x)0.(1)求 f(1)的值；(2)判断 f(x)的单调性；(3)若 f(3)1，解不等式 f(|x|)0，代入得 f(1)f(x1)f(x1)0，故 f(1)0.(2)任取 x1，x2(0，)，且 x1x2，则x1x21，由于当 x1 时，f(x)0，所以 fx1x2 0，即 f(x1)f(x2)0，因此 f(x1)f(x2)，所以函数 f(x)在区间(0，)上是单调递减函数(3)由 fx1x2 f(x1)f(x2)得 f93 f(9)f(3)，而 f(3)1，所以 f(9)2.
13、由于函数 f(x)在区间(0，)上是单调递减函数，由 f(|x|)9，x9 或 x9 或 x9考情分析函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有求单调区间，判断函数的单调性，利用函数单调性比较数的大小辽宁卷、陕西卷都涉及到利用函数单调性解决数的大小问题考场样题(2010年广东高考)已知函数 f(x)对任意实数x均有 f(x)kf(x2)，其中常数k为负数，且 f(x)在区间0,2上有表达式 f(x)x(x2)(1)求 f(1)，f(2.5)的值；(2)写出 f(x)在3,3上的表达式，并讨论函数 f(x)在3,3上的单调性；(3)求出 f(x)在3,3上的最小值与最大值，并求出
14、相应的自变量的取值解：(1)f(1)kf(1)k，f(0.5)kf(2.5)，f(2.5)1kf(0.5)1k(0.52)0.5 34k.3 分(2)对任意实数 x，f(x)kf(x2)，f(x2)kf(x)，f(x)1kf(x2).4 分当2x0 时，0 x22，f(x)kf(x2)kx(x2)；当3x2 时，1x20，f(x)kf(x2)k2(x2)(x4)；当 2x3 时，0 x21，f(x)1kf(x2)1k(x2)(x4).7分(3)由函数 f(x)在3,3上的单调性可知，f(x)在 x3 或x1 处取得最小值 f(3)k2 或 f(1)1，而在 x1 或 x3 处取得最大值 f(1
15、)k 或 f(3)1k.11 分故有k1 时，f(x)在 x3 处取得最小值 f(3)k2，在 x1 处取得最大值 f(1)k；k1 时，f(x)在 x3 与 x1 处取得最小值 f(3)f(1)1，在 x1 与 x3 处取得最大值 f(1)f(3)1；1k0f(3)，则方程 f(x)0 的根的个数是_【答案】2【解析】由54xx20，得函数的定义域为x|5x1 y54xx2(x24x4)9(x2)29，对称轴方程为x2，抛物线开口向下，函数的递增区间为5，2【答案】B 2在研究函数的单调性时，忽略函数的定义域纠错训练 2 函数 y 54xx2的递增区间是()A(，2)B5，2C2,1 D1，)感谢您的关注！
