1、甘肃省兰州市2016年高三实战考试理科数学第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（ ）A B C D2.在复平面内，复数满足（是虚数单位），则对应的点在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限4.在中，分别是内角的对边，若，则（ ）A14 B6 C D5.已知函数是一个求余函数，其格式为，其结果为除以的余数，例如：，如图所示是一个算法的程序框图，若输出的结果为4，则输入的值为（ ）A16 B14 C12 D106.某单位员工按年龄分为三组，其人数之比为5:4:1，现用分层抽样的
2、方法从总体中抽取一个容量为20的样本，若组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该单位员工总数为（ ）A110 B100 C90 D807.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为（ ）A B C D38.已知直线与圆相交于，且为等腰直角三角形，则实数的值为（ ）A或-1 B-1 C1或-1 D19. ，则的值为（ ）A B C D10.已知命题：函数的值域是；为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点向右平移个单位长度；当或时，幂函数的图象都是一条直线；已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是.其中正确的命题是（ ）A B C D11
3、.已知为坐标原点，双曲线上有一点，过点作双曲线的两条渐近线的平行线，与两渐近线的交点分别为，若平行四边形的面积为1，则双曲线的离心率为（ ）A B C2 D12.已知函数，在区间内任取两个不相等的实数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）A B C D第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若函数在点处的切线方程为，则实数 .14.已知变量满足：，则的最大值为 .15.若，则 .16. 是两平面，是两条线段，已知，于，于，若增加一个条件，就能得出，现有下列条件：；与所成的角相等；与在内的射影在同一条直线上；.其中能成为增加条件的序号是 .三、解答题 （本
4、大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）等差数列中，已知，且构成等比数列的前三项.（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和.18. （本小题满分12分）为普及学生安全逃生知识与安全防护能力，某学校高一年级举办了安全知识与安全逃生能力竞赛，该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛，现将所有参赛选手参加笔试的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计，制成如下频率分布表.分数（分数段）频数（人数）频率9xy0.38160.32zs合计p1（1）求出上表中的的值；（2）按规定，预赛成绩不低于90分的选手参加决赛. 已知高
5、一（2）班有甲、乙两名同学取得决赛资格，记高一（2）班在决赛中进入前三名的人数为，求的分布列和数学期望.19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为矩形，为的中点，.（1）求证：；（2）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值.20. （本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，且经过点，两个焦点分别为.（1）求椭圆的方程；（2）过的直线与椭圆相交于两点，若的内切圆半径为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程.21. （本小题满分12分）已知函数.（1）若在上单调递减，求实数的取值范围；（2）若，求函数的极小值；（3）若方程在上有两个不等实根，求实数的取值范围.请考生在22、23、24三
6、题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，切圆于点，直线交圆于两点，垂足为.（1）证明：；（2）若，求圆的直径.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）. 在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标中，圆的方程为.（1）写出直线的普通方程和圆的直角坐标方程；（2）若点的坐标为，圆与直线交于两点，求的值.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若对恒成立，求实数的取值范围.2016年兰州市高三实战考试理科数学试题答案及评分参
7、考一、选择题题号123456789101112答案CBCD ABACDBDA11. 解析：渐近线方程是：，设是双曲线上任一点，设过平行于的直线为，则的方程为：，与渐近线交点为，则（，），=| | ，点到的距离是： ，| .=1，12. 解析：因为，不妨设，由于,所以,得因为，所以，所以在内是增函数，所以在内恒成立，即恒成立，所以的最大值，因为时，所以实数的取值范围为.二、填空题13. 14. 15. 解析：是一个常数，设为，则有所以，解得故， 16. 或三、解答题17. 解：（）设设等差数列的公差为，则由已知得：即又，解得或（舍） 所以 ，又， 所以所以 6分（）因为两式相减得则 12分（）由
8、（）知，参加决赛的选手共人， 随机变量的可能取值为 7分，,， 10分随机变量的分布列为：因为 ，所以随机变量的数学期望为. 12分19. 解：（）证明：连结,因,为的中点故.侧面底面平面 ，平面， 4分又，故平面所以 6分（）解法一：在矩形中，由（）得，所以，不妨设则 侧面底面，底面为矩形平面 平面 为直线与平面所成的角=，=，为等边三角形， 9分设的中点为，连接，则在中，过作，交于点，则为二面角的一个平面角。由于=，所以在中，即二面角的余弦值 12分解法二：取的中点，以为原点，所在的直线分别为，轴建立空间直角坐标系不妨设，则，所以，从而，. 设平面的法向量为，由，得，可取 同理，可取平面的
9、一个法向量为 于是，所以二面角的余弦值为 20. 解：()由，所以， 将点的坐标代入椭圆方程得， 故所求椭圆方程为； 6分()设直线的方程为,代入椭圆方程得，显然判别式大于0恒成立，设，的内切圆半径为，则有 ，所以而 所以 解得,因为所求圆与直线相切，所以半径=，所以所求圆的方程为. 12分 21. 解：（）,由题意可得在上恒成立；， 时函数的最小值为， 4分 () 当时， 令得，解得或（舍），即 当时，当时，的极小值为 8分（）将方程两边同除得整理得 即函数与函数在上有两个不同的交点； 由（）可知，在上单调递减，在上单调递增，当时， 实数的取值范围为 12分 22. 解： (I)因为是圆的直径， 所以 又，所以 切圆于点， 得所以 5分(II)由(I)知平分， 则， 又，从而， 所以， 所以， 由切割线定理得 ，所以故即圆的直径为. 10分.23. 解：（）由得直线的普通方程为又由得圆的直角坐标方程为即. 5分(II)把直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，得 ，即由于，故可设是上述方程的两实数根，所以，又直线过点，、两点对应的参数分别为、所以. 10分24. 解：（I）当时，等价为或或解得或所以不等式的解集为或 5分（II）因为所以要使对恒成立，则须即可所以或即实数的取值范围是或 10分
