1、习题课发展要求与高考对接(一)教学指导意见中的发展要求1能利用集合的关系和运算及Venn图来求有限集合中元素的个数2会列举四种命题的相互转化3会证明具体问题中的必要性和充分性考点一求集合中的参数范围(值)学生用书P8(2016杭州十校联考)已知集合A(x，y)|x2y21，B(x，y)|kxy20，其中x，yR.若AB，则实数k的取值范围是()Ak3BkCk Dk解析法一：本题的实质是圆x2y21在直线kxy20的上方，直线kxy20是斜率为k且在y轴上的截距为2的直线，根据图形可知k，法二：根据子集的定义，AB即集合A中的任意一个元素都在集合B中，我们不妨设集合A中xcos ，ysin ，说
2、明kcos sin 2对任意恒成立，即sin()2对任意恒成立，即2恒成立，解得k.综上，选C.答案C由两个集合之间的关系求解参数取值范围的问题需要注意两个转化：一是要根据已知条件正确转化两个集合之间的关系，一般要将已知条件转化为两个集合的子集或真子集的关系，二是要将两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条件此类问题多与不等式的解集相关，确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易产生增解或漏解. 1.用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义|AB|若A1，2，Bx|x22x3|a，且|AB|1，则a_解析：由于|x22x3|a的根可能有2个，3个，4个，而|AB|1，故|x
3、22x3|a只有3个根，故a4.答案：4考点二求有限集合中元素的个数学生用书P8(2015高考浙江卷)设A，B是有限集，定义：d(A，B)card(AB)card(AB)，其中card(A)表示有限集A中元素的个数命题：对任意有限集A，B，“AB”是“d(A，B)0”的充分必要条件；命题：对任意有限集A，B，C，d(A，C)d(A，B)d(B，C)()A命题和命题都成立B命题和命题都不成立C命题成立，命题不成立D命题不成立，命题成立解析命题成立，若AB，则card(AB)card(AB)，所以d(A，B)card(AB)card(AB)0.反之可以把上述过程逆推，故“AB”是“d(A，B)0”
4、的充分必要条件；命题成立，由Venn图，知card(AB)card(A)card(B)card(AB)，所以d(A，B)card(A)card(B)2card(AB)，d(A，C)card(A)card(C)2card(AC)，d(B，C)card(B)card(C)2card(BC)，所以d(A，B)d(B，C)d(A，C)card(A)card(B)2card(AB)card(B)card(C)2card(BC)card(A)card(C)2card(AC)2card(B)2card(AB)2card(BC)2card(AC)2card(B)2card(AC)2card(AB)card(B
5、C)2card(B)2card(AC)2card(AC)B)card(ABC)2card(B)2card(AC)B)2card(AC)2card(ABC)0，所以d(A，C)d(A，B)d(B，C)得证答案A(1)根据定义，对命题从正反两个方面分析是否成立，从而作出判断；命题可以借助Venn图来证明其正确性(2)求解此类以新定义包装的判断点集的元素个数问题，要先读懂题意，再利用计数原理来破解；或利用数形结合，借助平面直角坐标系，可快速获解. 2.(2015高考湖北卷改编)已知集合A(x，y)|x2y21，x，yZ，B(x，y)|x|2，|y|2，x，yZ，定义集合AB(x1x2，y1y2)|(
6、x1，y1)A，(x2，y2)B，若card(F)表示集合F中的元素个数，则card(AB)的值为()A77B49C 45 D30解析：选C.由题意知，A(x，y)|x2y21，x，yZ(1，0)，(1，0)，(0，1)，(0，1)，(0，0)，B(x，y)|x|2，|y|2，x，yZ，所以由新定义集合AB可知，x11，y10或x10，y11或x10，y10.当x11，y10时，x1x23，2，1，0，1，2，3，y1y22，1，0，1，2，所以此时AB中元素的个数为7535；当x10，y11时，x1x22，1，0，1，2，y1y23，2，1，0，1，2，3，这种情况和第一种情况除y1y2的值
7、取3或3外均相同，即此时与第一种情况不同的元素个数有5210；当x10，y10时，x1x22，1，0，1，2，y1y22，1，0，1，2，这种情况在前面两种情况中都涉及到由分类计数原理可知，card(AB)351045，故选C.考点三充分必要条件的判断方法(高频考点)学生用书P9一、定义法设0x，则“xsin2x1”是“xsin x1”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析因为0x，所以0sin x1.不等式xsin x1两边同乘以sin x可得xsin2xsin x，所以xsin2xsin x1，即xsin x1xsin2x1；不等式xsin2x1两
8、边同除以sin x可得xsin x，而由0sin x1，故xsin x1不一定成立，即xsin2x1xsin x1.由以上可知，“xsin2x1”是“xsin x1”的必要不充分条件，故选B.答案B判断p是q成立的什么条件就是根据充分条件与必要条件的定义，判断“若p则q”和“若q则p”是否成立，若只有一个成立，则是充分不必要条件或必要不充分条件；若两个都成立则是充要条件；若两个都不成立，则p是q的既不充分也不必要条件，q也是p的既不充分也不必要条件. 二、等价转换法若A：log2a1，B：x的二次方程x2(a1)xa20的一个根大于零，另一个根小于零，则A是B的()A充分不必要条件B必要不充分
9、条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析法一：由log2a1，解得0a2；而方程x2(a1)xa20的一根大于零，另一根小于零的充要条件是f(0)0，即a20，解得a2.因为“若0a2，则a2”是真命题，而“若a2，则0a2”是假命题，所以“0a2”是“a2”的充分不必要条件，所以A是B的充分不必要条件，选A.法二：由法一可知，满足条件A的参数a的取值集合为Ma|0a2，满足条件B的参数a的取值集合为Na|a3(xm)”是“q：x23x40”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为_解析：(1)因为x22x10有两个相等的实数根，为x1，所以“x1”是“x22x10”的充要条件(2)令f(t
10、)sin tt，则f(t)cos t10恒成立，所以f(t)sin tt在0，上是减函数，f(t)f(0)0，所以sin tt(0t)令t2x，则sin 2x2x(0x)，所以2sin xcos x2x，所以sin xcos xx.当k1时，ksin xcos xx，故必要性成立；当x时，ksin 2x2x可化为k，取k，不等式成立，但此时k1，故充分性不成立(3)设Px|(xm)23(xm)x|(xm)(xm3)0x|xm3，Qx|x23x40x|(x4)(x1)0x|4x是|ab|，则()2()2，即ab2cd2.因为abcd，所以abcd.于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(
11、cd)2.因此|ab|cd|.必要性：若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2，即(ab)24abcd.所以()2()2，得.综上， 是|ab|cd|的充要条件(1)有关充要条件的证明题，破题关键是：一般要对充分性和必要性分别进行证明，但在一些问题中也可以进行统一的证明，这要根据问题的实际情况灵活处理. (2)要注意“A成立的充要条件是B”，虽然充要条件是相互的，但这里已经指明了B是条件，按照充要条件的概念，AB是问题的必要性，BA是问题的充分性4.已知数列an的前n项和Snpnq(p0且p1)，求证：数列an为等比数列的充要条件为q1.证明：充分性：当q1时，a1p1，当n2时，anSnSn
12、1pn1(p1)，当n1时也成立于是p，即数列an为等比数列必要性：当n1时，a1S1pq.当n2时，anSnSn1pn1(p1)因为p0且p1，所以p.因为an为等比数列，所以p.所以a2pa1，S2a1a2a1(p1)(pq)(p1)p2pqpq.又因为S2p2q，所以p2pqpqp2q，所以p(q1)0.又因为p0，所以q1.即数列an为等比数列的充要条件为q1.1设集合Ax|xa|2，xR，若AB，则实数a，b必满足()A|ab|3B|ab|3C|ab|3 D|ab|3解析：选D.因为Ax|a1xa1，Bx|xb2因为AB，所以a1b2或a1b2，即ab3或ab3.即|ab|3.2命题
13、“若函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内是减函数，则loga20，a1)在其定义域内不是减函数B若loga20，a1)在其定义域内不是减函数C若loga20，则函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内是减函数D若loga20，a1)在其定义域内是减函数答案：A3设集合A，B(x，y)|y3x，则AB的子集的个数是()A4 B3C2 D1解析：选A.因为集合A，1为椭圆，二者图象如图，可知其有两个不同交点，记为A1，A2，则AB的子集应为，A1，A2，A1，A2，共4个4设A，B均为有限集，A中的元素个数为m，B中的元素个数为n，AB中的元素个数为s，则下列式子一定成立的是(
14、)Amns Bmns.5已知集合Ax|x22x30，xR，Bx|m2xm2若ARB，则实数m的取值范围为_解析：Ax|1x3，Bx|m2xm2RBx|xm2因为ARB，所以m23或m25或m5或m0；q：x1或1x0x1或1x0，则关于x的方程x2xm0有实数根”，试写出它的否命题、逆命题和逆否命题，并分别判断它们的真假解：否命题：若m0，则关于x的方程x2xm0没有实数根；逆命题：若关于x的方程x2xm0有实数根，则m0；逆否命题：若关于x的方程x2xm0没有实数根，则m0.方程的判别式14m，当0，即m时，方程有实数根，所以m0使14m0，方程x2xm0有实数根，所以原命题为真，从而逆否命
15、题为真，否命题为假因为方程x2xm0有实数根，必须满足m，但不能推出m0，故逆命题为假8已知p：x28x200，q：x22x1a20(a0)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围解：p：x28x2002x10，q：x22x1a201ax1a.因为pq，qp，所以x|2x10x|1ax1a故有且两个等号不同时成立，解得a9，因此，所求实数a的取值范围是9，)9某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，求同时参加数学和化学小组的人数解：由
16、条件知，每名同学至多参加两个小组，故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学课外探究小组，设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C，则card(ABC)0.card(AB)6，card(BC)4，由公式card(ABC)card(A)card(B)card(C)card(AB)card(AC)card(BC)易知，3626151364card(AC)，故card(AC)8，即同时参加数学和化学小组的有8人10如果AMx|x2px150，xR，BNx|x2axb0，xR，又AB2，3，5，AB3，那么p，a，b应满足什么条件？解：因为AB3，所以3A，又AM，所以3M，所以3
17、23p150，即p8，所以M3，5，又因为AB2，3，5，AB3，且BNx|x2axb0，xR，所以B中至多有两个元素，而AM3，5，所以B2，3，A3，5，而BNx|x2axb0，所以关于x的方程x2axb0有两根2和3.由根与系数的关系可知，a5，b6.故p，a，b应满足的条件为p8，a5，b6.1定义集合运算：ABz|zxy(xy)，xA，yB设集合A0，1，B2，3，则集合AB的所有元素之和为()A0 B6C12 D18解析：选D.当x0，y2时，zxy(xy)0.当x0，y3时，zxy(xy)0，当x1，y2时，zxy(xy)236，当x1，y3时，zxy(xy)3412，可见，AB
18、所有元素之和为0061218.2张老师为了调查全校学生对学校教学改革的意见、建议和要求，设置了三个问题，每班随机选一人，共25名学生回答问题，结果发现：(1)每名学生至少回答了一个问题；(2)在所有没有回答第一个问题的学生中，回答第二个问题的人数是回答第三个问题的人数的2倍；(3)只回答第一个问题的学生比余下的学生中回答第一个问题的人数多1；(4)只回答一个问题的学生中，有一半没有回答第一个问题问：共有多少名学生只回答了第二个问题？解：本题的条件较多，利用Venn图表示，设回答第一、二、三个问题的学生的集合分别为A，B，C，如图，则重叠部分表示同时回答两个问题或三个问题的集合，这样得到七个部分
19、，其人数分别用a，b，c，d，e，f，g表示，然后根据已知条件列出方程组求出b.根据已知条件(1)，(2)，(3)，(4)可得，abcdefg25，bf2(cf)，adeg1，abc.代入，得a2bcdeg25，代入，得2bc2d2e2g24，代入，得3bdeg25，2，得4bc26.由于c0，所以b6.利用消去c，得f9b52.因为f0，所以b5.则有b6，即只回答了第二个问题的有6人3已知关于x的方程(1a)x2(a2)x40，aR，求方程有两个正根的充要条件解：方程(1a)x2(a2)x40有两个实根的充要条件是即即a10或a2且a1.设此时方程的两实根为x1，x2，有两个正根的充要条件是即1a2或a10是方程有两个正根的充要条件
