1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。第三章 函数的应用3.1函数与方程31.1方程的根与函数的零点导思1.函数的零点是如何定义的？它与函数的图象、方程的根有什么样的关系？ 2.零点存在性定理是什么？它可以求零点吗？1函数的零点(1)函数f(x)的零点是使f(x)0的实数x.(2)函数的零点、函数的图象、方程的根的关系(1)函数的零点是点吗？提示：不是，是使f(x)0的实数x，是方程f(x)0的根(2)函数的零点个数、函数的图象与x轴的交点个数、方程f(x)0根的个数有什么关系？提示：相等2函数的零点存在性定
2、理(1)条件：函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，f(a)f(b)0.(2)结论：函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)使f(c)0，这个c也就是f(x)0的根函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，f(a)f(b)0时，能否判断函数在区间(a，b)上的零点个数？提示：只能判断有无零点，不能判断零点的个数1辨析记忆(对的打“”，错的打“”)(1)函数y2x1的零点是.()提示：函数y2x1的零点是.(2)函数f(x)x2x1有零点()提示：因为方程x2x10的1430，则在区间(a，b)上一定没有零点()提示：如f(x)x2在区间(1，1
3、)上有f(1)f(1)1110，但是在区间(1，1)上有零点0.2下列各图象表示的函数中没有零点的是()【解析】选D. 结合函数零点的定义可知选项D没有零点，故选D.3函数yx24的零点是_【解析】令x240，解得x2，所以函数yx24的零点是2.答案：2类型一函数零点的概念及求法(数学抽象、数学运算)1函数f(x)的零点是()A3，1 B. 3，e C1，e2 D3，e22求下列函数的零点：(1)f(x)x27x6；(2)f(x)1log2(x3)；(3)f(x)2x13；(4)f(x)【解析】1.选D.当x0时，令x22x30，解得x3；当x0时，令2ln x0，解得xe2.所以函数f(x
4、)的零点为3和e2.2(1)解方程f(x)x27x60，得x1或x6，所以函数的零点是1，6.(2)解方程f(x)1log2(x3)0，得x1，所以函数的零点是1.(3)解方程f(x)2x130，得xlog26，所以函数的零点是log26.(4)当x0时，令x22x30，解得x3；当x0时，令2ln x0，解得xe2.所以函数f(x)的零点为3和e2. 函数零点的求法(1)求函数的零点即求方程f(x)0的根，求根时要涉及一元一次、二次方程，分式方程的解法，有时还需要利用指、对互化解与指数、对数相关的方程(2)在选择题中，也可以利用代入验证的方法求零点【补偿训练】1.函数f(x)ln x的零点为
5、()A1BCeD【解析】选A.依次检验，使f(x)0的即为零点2函数y3x2的零点是_【解析】令3x20，则3x2，所以xlog32.答案：log323判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出；否则，请说明理由(1)f(x)x27x6；(2)f(x)1log2(x3)；(3)f(x).【解析】(1)存在解方程f(x)x27x60，得x1或x6，所以函数的零点是1，6.(2)存在解方程f(x)1log2(x3)0，得x1，所以函数的零点是1.(3)存在解方程f(x)0，得x6，所以函数的零点为6.类型二判断函数零点的个数(直观想象、数学运算)【典例】1.函数f(x)ln (x1)在定义域内的零
6、点个数为()A0 B1 C2 D32若函数f(x)axxa(a0，且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是_【思路导引】将判断函数零点个数转化为判断两个函数的交点问题【解析】1.选C.函数f(x)ln (x1)在定义域x|x1且x0内的零点个数，即为f(x)0的根的个数，即求yln (x1)和y的图象交点个数，作出yln (x1)和y的图象，可得有两个交点2函数f(x)的零点的个数就是函数yax与函数yxa的图象的交点的个数，如图，当a1时，两函数图象有两个交点；当0a1.答案：(1，) 利用函数的图象判断零点个数(1)原理：函数的零点个数方程的根的个数移项拆分为两个函数，作图观察交点个数(2
7、)关键：拆分成的两个函数应方便作图1函数f(x)ln x的零点的个数是()A0 B1 C2 D3【解析】选C.在同一坐标系中画出yln x与y的图象，如图所示，函数yln x与y的图象有两个交点，所以函数f(x)ln x的零点个数为2.2判断函数f(x)2xlg (x1)2的零点个数【解析】方法一：因为f(0)10210，所以f(x)在(0，2)上必定存在零点，又因为f(x)2xlg (x1)2在(0，)上为增函数，故f(x)有且只有一个零点方法二：在同一坐标系中作出h(x)22x和g(x)lg (x1)的图象由图象知g(x)lg (x1)的图象和h(x)22x的图象有且只有一个交点，即f(x
8、)2xlg (x1)2有且只有一个零点类型三判断函数零点所在的区间(数学抽象、数学运算)角度1判断零点所在的区间【典例】1.由表格中的数据，可以断定方程ex3x20的一个根所在的区间是()x01234ex12.727.3920.0954.603x22581114A.(0，1) B(1，2) C(2，3) D(3，4)2函数f(x)ln 的零点所在的大致区间是()A(1，2) B(2，e) C(e，3) D(3，4)【思路导引】1利用ex与3x2在区间端点处的大小进行判断2计算在区间端点处的函数值，利用零点存在性定理判断【解析】1.选C.由题意，令f(x)ex3x2，因为f(2)e23227.3
9、980.610，所以f(2)f(3)0，所以函数的零点所在区间为(2，3).2选A.因为f(1)10，f(2)ln ln ，且e1，所以f(2)0，故f(1)f(2)0，故零点所在的大致区间为(1，2).1方程log2x的根所在的区间是()A(0，1) B(1，2) C(2，3) D不确定【解析】选A.函数f(x)log2x在(0，)上是连续函数，因为f(1)0，x0时f(x)，所以f(x)log2x的零点所在的区间为(0，1).2函数f(x)ln x的零点所在的大致区间是()A(1，2) B(2，3)C和(3，4) D(e，)【解析】选B.因为f(1)20, f(2)ln 210，所以f(2
10、)f(3)0，a0三种情况下，使f(x)在(0，1)上恰有一个零点时，a满足的条件【解析】选C.若函数f(x)2ax2x1在区间(0，1)内恰有一个零点，则方程2ax2x10在区间(0，1)内恰有一个根，若a0，则方程2ax2x10可化为：x10，方程的解为1，不成立；若a0，设方程的两根为x1，x2，则故x10，x20，则函数图象开口向上，又f(0)10，所以a1.综上：a1. 1判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在
11、该区间内至少有一个零点2关于含参数的函数零点含参数的函数零点问题往往涉及一元一次、一元二次函数的图象和性质(1)若二次项系数中含有字母，则讨论系数是否为零，其实质是区分一次函数和二次函数(2)对于二次函数，则要结合二次函数的图象、端点值、二次方程中、根与系数的关系求解1二次函数f(x)ax2bxc(xR)的部分对应值如表：x32101234y6m4664n6不求a，b，c的值，判断方程ax2bxc0的两根所在的区间是()A(3，1)和(2，4)B(3，1)和(1，1)C(1，1)和(1，2) D(，3)和(4，)2若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零
12、点分别位于区间()A(a，b)和(b，c)内B(，a)和(a，b)内C(b，c)和(c，)内D(，a)和(c，)内3函数f(x)|2x2|b有两个零点，求实数b的取值范围【解析】1.选A.利用f(a)f(b)0，f(1)40，所以在(3，1)内必有根又因为f(2)40，所以在(2，4)内必有根2选A.因为f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)，所以f(a)(ab)(ac)，f(b)(bc)(ba)，f(c)(ca)(cb)，因为abc，所以f(a)0，f(b)0，f(c)0，所以f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内3由f(x)|2x2|b0，得|2x2|b.
13、在同一平面直角坐标系中分别画出y|2x2|与yb的图象，如图所示则当0b2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)|2x2|b有两个零点【补偿训练】在下列区间中，函数f(x)ex4x3的零点所在的区间为()ABC D【解析】选C.显然f(x)为定义在R上的连续函数如图，作出yex与y34x的图象，由图象知函数f(x)ex4x3的零点一定落在区间内，又f20，f10，所以零点所在的区间为.备选类型一元二次方程根的分布(直观想象、数学运算)【典例】关于x的一元二次方程ax22(a1)xa10，求a为何值时(1)方程有一正一负根？(2)方程两根都大于1?【思路导引】【解析】令f(x)ax22(a1
14、)xa1.(1)方程有一正一负根时，f(x)对应的图象只有如图、两种情况因此f(x)0有一正一负根等价于或解得0a1.所以0a0.所以当a0时，方程有一根大于1，一根小于1.1函数f(x)x2log2x，则f(x)的零点所在区间为()A(0，1)B(1，2)C(2，3)D(3，4)【解析】选B.f(1)1log211，f(2)log221，所以f(1)f(2)0.2函数f(x)ln x3x的零点个数为()A0 B1 C2 D3【解析】选B.令f(x)0，则ln x3x0，即ln x3x，令yln x，y3x，作出两函数的图象，如图两函数有一个交点，故方程ln x3x0有一个根，函数f(x)ln
15、 x3x有一个零点3(教材复习参考改编)若函数f(x)的唯一零点同时在区间(0，8)，(0，4)，(0，2)内，则下列命题中正确的是()A函数f(x)在区间(0，1)内有零点B函数f(x)在区间(0，1)或(1，2)内有零点C函数f(x)在区间(1，8)内无零点D函数f(x)在区间2，8)内无零点【解析】选D.因为函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0，8)，(0，4)，(0，2)内，所以函数f(x)唯一的一个零点在区间(0，2)内，所以函数f(x)在区间2，8)内无零点4已知函数f(x)x2axb的两个零点是2和3，则函数g(x)bx2ax1的零点是_【解析】由题意知，方程x2axb0的两根为2，3，所以即a5，b6，所以方程bx2ax10，即6x25x10，它的根为，即为函数g(x)的零点答案：，5函数f(x)3x17的零点是_【解析】令3x170，解得xlog3，所以函数的零点为log3.答案：log3关闭Word文档返回原板块
