1、模块综合提升 核 心 知 识 回 顾 一、正、余弦定理及其应用1正弦定理、余弦定理在ABC 中，若角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，R 为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理 内容(1)asin A_2R(2)a2_；b2_；c2_bsin Bcsin Cb2c22bc cos Ac2a22ca cos Ba2b22ab cos C变形(3)a2R sin A，b ，c ；(4)sin A a2R，sin B ，sin C ；(5)abc ；(6)a sin Bb sin A，b sin Cc sin B，a sin Cc sin A(7)cos A ；cos B ；cos C
2、2R sin B2R sin Cb2Rc2Rsin Asin Bsin Cb2c2a22bcc2a2b22aca2b2c22ab2.在ABC中，已知a，b和A时，解的情况A的大小A为锐角A为钝角或直角图形 关系式ab sin Ab sin Aababab 解的个数一解两解一解一解3.三角形常用面积公式(1)S12aha(ha 表示边 a 上的高)；(2)S12ab sin C ；(3)S12r(abc)(r 为三角形内切圆半径).12ac sin B12bc sin A二、等差数列及其前n项和1等差数列的定义一般地，如果一个数列 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，通常用字
3、母 表示2等差数列的通项公式如果等差数列an的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是 从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数公差dana1(n1)d3等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列这时，A叫做a与b的 4等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam (n，mN*).(2)若an为等差数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则 等差中项(nm)dakalaman(3)若an是等差数列，公差为 d，则a2n也是等差数列，公差为 (4)若an，bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)若an是等差数列，公差为 d，则 ak，akm，ak2m
4、，(k，mN*)是公差为 的等差数列(6)数列 Sm，S2mSm，S3mS2m，构成等差数列5等差数列的前 n 项和公式设等差数列an的公差为 d，其前 n 项和 Sn_或 Sn 2dmdn（a1an）2na1n（n1）2d6等差数列的前n项和公式与函数的关系Snd2n2a1d2 n.数列an是等差数列SnAn2Bn(A，B为常数)7等差数列的前n项和的最值在等差数列an中，a10，d0，则Sn存在最 值；若a10，d0，则Sn存在最 值大小三、等比数列及其前 n 项和1等比数列的定义一般地，如果一个数列 ，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示(q0).2等比数
5、列的通项公式设等比数列an的首项为 a1，公比为 q，则它的通项 an 从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数公比qa1qn1(a10，q0)3等比中项如果在a与b中插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义，GabG，G ab，称G为a，b的等比中项G2ab4等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anam (n，mN*).(2)若an为等比数列，且klmn(k，l，m，nN*)，则 (3)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，1an，a2n，anbn，anbn 仍是等比数列qnmakalaman5等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(
6、q0)，其前n项和为Sn，当q1时，Snna1；当q1时，Sna1（1qn）1qa1anq1q.6等比数列前n项和的性质公比不为1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为 qn四、数列求和的常用方法1公式法直接利用等差、等比数列的求和公式求和2分组转化法把数列转化为几个等差、等比数列，再求解3裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项常见的裂项公式(1)1n（n1）1n 1n1；(2)1（2n1）（2n1）1212n112n1；(3)1n n1 n1 n.4倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的
7、推广5错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和6并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解五、不等关系与不等式1两个实数比较大小的方法(1)作差法ab0a b，ab0a b，ab0a b.(a，bR)(2)作商法ab1a b，ab1a b，ab1a b.(aR，b0)2不等式的基本性质(1)对称性：ab (2)传递性：ab，bc (3)可加性：ab (4)可乘性：abc0 abc0 acbc.baacacbcacbc(5)同向可加性：abcd (6)同向可乘性：ab0cd0 (7)可乘方性：ab
8、0 (nN，n1).(8)可开方性：ab0n an b(nN，n2).acbdacbdanbn3不等式的一些常用性质(1)倒数的性质ab，ab01a 1b.a0b1a 1b.ab0，0cdac bd.0axb 或 axb01b 1x 1a.(2)有关分数的性质若ab0，m0，则babmam；babmam(bm0).abambm；abambm(bm0).六、一元二次不等式及其解法1“三个二次”的关系判别式 b24ac000 二次函数yax2bxc(a0)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1x2 b2a没有实数根一元二次不等式 ax2bxc
9、0(a0)的解集 _一元二次不等式 ax2bxc0(a0)的解集 _x|xx1 或 xx2xx b2ax|xRx|x1xx2 2.常用结论(xa)(xb)0 或(xa)(xb)0 型不等式的解法解集 不等式ababab(xa)(xb)0 _ _ _(xa)(xb)0 _口诀：大于取两边，小于取中间x|xa 或 xbx|xax|xb 或 xax|axb x|bxa3常见分式不等式的解法(1)f（x）g（x）0(0)f(x)g(x)0(0).(2)f（x）g（x）0(0)f(x)g(x)0(0)且 g(x)0.以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式七、二元一次不等式(组)与简单的线性规划
10、问题1二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式 AxByC0 在平面直角坐标系中表示直线 AxByC0 某一侧所有点组成的 我们把直线画成虚线，以表示区域 边界直线当我们在坐标系中画不等式AxByC0 所表示的平面区域时，此区域应 边界直线，则把边界直线画成 平面区域不包括包括实线(2)对于直线 AxByC0 同一侧的所有点，把它的坐标(x，y)代入 AxByC，所得的符号都 ，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由 Ax0By0C 的 即可断定 AxByC0 表示的是直线 AxByC0 哪一侧的平面区域相同符号2线性规划相关概念名称意义 约束条件由变
11、量 x，y 组成的一次不等式 线性约束条件由 x，y 的 不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数欲求 或 的函数线性目标函数关于 x，y 的 解析式一次最大值最小值一次可行解满足 的解可行域所有 组成的集合 最优解使目标函数取得 或 的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的 或 问题线性约束条件可行解最大值最小值最大值最小值八、基本不等式及其应用1基本不等式：abab2(1)基本不等式成立的条件：(2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号a0，b0ab2几个重要的不等式(1)a2b2 (a，bR).(2)baab(a，b 同号).(3)ab_(a，bR).(4)a2b22_(a，b
12、R).以上不等式等号成立的条件均为 ab.2ab2ab22ab223算术平均数与几何平均数设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为_，几何平均数为_，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数ab2ab4利用基本不等式求最值问题已知 x0，y0，则(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 时，xy 有最 值 (简记：积定和最小)(2)如果和 xy 是定值 p，那么当且仅当 时，xy 有最 值(简记：和定积最大)xy小2 pxy大p24易 错 易 混 辨 析 1在ABC中，若sin Asin B，则AB.()2当b2c2a20时，三角形ABC为锐角三角形()3在ABC中，
13、asin Aabcsin Asin Bsin C.()4在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积()5若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()6等差数列an的单调性是由公差d决定的()7数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.()8已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列()9满足an1qan(nN*，q为常数)的数列an为等比数列()10G为a，b的等比中项G2ab.()11如果数列an为等比数列，则数列ln an是等差数列()12数列an的通项公式是 anan，则其前 n 项和为 S
14、na（1an）1a.()13若ab1，则 ab.()14一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变()15ab0，cd0adbc.()16若ab0，则ab1a1b.()17若不等式ax2bxc0的解集是(，x1)(x2，),则方程ax2bxc0的两个根是x1和x2.()18若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.()19不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.()20若二次函数yax2bxc的图象开口向下，则不等式ax2bxc0的解集一定不是空集()21点(x1，y1)，(x2，y2)在直线AxByC0同侧的充要条件是(Ax1B
15、y1C)(Ax2By2C)0，异侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0.()22第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy0表示()23线性目标函数的最优解是唯一的()24最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解()25函数yx1x的最小值是2.()26函数f(x)cos x 4cos x，x0，2 的最小值等于4.()27“x0且y0”是“xyyx2”的充要条件()28若a0，则a3 1a2的最小值为2 a.()29不等式a2b22ab与ab2 ab有相同的成立条件()30两个正数的等差中项不小于它们的等比中项()高 考 真 题 感 悟 1ABC 的内角 A，B，C 的
16、对边分别为 a，b，c，已知 a sin Ab sin B4c sin C，cos A14，则bc()A6 B5C4 D3A a sin Ab sin B4c sin C，由正弦定理得 a2b24c2，即 a24c2b2.由余弦定理得 cos Ab2c2a22bcb2c2（4c2b2）2bc3c22bc 14，bc6.故选 A.2记Sn为等差数列an的前n项和已知S40，a55，则()Aan2n5 Ban3n10CSn2n28nDSn12n22nA 法一：设等差数列an的公差为d，S40，a55，4a1432 d0，a14d5，解得a13，d2，ana1(n1)d32(n1)2n5，Snna1
17、n（n1）2dn24n.故选A.法二：设等差数列an的公差为d，S40，a55，4a1432 d0，a14d5，解得a13，d2.选项A，a12153；选项B，a131107，排除B；选项C，S1286，排除C；选项D，S112232，排除D.故选A.C 因为SABC12ab sin C，所以a2b2c2412ab sin C由余弦定理a2b2c22ab cos C，得2ab cos C2ab sin C，即cos Csin C，所以在ABC中，C4.故选C.3ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ABC的面积为a2b2c24，则C()A2 B3 C4 D6A 因为 cos C2 5
18、5，所以 cos C2cos2C212(55)2135.于是，在ABC 中，由余弦定理得 AB2AC2BC22ACBCcos C5212251(35)32，所以 AB4 2.故选 A.4在ABC中，cos C2 55，BC1，AC5，则AB()A4 2B 30C 29D2 534 b sin Aa cos B0，asin Abcos B.由正弦定理，得cos Bsin B，tan B1.又 B(0，)，B34.5ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b sin Aacos B0，则B 100 an为等差数列，a35，a713，公差da7a373 13542，首项a1a32d5221
19、，S1010a11092d100.6记Sn为等差数列an的前n项和若a35，a713，则S10 9 法一：画出可行域如图中阴影部分所示目标函数zxy可化为yxz，作出直线yx，并平移，当平移后的直线经过点B时，z取得最大值联立，得x2y30，x50，7若x，y满足约束条件x2y50，x2y30，x50，则zxy的最大值为 解得x5，y4，所以B(5，4)，故zmax549.法二：画图(图略)知可行域是封闭的三角形区域，易求得可行域的三个顶点的坐标分别是(1，2)，(5，4)，(5，0)，依次代入目标函数zxy可求得z的值是3，9，5，故zmax9.2 33 由 b sin Cc sin B4a
20、 sin B sin C 得 sin B sin Csin C sin B4sin A sin Bsin C，因为 sin B sin C0，所以 sin A12.因为 b2c2a28，cos Ab2c2a22bc，所以 bc8 33，所以 SABC12bc sin A128 33 122 33.8ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b sin Ccsin B4a sin B sin C，b2c2a28，则ABC的面积为 9已知数列an满足a11，nan12(n1)an.设bnann.(1)求b1，b2，b3；(2)判断数列bn是否为等比数列，并说明理由；(3)求an的通项公式解
21、(1)由条件可得an12（n1）nan.将n1代入得，a24a1，而a11，所以，a24.将n2代入得，a33a2，所以，a312.从而b11，b22，b34.(2)bn是首项为1，公比为2的等比数列由条件可得 an1n12ann，即bn12bn，又b11，所以bn是首项为1，公比为2的等比数列(3)由(2)可得ann 2n1，所以ann2n1.10等比数列an中，a11，a54a3.(1)求an的通项公式；(2)记Sn为an的前n项和若Sm63，求m.解(1)设an的公比为q，由题设得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)，q2或q2.故an(2)n1或an2n1.(2)若an(2
22、)n1，则Sn1（2）n3.由Sm63得(2)m188，此方程没有正整数解若an2n1，则Sn2n1.由Sm63得2m64，解得m6.综上，m6.11ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a sin AC2b sin A.(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，且c1，求ABC面积的取值范围解(1)由题设及正弦定理得sin A sin AC2sin B sin A.因为sin A0，所以sin AC2sin B.由ABC180，可得sin AC2cos B2，故cos B22sin B2cosB2.因为cos B20，故sin B212，因此B60.(2)由题设及(1)知ABC的面积SABC 34 a.由正弦定理得ac sin Asin C sin（120C）sin C32tan C12.由于ABC为锐角三角形，故0A90，0C90.由(1)知AC120，所以30C0知d0，故Snan等价于n211n100，解得1n10，所以n的取值范围是n|1n10，nNThank you for watching!
