1、考场精彩（6）(6) 数学精英解 “不等式”题1.（北京卷第7题）如果正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,那么A.abc+d，且等号成立时，a,b,c,d的取值唯一B.abc+d，且等号成立时，a,b,c,d的取值唯一C.abc+d，且等号成立时，a,b,c,d的取值不唯一D.abc+d，且等号成立时，a,b,c,d的取值不唯一解答： 由平均值不等式知. 答案A .【说明】 平均值不等式等号成立的条件，而且又给定了具体的数值，所以a,b,c,d取值唯一.2（湖南卷第2题）不等式的解集是（ ）ABCD解答： 原不等式可化为故选D.3.（山东卷第7题）命题“对任意的，”的否定是（ ）A不存在，
2、B存在，C存在，D对任意的，解答： 全称命题的否定是存在性命题.答案为C.【说明】 命题是新课标的内容，只要理解其内涵，就不难了.4.（江苏卷第10题）在平面直角坐标系中，已知平面区域，则平面区域的面积为（ ）解答： 令x+y=x,x-y=t,由题意可得平面区域B=（x,t）|s1,s+t0,s-t0.画出可行域可得.答案为B.5. （全国卷第6题）不等式:0的解集为(A)( -2, 1)(B) ( 2, +)(C) ( -2, 1)( 2, +)(D) ( -, -2) ( 1, +)解答： 令，原不等式成立，即可排除B、D，再令，原不等式仍成立，故再排除A，所以选C.【说明】 本题的选择支
3、中，区间端点值只有涉及原不等式相应的方程的根，所以主要的错点在于解不等式过程中求并或求交过程中的丢解，这样的结果可能选错为A或B.6.（天津卷第9题）设均为正数，且，则（）解答： 故有abc.答案为A.7.（重庆卷第2题）命题“若，则”的逆否命题是（）若，则或若，则若或，则若或，则解答： A是已知命题的否命题，B是逆命题，比较C、D易知.答案为D.8.（福建卷第7题）已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（ ）ABCD解答： 因为f (x)为R上的减函数.所以解得或，即-1x0或0x-1时，(1+x)m1+mx；（）对于n6，已知，求证，m=1,1,2，n；（）求出满足等式3n+4m+(n
4、+2)m=(n+3)n的所有正整数n.【分析】一题多问的试题，后面的各问往往需要应用前此各问的结论.本题第（）问不难，但第（）问却令人相当棘手.我们猜想：第（）问是否可以利用第（）问的结论？第（）问更难，是否又可以利用第（）问的结论？解题实践证明：这个猜想是对的.解答：（）略（）且知令则.，即（注：这是利用第（）问的前提条件）根据（），.但时，仍有，.（注：这里连续利用放缩法达到了证题的目的）（）当时，直接验算：显然n=2符合条件：n=3时，左边=33+43+53=216，右边=（3+3）3=216，n=3也符合条件.n=4时，左边=，而右边=.注意到：两个奇数之和必是奇数，而任意多个偶数之和
5、还是偶数，那么左边=偶数，而右边=奇数，故两边必不相等，n=4不符合条件.n=5时，左边=，而右边=.注意到：任一整数的5次幂与其本身，其个位数相同，容易判断左边的个位为5，而右边的个位是2，仍为左奇右偶，n=5也不符合条件.故当时，n=2或3.（注：在数学高考中，也用到了与整数论有关的课外基本知识，这个动向值得注意）当n6时，假定存在使得成立，则有：但是：=.根据（），右式（1）与（2）矛盾，故当不存在满足等式3n+4m+(n+2)m=(n+3)n的正整数.（注：当时，只有2与3两个数符合条件，据此我们已经猜想到n6时，符合条件的正整数不存在.而证题的策略是，先假定存在，然后用反证法推翻这个假定.）综上，适合该等式的所有正整数只有2与3.
