1、第三章 不等式 3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 3.3.2 简单的线性规划问题 第1课时 简单的线性规划问题 学 习 目 标核 心 素 养 1.了解线性规划的意义，以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念(重点)2.理解目标函数的最大、小值与其对应直线的截距的关系(易混点)通过简单线性规划问题的学习，培养直观想象素养自 主 预 习 探 新 知 1线性规划中的基本概念名称意义 约束条件由变量 x，y 组成的 线性约束条件 由 x，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值所涉及的变量 x，y 的函数解析式 线性目标函数 关于 x，y 的一
2、次解析式 不等式组可行解满足 的解(x，y)可行域所有 组成的集合 最优解使目标函数取得 的可行解 线性规划问题在 条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题线性约束条件可行解最大值或最小值线性约束思考：在线性约束条件下，最优解唯一吗？提示 不一定，可能只有一个，可能有多个，也可能有无数个2线性目标函数的最值线性目标函数 zaxby(b0)对应的斜截式直线方程是 yabxzb，它表示斜率为ab，在 y 轴上的截距是zb的一条直线，当 z 变化时，方程表示一组 的直线当 b0，截距最大时，z 取得 值，截距最小时，z 取得 值；当 b0，于是目标函数等价于 zx2y4，即转化为一般的线性规划问题显
3、然当直线经过点 C 时，目标函数 z取得最大值，由xy20，2xy50 得点 C 的坐标为(7，9)，此时 zmax21.2本例题中的条件不变(1)求 zx2y2 的最小值；(2)求 zyx的范围解(1)由 zx2y2 的几何意义为区域内的点(x，y)至(0，0)的距离的平方知，z 的最小值为(0，0)到直线 xy40 的距离的平方zmin4228.(2)由 zyx的几何意义为区域内的点(x，y)与原点连线的斜率因为 A(1，3)，B(3，1)，kOA3.kOB13，z 的取值范围是13，3.1利用线性规划求最值，关键是理解线性目标函数的几何意义，从本题的求解过程可以看出，最优解一般在可行域的
4、边界上，并且通常在可行域的顶点处取得，所以作图时要力求准确2非线性目标函数的最值的求解策略(1)z(xa)2(yb)2 型的目标函数可转化为点(x，y)与点(a，b)距离的平方，特别地，zx2y2 型的目标函数表示可行域内的点到原点的距离的平方(2)zybxa型的目标函数可转化为点(x，y)与点(a，b)连线的斜率(3)z|AxByC|可转化为点(x，y)到直线 AxByC0 的距离的 A2B2倍【例 3】已知约束条件x3y40，x2y10，3xy80，且目标函数 za2x(a2a2)y 取得最小值的最优解唯一，为(2，2)，则 a 的取值范围是 思路探究：本题中的目标函数中两个元的系数都含有
5、参数，因此需要研究参数的几何意义和符号特征，注意到 a2a2 的判别式非正，且 a20，又最小值的最优解唯一，从而斜率范围可以确定已知目标函数的最值求参数1 174，1 174 线性约束条件所表示的区域如图中阴影部分所示由于目标函数的 y 的系数 a2a2(a12)2740，x 的系数a20，故平行直线系 za2x(a2a2)y 的斜率非负，为a2a2a2.由于是最小值问题且最优解唯一，为图中的点 A(2，2)，从而只需a2a2a213，解得1 174a1 174，此即所求的 a 的取值范围根据目标函数的最值求参数的解题思路采用数形结合法，先画出可行域，根据目标函数表示的意义，画出目标函数取得
6、最值的直线，它与相应直线的交点就是最优解，再将所求出的最优解代入含有参数的约束条件，即可求出参数的值或范围跟进训练2若 x，y 满足xy20，kxy20，y0，且 zyx 的最小值为4，则 k的值为()A.2 B2C12D12D 若 k0，zyx 没有最小值，不合题意；若 k0)取得最大值的最优解有无穷多个，则 a 的值为 4已知变量 x，y 满足约束条件 1xy4，2xy2.若目标函数 zaxy(其中 a0)仅在点(3，1)处取得最大值，求 a 的取值范围解 变量x，y满足约束条件1xy42xy2，在坐标系中画出可行域，如图为四边形ABCD.其中A(3，1)，D32，12，B(1，3)，kAD1，kAB1，目标函数zaxy(其中a0)中的z表示斜率为a的直线系中的截距的大小，若仅在点(3，1)处取得最大值，则斜率应小于1，即a1，所以a的取值范围为(1，).点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
