1、第十章 概率 10.3 频率与概率 1.了解频率与概率的关系.2.结合实例，会用频率估计概率.3.了解随机模拟的基本过程.学习目标 重点：用频率估计概率.难点：频率与概率的关系.知识梳理 一.什么是频率?在相同的条件下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn（A）Ann 为事件A出现的频率.显然，0Ann 1.二 概率与频率的关系 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn（A）会逐渐稳定于事件A发生的概率P（
2、A）.我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率fn（A）估计概率P（A）.三 频率与概率的区别与联系 频率概率区别本身是随机的观测值（试验值），在试验前无法确定，多数会随着试验的改变而变化，做同样次数的重复试验，得到的结果也会不同本身是固定的理论值，与试验次数无关，只与事件自身的属性有关联系频率是概率的试验值，会随试验次数的增大逐渐稳定；概率是频率理论上的稳定值，在实际中可用频率估计概率题型一 频率与概率意义的理解 常考题型 例1.下列关于概率和频率的叙述中正确的有 .（把符合条件的所有答案的序号填在横线上）随机事件的频率就是概率；随机事件的概率是一个确定的数值，而频率不是一个
3、确定的数值；频率是客观存在的，与试验次数无关；概率是随机的，在试验前不能确定；概率可以看作频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性大小，而频率在大量重复试验的前提下可近似地看作这个事件的概率.【解析】随机事件的频率是概率的近似值，频率不是概率，故错误；随机事件的频率不是一个确定的数值，而概率是一个确定的数值，故正确；频率是随机的，它与试验条件、次数等有关，而概率是确定的值，与试验次数无关，故错误；由频率与概率的关系可知正确.【答案】反思与感悟：在条件满足时，概率大的事件，发生的可能性就大，概率小的事件发生的可能性就小，并不代表事件发生的频率.这就是极大似然法。极大似然法的基本
4、思想是一个随机试验已知有若干个结果A，B，C，若在一次试验中A发生了，则可认为当时的条件最有利于A发生，故应按此估计试验的条件，使发生A的概率最大.变式训练1题下列说法正确的是（）A.袋中有形状、大小、质地完全一样的5个红球和1个白球，从中随机抽出一个球，一定是红球B.天气预报“明天降水概率为10%”，是指明天有10%的时间会下雨C.某地发行一种福利彩票，中奖率是千分之一，那么，买这种彩票1 000张，一定会中奖D.连续掷一枚均匀硬币，若5次都是正面朝上，则第六次仍然可能正面朝上题型二 用频率估计概率 例2.一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表所示：时间范围1年内2年内3年
5、内4年内新生婴儿数n5 5449 60713 52017 190男婴数m2 8834 9706 9948 892（1）计算男婴的出生频率（保留4位小数）；（2）这一地区男婴出生的概率约是多少？反思感悟：由统计定义求概率的一般步骤（1）确定随机事件A的频数nA；（2）由fn（A）计算频率fn（A）（n为试验的总次数）；（3）由频率fn（A）估计概率P（A）.概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率.【解】（1）计算即得男婴出生的频率依次约为0.520 0，
6、0.517 3，0.517 3，0.517 3.（2）因为这些频率非常接近0.517 3，所以这一地区男婴出生的概率约为0.517 3.【变式训练2】2019西藏林芝一中高三模拟某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100名顾客的相关数据，如下表所示：已知这100位顾客中一次性购物超过8件的顾客占55%.一次性购物数量1至4件5至8件9至12件13至16件 17件及以上顾客数（人）x3025y10结算时间（分/人）11.522.53（1）求x，y的值；（2）求一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率.解：（1）由已知得2510553045yx，所以x1
7、5，y20.（2）设事件A为“一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟”，事件A1为“一位顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，事件A2为“一位顾客一次购物的结算时间为3分钟”，所以P（A）P（A1）+P（A2）20100+10100 0.3.题型三 用样本的频率估计总体的概率【例3】2019上海崇明区高三模拟为了估计水库中鱼的尾数，可以使用以下的方法：先从水库中捕出一定数量的鱼，例如2 000尾，给每尾鱼做上记号，不影响其存活，然后放回水库.经过适当的时间，让其和水库中的其他鱼充分混合，再从水库中捕出一定数量的鱼，例如500尾，查看其中带记号的鱼，假设有40尾，根据上述数据，估计水库中鱼的尾数为
8、 .【解题提示】求2 000尾鱼占水库中所有鱼的百分比求带记号的鱼在500尾鱼中占的百分比根据二者的关系列等式求解，估计水库中鱼的尾数【解析】设水库中鱼的尾数是n（nN+），现在要估计n的值，假设每尾鱼被捕到的可能性是相等的，从水库中任捕一尾鱼，记事件A捕到带记号的鱼，则P（A）2 000n.第二次从水库中捕出500尾鱼，其中带记号的有40尾，即事件A发生的频数为40，由概率的统计定义知P（A）40500，即2 000n40500，解得n25 000.所以估计水库中的鱼有25 000尾.【答案】25 000 反思与感悟：为什么用样本频率估计总体概率？用样本频率值估计概率往往能快速且正确，但必须
9、是抽取的样本有代表性，否则不可以.生活和生产实践中都是这样使用概率.没有必要对总体作统计，而且有些统计在试验的过程中是有破坏性的，例如统计一批灯泡的使用寿命，如果对总体全作了试验和统计，得出的使用寿命就没有应用价值了.本题用样本频率作为总体频率，体现了用样本估计总体的思想，现实生活中是很有必要的.解：（1）这种鱼卵的孵化概率为7 64510 000 0.764 5.（2）由（1）知，30 000个鱼卵大约能孵化出30 0000.764 522 935（尾）鱼苗.（3）要孵化出5 000尾鱼苗，需准备5 0000.764 5 6 540个鱼卵.【变式训练3】2019 江西九江校级月考某水产试验厂
10、施行某种鱼的人工孵化，10 000个鱼卵能孵化出7 645尾鱼苗.根据概率的统计定义解答下列问题：（1）求这种鱼卵的孵化概率（孵化率）.（2）30 000个鱼卵大约能孵化出多少尾鱼苗？（3）要孵化出5 000尾鱼苗，大概需准备多少个鱼卵？（精确到个位）题型四 利用随机模拟法估计概率 例4 已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数：907 966 191 925
11、 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A.0.35B.0.25C.0.20D.0.15【解析】由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有191，271，932，812，393，共5组随机数，所求概率为520 14 0.25.【答案】B反思与感悟：随机模拟解题的主要步骤1.构造或描述概率过程.构造与问题相一致的随机数组进行模拟.2.按要求产生随机变量.3.建立估计量，从中得到问题的解.【变式训练4】
12、2019四川泸县一中高三三诊已知某射击运动员每次射击击中目标的概率都为80%.现采用随机模拟的方法估计该运动员4次射击至少3次击中目标的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标；再以每4个随机数为一组，代表4次射击的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数：7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281据此估计，该射击运动员4次射击至少3次击中目标的概率为（）A.34B.520C.14D.451.随机试验中，事件A发生的次数叫频数，频数除以试 验的次数叫做事件A发生的频率。2.频率是通过试验计算出来的结果，是不稳定的，通过 很多次试验总结出来的频率可以估计概率。3.很多事件发生的概率是不知道的，我们在使用其概率 时都使用频率代替。4.有些试验的结果可以用随机数模拟产生，随机数模拟省 时省力，是预测和决策的重要方法。小结
