1、求目标函数的最值(截距)43352512xyxyxyxzxy 已知实数、满足，求 的最大值、【例1】最小值()1352522(1).51431,1.435,23525xxyAxxyBxyCxy 根据已知条件作出可行域 如图 解方程组，得 点的坐标为，解方程组，得 点的【坐标为解方程组，得 点的坐标为解析】2022122 1.552528.l xylAzlCz作直线：，将直线 向上平移到过点时得到 的最小值为再将直线 向下平移到过 点时，得到 的最大值为 把线性目标函数转化为一簇平行线，是图解法的核心本题求目标函数z2xy的最大值、最小值，其实是求直线y2xz在y轴上的截距的最小值和最大值，但x
2、、y是受条件约束的我们想知道的是过哪些点可以达到目的？因此，下列步骤是必需的：先画出二元一次不等式组表示的平面区域(即可行域)，求直线的交点A、B、C的坐标(当然，如果图画得准确，B点坐标可以不求)，再作直线l：2xy0，发现将直线上下平移到过可行域的顶点时，取得最值，所以，将点的坐标代入就可以了1320101264xyzyzxyzuxyxyz 设，满足约束条件，求 的最大【变式练习1】值与最小值minmax12101012241,14.0,16.zxyxyxyuxyBuCu 将 代入约束条件得：，目标函数为：，作出可行域，当目标函数经过点时，当目标函数【经过点时，】解析求目标函数的最值(距离
3、、斜率)22220240330 xyxyxyxyzxy 已知实数、满足，求 的最大值和【例2】最小值()2403302,32203301,02402200,2xyxyAxyxyCxyxyB根据条件作出可行域 如图 解，得 点的坐标为解，得 点的坐标为解，得 点的坐标为【解析】22222222222 02313|201 02|4.521zxyAxyzOAd 求 的最大值和最小值就是求可行域内的点与原点的距离的平方的最大值和最小值显然，原点到 点的距离的平方最大，而到直线 的距离的平方最小所以 的最大值为 ，最小值为在线性规划中，形如z(xa)2(ya)2型的(或可以化为此类型的)目标函数都可以转
4、化为求可行域内的点(x，y)与点(a，b)的距离的平方(特别提醒：是“距离的平方”，而非“距离”)的最值问题，通过点与点的距离或点到直线的距离公式求解而形如型的则转化为可行域内的点(x，y)与点(a，b)连线的斜率来求ybxa223412390416011xyxyxyxyyxyx【变式练习2已知变量，满足不等式组，求 和的取】值范围【解析】作出可行域如右图中的阴影部分ABC，图中各点的坐标分别为A(4,0)，B(3,4)，C(0,3)，D(1,1)由图可知x2y2的最小值是原点到直线AC：3x4y120的距离的平方，最大值是线段OB的长度的平方；221211125514425251011451
5、3=21011215yADxCDACdOBOBxyADkCDkyx 的最小值是直线的斜率，最大值是直线的斜率因为原点到直线的距离为，线段的长度为，所以 的取值范围是，因为直线的斜率为 ，直线的斜率为，所以的取值范围是 ，利 用 线 性 规 划解决实际问题【例3】某厂拟生产甲、乙两种试销产品，每件销售收入分别为3千元、2千元甲、乙产品需要在A、B两种设备上加工，在每台设备A、B上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A、B两种设备每月有效使用时数分别为400和500，如何安排生产可使收入最大？002400250032.xyzxyxyxyxyzxy
6、 设甲、乙两种产品每月产量分别为、件，收入为 元则、满足，目标函数 作出可行域，如图的阴影部【解析】分 24002500200,10032032002 100 800.200100800 xyxyAl xylAz解方程组，得交点 的坐标为作直线：，将直线 向上平移到过点时，取得最大值即甲、乙两种产品每月产量分别为件、件时，可使收入最大，为元本题是利用线性规划的基础知识和图解法解决生活中的实际问题首先要弄清题意，找出变量的约束条件，列出目标函数，然后由约束条件画出可行域，最后在一组平行线中，找出在可行域内过A点的直线，把点代入可得到最大值(即收入最大)【变式练习3】两种大小不同的钢板可按下表截成
7、A、B、C三种规格成品.某建筑工地需A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问怎样截这两种钢板，可得所需三种规格成品，且所用钢板张数最少？钢板规格A规格B规格C规格第一种钢板211第二种钢板123215218327*().xyxyxyxyxyzxy N设需截第一种钢板 张，第二种钢板 张由题意知，约束条件为，【解析，目标函数 钢板总数 为 作出可行域，如】右图所示32718 39A().215550.18 39,55xyxylxylAz解，得交点，作直线：将直线 向上平移，经过 点时，可使 最小，但不是整数，不合要求通过在可行域内画网格发现，经过可行域内的整点且与原点距离最近的是B(
8、3,9)和C(4,8)，它们都是最优解，所以，要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少，有下面两种方法：截第一种钢板3张，第二种钢板9张，截第一种钢板4张，第二种钢板8张，两种方法都最少要截两种钢板共12张1.表示图中阴影部分的二元一次不等式组为_ 011xyxy 011.(1)(1)(0)011BCxACyABxyACyABxyBCxxyxy 、所在的直线方程是 ，、所在的直线方程是 ，、所在的直线方程是 图中阴影部分表示的区域都包括边界，且是在直线上方，直线下方，直线右边所以图中阴影部分表示的不等式组为【解析】2.已知平面区域如图所示，若zmxy(m0)，在平面区域内取得最大值
9、的最优解有无数多个，则m _7202273755514207.20ACmkm由题意得，所以【解析】03.04312()_xyxy不等式组表示的平面区域内的整点 横、纵坐标都是整数的点共有个【解析】画图易知整点为(1,1)，(1,2)，(2,1)，共3个304.0221yAxyxaxyaA 若 为不等式组表示的平面区域，则当 从 连续变化到 时，动直线 扫过 中的那部分区域的面积为多少？【解析】作出可行域(如图)A是一个边长为2的直角三角形PON，其面积为2，P(0,2)21 3M(-,).12 21111224172.44yxxyMPQxyaA 解，得交点所以三角形的面积为，则动直线 扫过 中
10、的那部分区域的面积为 5.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的赢利，还要考虑可能出现的亏损某投资人打算投资甲、乙两个项目，据预测，甲、乙两个项目可能的最大赢利率分别是100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的赢利最大？100.30.11.8000.5.()xyxyxyxyzxy 设投资人对甲、乙两个项目各投资、万元，则约束条件为，目标函数 画出可行域 如图阴【析】影部分解104,60.30.11.80.5046461.8.xyMxylxylMzxy解方程组
11、，得交点作直线：，将直线 向上平移到过点时，可使 取得最大值即当 ，时，赢利最大答：投资人对甲、乙两个项目各投资 万元和 万元时，才能在确保资金亏损不超过万元的前提下，使可能的赢利最大本节内容考查数形结合的数学思想，主要以三种方式进行：一是直接给出线性约束条件和线性目标函数，求区域的面积和线性目标函数在区域内的最值；二是要求按给出的二元一次不等式组和画出的几个图象，判断哪一个是正确的，或要求按给出图象写出所表示的二元一次不等式组；三是利用线性规划知识解决实际问题1二元一次不等式(组)表示的区域的判定方法(1)函数ykxb表示的直线将平面分成上下两部分，则不等式表示区域ykxb表示直线ykxb上
12、方的半平面(不包括边界)ykxb 表示直线ykxb上方的半平面(包括边界)ykxb 表示直线ykxb下方的半平面(包括边界)(2)方程xa表示的直线将平面分成左右两部分，则不等式表示区域xa表示直线xa右边的半平面(包括边界)xa表示直线xa左边的半平面(不包括边界)x0表示y轴右边的半平面(包括边界)x0B0表示直线上方的半平面区域(不包括边界)表示直线下方的半平面区域(不包括边界)AxByC0表示直线下方的半平面区域(包括边界)表示直线上方的半平面区域(包括边界)2解线性规划应用问题的一般步骤：(1)设变量，分析题意，写出约束条件和目标函数；(2)作出相应的图象，找出可行域(注意边界)，求
13、出交点坐标；(3)作出直线l0：axby0；(4)找出最优解，确定直线l0的平移方向，依可行域判断取得最优解的点；(5)求出目标函数的最大值、最小值3运用线性规划解题时需注意的几点：(1)正确画出可行域，交点一定要求准；(2)明确目标函数的几何意义，即要明白做什么事；(3)一般情况下，最优解在可行域的顶点(有些实际问题可能在附近的整点)或边界取得，要注意边界的虚实2035011()()04201xyxyxyxyzxy 已知实数、满足，则 的最小值为 _扬_(2010州一模卷)116答案：选题感悟：综观近几年的高考试题，对于简单的线性规划问题的考查都以填空题居多，所涉及的类型多数是求线性目标函数
14、的最值，常需要进行合理的转化230,()3_xyxyax yxya N定义符合条件的有序数对，为“和谐格点”，则当 时，和谐格点的个数是(2010 徐州期中卷)答案：7选题感悟：线性规划中的“整点”问题，是近几年考卷中炒作较多的一个考点，其作为对线性规划问题的考查，对可行域的作图能力要求较高1103305390._3xxyxyxyDyaDa设不等式组，表示的平面区域为则指数函数 的图象上存在区域 上的点，则的取值范围是(2010 北京卷)答案：(1,3【解析】作出可行域当a1时，才能使yax图象上存在区域D上的点，由图可知当yax图象经过点A时，a取最大值，而A(2,9)代入解析式得9a2，a3，所以1a3.选题感悟：线性规划问题所考查的知识点，往往不是单一的，常与其他知识综合，但都以考查基础为主，难度不大，应掌握基础知识和基本方法
