1、2013年高三诊断考试数 学注意事项：1本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。试题前标注有（理）的试题理科考生作答，试题前标注有（文）的试题文科考生作答，没有标注的试题文理科考生均作答。2本卷满分150分，考试用时120分钟。3答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效。第I卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（文）若全集，则集合等于A. B. C. D.（理）设全集，已知的子集、满足集，则A. B. C. D. 2.（文）设为虚数单位，若，则实数满足A. B. C. D. （理）设为虚数单位，复
2、数为纯虚数，则实数为A. B. C. D. 3.曲线在点P(1，12)处的切线与两坐标轴围成三角形的面积是A.75 B. C. 27 D.4.若点到双曲线的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为A. B. C. D.5.（文）下列命题中的真命题是A.对于实数、，若，则B.不等式的解集是C. ，使得成立D.，成立（理）已知命题：函数的最小值为；：不等式的解集是;： ，使得成立;：，成立.其中的真命题是A. B. ， C. ， D. ，6.（文）已知数列为等差数列，若，则A. B. C. D.（理）数列满足，且，则 A. B. C. D. kmk=1,p=1p=p(n-m+k)k=k+1输出p输
3、入n、m开始是否结束7. 执行右面的程序框图，若输入的,那么输出的是A.120B.240C.360D.7203248. 有一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.16 B.20C.24D.329.(文) 在半径为的圆内任取一点，以该点为中点作弦，则所做弦的长度超过的概率是A. B. C. D.（理）已知动点到两定点、的距离和为8，且，线段的的中点为，过点的所有直线与点的轨迹相交而形成的线段中，长度为整数的有A.条 B.条 C.条 D.条10.(文) 已知动点到两定点、的距离和为8，且，线段的的中点为，过点的所有直线与点的轨迹相交而形成的线段中，长度为整数的有A.条 B.条 C.条 D
4、.条（理）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象若在上为增函数，则的最大值为 A4 B3 C2 D111.（文）数列的前项和为，若，则 A B C D（理）已知函数是上的偶函数，且满足，在0,5上有且只有，则在2013,2013上的零点个数为 A808 B806 C805 D80412.（文）已知函数是上的偶函数，且满足，在0,5上有且只有，则在2013,2013上的零点个数为A808 B806 C805 D804（理）定义：.在区域内任取一点，则、 满足的概率为A. B. C. D. 第卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13（文）已知变量满足，则的最大值为_
5、.（理）已知向量，为非零向量，若，则 .14（文）已知向量，为非零向量，若，则 .（理）三位老师分配到4个贫困村调查义务教育实施情况，若每个村最多去2个人，则不同的分配方法有 种.15.已知三棱锥的所有顶点都在以为球心的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径,若三棱锥的体积为，则球的表面积为 .16（文）定义一种运算.令.当时，函数的最大值是_.（理）已知各项为正的数列中，（），则 .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17（本小题满分12分）在中，角、的对边分别为、，.（）求角的大小；（）若，求的值18（本小题满分12分）PABDC（文）如图，在四棱
6、锥中，平面，底面是菱形，()求证：平面；（）若，求棱锥的高.（理）如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，PABDC（）求证：；（）若，求二面角的余弦值.19（本小题满分12分） （文） 某售报亭每天以每份0.4元的价格从报社购进若干份报纸，然后以每份1元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的报纸以每份0.1元的价格卖给废品收购站.（）若售报亭一天购进280份报纸，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量（单位：份，）的函数解析式.（）售报亭记录了100天报纸的日需求量（单位：份），整理得下表：日需求量240250260270280290300 频数10201616151310（1）假设售报亭在这100
7、天内每天购进280份报纸，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；（2）若售报亭一天购进280份报纸，以100天记录的各需求量的频率作为各销售量发生的概率，求当天的利润不超过150元的概率.（理）某售报亭每天以每份0.4元的价格从报社购进若干份报纸，然后以每份1元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的报纸以每份0.1元的价格卖给废品收购站.（）若售报亭一天购进270份报纸，求当天的利润(单位：元)关于当天需求量（单位：份，）的函数解析式.（）售报亭记录了100天报纸的日需求量（单位：份），整理得下表：日需求量240250260270280290300 频数10201616151310以100天记
8、录的需求量的频率作为各销售量发生的概率.（1）若售报亭一天购进270份报纸，表示当天的利润（单位：元），求的数学期望；（2）若售报亭计划每天应购进270份或280份报纸，你认为购进270份报纸好，还是购进280份报纸好? 说明理由.20（本小题满分12分）已知点为轴上的动点，点为轴上的动点，点为定点，且满足，.（）求动点的轨迹的方程；（）过点且斜率为的直线与曲线交于两点，试判断在轴上是否存在点，使得成立，请说明理由.21（本小题满分12分）（文）已知函数，（，为常数，），且这两函数的图象有公共点，并在该公共点处的切线相同.（）求实数的值； （）若时，证明：恒成立.（理）已知函数，（，为常数，）
9、，且这两函数的图像有公共点，并在该公共点处的切线相同.（）求实数的值； （）若时，恒成立，求实数的取值范围.请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时请写清题号.22（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲ABCDEFO已知：如图,为的外接圆，直线为的切线，切点为，直线，交于、交于，为上一点，且.求证：（）；（）点、共圆. 23（本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程在直接坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为(为参数) （I）已知在极坐标（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，点的极坐标为（4，），判断点与直线
10、的位置关系；（II）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值24（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知函数（I）证明：；（II）求不等式的解集2013高三诊断考试数学参考答案及评分标准（理）一、选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号123456789101112答案CDDABACBDCBB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. ； 14.； 15. ； 16. .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 解：（）由，得. 3分.， . 6分（）由正弦定理,得
11、. 9分, ,. . 11分. 12分18. （）证明：因为四边形是菱形，所以.又因为平面,所以.又,所以平面. 又平面，所以 6分PABDCMN（）解：依题意,知平面平面，交线为，过点作，垂足为，则平面.在平面内过作，垂足为，连,则平面，所以为二面角的一个平面角 . 9分，, . 10分又，故. 所以. 11分.即二面角的余弦值为. 12分19. 解：（）当时，; 当时，, 5分（）（1）可取135、144、153、162, 则，. 9分（2）购进报纸280张，当天的利润为 ，所以每天购进280张报纸好 12分20. 解：（）设，则由，得为的中点. 2分, . , ., 即.动点的轨迹的方程
12、. 5分（）设直线的方程为，由 消去得.设，, 则 , . 6分假设存在点满足条件，则, , . 9分,关于的方程有解 . 11分假设成立，即在轴上存在点，使得成立.12分21. 解：（），设与的公共点为，则有 3分解得. 5分（）由（）知,所以.有时，恒成立，即恒成立., ，且等号不能同时成立，.在时恒成立. 8分设（）,则.显然，又，.所以（仅当时取等号）.在上为增函数 . 11分故.所以实数的取值范围是. 12分22. 证明：直线为的切线,1. ,1.,又, . 5分（）由（）可知.,. 180.点、共圆. 10分23. 解：（I）把极坐标系下的点化为直角坐标，得.因为点的直角坐标（0，
13、4）满足直线的方程，所以点在直线上. 5分（II）设点的坐标为，则点到直线的距离为.由此得，当时，取得最小值，且最小值为 . 10分24. 解：（I）证明：当时，； 当时， ，所以；当时，.所以. 5分 （II）由（I）可知，当时，,的解集为空集；当时， 的解集为；当时， 的解集为. 综上，不等式的解集为 . 10分2013高三诊断考试数学参考答案及评分标准（文）一、选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号123456789101112答案DCDACACBBDAB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. ； 14. ；
14、 15. ； 16. .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 解：（）由，得. 3分.， . 6分（）由正弦定理,得. 9分, ,. . 11分. 12分18. （）证明：因为四边形是菱形，所以.又因为平面,所以.PABDC又,所以平面. 6分（）解：，设棱锥的高为 8分. ，, ， 10分.即棱锥的高为. 12分19. 解：（）当时，; 当时，, 5分（）(1) 这100天中,每天利润为132元的有10天，每天利润为141元的有20天，每天利润为150元的有16天，每天利润为159元的有16天，每天利润为168元的有38天，所以这100天的日利
15、润的平均数为 .9分(2)利润不超过150元当且仅当报纸日需求量不大于260份，故当天的利润不超过150元的概率的概率为. 12分20. 解：（）设，则由，得为的中点.2分, . , ., 即.动点的轨迹的方程. 5分（）设直线的方程为，由 消去得.设，, 则 , . 6分假设存在点满足条件，则, , . 9分,关于的方程有解 . 11分假设成立，即在轴上存在点，使得成立. 12分21. 解：（），设与的公共点为，则有 3分解得. 5分（）由（）知.所以. 要证时，恒成立,即证时，恒成立 . 8分设, 则. （仅当时取等号）.在上为增函数. 11分.时，恒成立.12分22. 证明：直线为的切线,1. ,1.,又, . 5分（）由（）可知.,. 180.点、共圆. 10分23. 解：（I）把极坐标系下的点化为直角坐标，得.因为点的直角坐标（0，4）满足直线的方程，所以点在直线上. 5分（II）设点的坐标为，则点到直线的距离为.由此得，当时，取得最小值，且最小值为 . 10分24. 解：（I）证明：当时，； 当时， ，所以；当时，.所以. 5分（II）由（I）可知，当时，,的解集为空集；当时， 的解集为；当时， 的解集为. 综上，不等式的解集为 . 10分版权所有：高考资源网()
