1、第一章 解三角形 1.2 应用举例 第2课时 角度问题 学 习 目 标核 心 素 养 1.能灵活运用正弦定理及余弦定理解决角度问题(重点)2.会将实际问题转化为解三角形问题(难点)3.能根据题意画出几何图形(易错点)通过研究利用正弦定理和余弦定理在解决与角度有关的实际问题，提升学生的数学建模与数学运算素养自 主 预 习 探 新 知 方位角从指北方向 转到目标方向线所成的水平角如点 B 的方位角为(如图所示).方位角的取值范围：顺时针0，360)提示 方位角的概念表明，“从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角”，显然方位角的范围应该是0，2).思考：方位角的范围为什么不是(0，)?B 由仰角与俯
2、角的水平线平行可知.1从 A 处望 B 处的仰角为，从 B 处望 A 处的俯角为，则，的关系是()A BC90D180D 如图所示：BAC130.2在某次高度测量中，在 A 处测得 B 点的仰角为 60，在同一铅垂平面内测得 C 点的俯角为 70，则BAC 等于()A10B50C120D1307 如图所示，由题意可知AB33，BC2，ABC150.由余弦定理得AC227423 32cos 15049，AC7.所以A，C两地的距离为7千米3某人从A处出发，沿北偏东60行走33 千米到B处，再沿正东方向行走2千米到C处，则A、C两地的距离为_千米合 作 探 究 释 疑 难【例 1】(1)如图所示，
3、两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站南偏西 40，灯塔 B 在观察站南偏东 60，则灯塔 A 在灯塔 B 的()A北偏东 10 B北偏西 10C南偏东 80D南偏西 80角度问题(2)有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为 6 m，下底长为 10 m，高为 2 3m，那么此拦水坝斜坡的坡比和坡角分别是()A 33，60B 3，60C 3，30D 33，30(1)D(2)B(1)由条件及图可知，AB40，又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此灯塔 A 在灯塔B 南偏西 80.(2)如图所示，横断面是等腰梯形 ABCD，AB10 m，CD6 m，高
4、 DE2 3 m，则 AEABCD22 m，tan DAEDEAE2 32 3，DAE60.测量角度问题画示意图的基本步骤跟进训练1在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东 30，风速是20 km/h；水的流向是正东，流速是 20 km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东 ，大小为 km/h.60 20 3 如图，AOB60，由余弦定理知 OC2202202800cos 1201 200，故 OC20 3，COY303060.【例 2】在海岸 A 处，发现北偏东 45方向，距 A 处(31)海里的 B 处有
5、一艘走私船，在 A 处北偏西 75的方向，距离 A 处 2海里的 C 处的缉私船奉命以 10 3海里/时的速度追截走私船此时，走私船正以 10 海里/时的速度从 B 处向北偏东 30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？思路探究：你能根据题意画出示意图吗？在ABC 中，能求出 BC 与ABC 吗？在BCD 中，如何求出BCD?求航向的角度解 设缉私船用 t 小时在 D 处追上走私船，画出示意图，则有CD10 3t，BD10t，在ABC 中，AB 31，AC2，BAC120，由余弦定理，得BC2AB2AC22ABACcosBAC(31)2222(31)2cos 1206，BC 6，且 s
6、in ABCACBCsinBAC 26 32 22，ABC45，BC 与正北方向成 90角CBD9030120，在BCD 中，由正弦定理，得sin BCDBDsin CBDCD10t sin 12010 3t12，BCD30.即缉私船沿北偏东 60方向能最快追上走私船1测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解2在解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用余弦定理求角因为余弦函数在(0，)上是单调递减的，而正弦函数在(0，)上不是单调函数，一个正弦值可以对应两个角但角在0，2 上
7、时，用正、余弦定理皆可跟进训练2甲船在 A 处观察到乙船在它的北偏东 60方向的 B 处，两船相距 a n mile，乙船向正北方向行驶若甲船的速度是乙船速度的 3倍，问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船？相遇时乙船行驶了多少 n mile?解 如图所示，设两船在 C 处相遇，并设CAB，乙船行驶距离BC 为 x n mile，则 AC 3x，由正弦定理得 sin BCsin 120AC12，而 1510，所以此人在C点能与投递员相遇【例3】如图所示，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45方向，距A有9海里的B处，并以20海里/时的速度沿南偏西15方向行驶，若甲船沿南偏东 度的方向，并以28海里
8、/时的速度行驶，恰能在C处追上乙船问用多少小时追上乙船，并求sin 的值(结果保留根号，无需求近似值)思路探究：根据题意明确已知条件与几何量间的对应关系，将实际问题转化为数学问题，运用正、余弦定理解决解 设用 t 小时，甲船追上乙船，且在 C 处相遇，则在ABC 中，AC28t，BC20t，AB9，ABC1801545120，由余弦定理得，(28t)281(20t)22920t12，即 128t260t270，解得 t34或 t 932(舍去)，AC21(海里)，BC15(海里).根据正弦定理，得 sin BACBCsin ABCAC5 314，则 cos BAC1 751421114.又AB
9、C120，BAC 为锐角，45BAC，sin sin(45BAC)sin 45cos BACcos 45sin BAC11 25 628.(变条件，变结论)在本例中，若乙船向正南方向行驶，速度未知，而甲船沿南偏东 15的方向行驶恰能与乙船相遇，其他条件不变，试求乙船的速度解 设乙船的速度为 x 海里每小时，用 t 小时甲船追上乙船，且在 C 处相遇(如图所示)，则在ABC 中，AC28t，BCxt，CAB30，ABC135.由正弦定理得ACsin ABCBCsin CAB，即28tsin 135xtsin 30.所以x28sin 30sin 135 28122214 2海里/时故乙船的速度为1
10、4 2海里/时 解决实际问题应注意的问题(1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题课 堂 小 结 提 素 养 正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解1判断正
11、误(1)如图所示，该角可以说成北偏东 110.()(2)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系，其范围均是0，2.()(3)方位角 210的方向与南偏西 30的方向一致()答案(1)(2)(3)提示(1)说成南偏东 70或东偏南 20.(2)方位角的范围是0，2).A 由方向角的概念，B 在 A 的北偏西 3427.2在某测量中，设 A 在 B 的南偏东 3427，则 B 在 A 的()A北偏西 3427 B北偏东 5533C北偏西 5533D南偏西 3427B 由题意可知ACB180406080.ACBC，CABCBA50，从而可知灯塔 A 在灯塔 B 的北偏西
12、10.3如图所示，已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 40，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 60，则灯塔 A 在灯塔 B 的()A北偏东 5 B北偏西 10C南偏东 5D南偏西 104如图所示，D，C，B三点在地面的同一直线上，DCa，从D，C两点测得A点仰角分别为，()，则点A离地面的高度AB等于()A a sin sin sin（）B a sin sin cos（）C a cos cos sin（）D a cos sin cos（）A 结合题图可知DAC.在ACD中，由正弦定理得DCsin DAC ACsin，ACa sin sin DACa sin sin（）.在RtABC中，ABAC sin a sin sin sin（）.点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
