1、第一章 解三角形 1.2 应用举例 第1课时 解三角形的实际应用举例 学 习 目 标核 心 素 养 1.能将实际问题转化为解三角形问题(难点)2.能够用正、余弦定理求解与距离、高度有关的实际应用问题(重点)通过利用正、余弦定理求解实际问题中的长度、高度，培养学生的直观想象及数学建模素养自 主 预 习 探 新 知 1基线的概念与选择原则(1)定义在测量上，根据测量需要适当确定的 叫做基线(2)性质在测量过程中，要根据实际需要选取合适的 ，使测量具有较高的精确度一般来说，基线越长，测量的精确度越 线段基线长度高思考：在本章“解三角形”引言中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢
2、？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？提示 利用正弦定理和余弦定理2测量中的有关角的概念(1)仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫 ，目标视线在水平视线下方时叫 (如图所示).仰角俯角(2)方向角从指定方向线到目标方向线所成的水平角如南偏西60，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60.(如图所示)(3)视角从眼睛的中心向物体两端所引的两条直线的_，如图所示，视角50指的是观察该物体的两端视线张开的角度夹角提示 东南方向思考：李尧出校向南前进了200米，再向东走了200米，回到自己
3、家中，你认为李尧的家在学校的哪个方向？C 如图所示，设小强观测山顶的仰角为，则，因此，故选 C 项1小强站在地面上观察一个建在山顶上的建筑物，测得其视角为，同时测得观察该建筑物顶部的仰角为，则小强观测山顶的仰角为()A BCDC 选择 a，b，可直接利用余弦定理 AB a2b22ab cos 求解2如图所示，为了测量隧道口 AB 的长度，给定下列四组数据，测量时应选用数据()A，a，bB，aCa，b，D，bC 如图，在ABC 中由余弦定理得 39x26x cos 30，即 x23 3x60，解之得 x2 3或 3.3某人先向正东方向走了 x km，然后他向右转 150，向新的方向走了 3 km
4、，结果他离出发点恰好为 3 km，那么 x 的值为()A 3B2 3C2 3或 3D34如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取 A，B 两点，从A，B 两点测得树尖的仰角分别为 30和 45，且 A，B 两点之间的距离为 60 m，则树的高度为()A(3030 3)m B(3015 3)mC(1530 3)m D(153 3)mA 由正弦定理可得60sin（4530）PBsin 30，则 PB6012sin 1530sin 15(m)，设树的高度为 h，则 hPB sin 45(3030 3)m.合 作 探 究 释 疑 难【例1】海上A，B两个小岛相距10 海里，从A岛望C岛和B岛成60的视
5、角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则B，C间的距离是()A10 3 海里 B10 63海里C5 2海里D5 6海里测量距离问题D 根据题意，可得如图所示在ABC 中，A60，B75，AB10，C45.由正弦定理可得 ABsin C BCsin A，即1022BC32，BC5 6(海里).三角形中与距离有关的问题的求解策略(1)解决与距离有关的问题，若所求的线段在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解(2)解决与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活
6、应用正、余弦定理来解决跟进训练1如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点 A，B，望对岸标记物 C，测得CAB30，CBA75，AB120 m，则河的宽度为 m.60 由题意知，ACB180307575，ABC 为等腰三角形河宽即 AB 边上的高，这与 AC 边上的高相等，过 B 作 BDAC 于 D，河宽BD120sin 3060(m).【例2】(1)如图所示，从山顶望地面上C，D两点，测得它们的俯角分别为45和30，已知CD100 m，点C位于BD上，则山高AB等于()A100 m B50 3 mC50 2 m D50(31)m 测量高度问题(2)在一幢 20 m 高的楼顶测得对面一塔
7、吊顶的仰角为 60，塔基的俯角为 45，那么这座塔吊的高是()A.201 33m B20(1 3)mC10(6 2)m D20(6 2)m思路探究：(1)解决本题关键是求 AB 时确定在哪一个三角形中求解，该三角形是否可解(2)解决本题关键是画出示意图(1)D(2)B(1)设山高为 h，则由题意知 CBh，DB 3h，3hh100，即 h50(31).(2)如图，由条件知四边形 ABCD 为正方形，ABCD20 m，BCAD20 m.在DCE 中，EDC60，DCE90，CD20 m，ECCDtan 6020 3 m，BEBCCE(2020 3)m.选 B.解决测量高度问题的一般步骤(1)画图
8、：根据已知条件画出示意图(2)分析三角形：分析与问题有关的三角形(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用跟进训练2某兴趣小组要测量电视塔 AE 的高度 H(单位：m).如图所示，竖直放置的标杆 BC 的高度 h4 m，仰角ABE，ADE.该小组已测得一组，的值，算出了 tan 1.24，tan 1.20，请据此算出 H 的值解 由 AB Htan，BD htan，AD Htan 及 ABBDAD，得 Htan htan Htan，解得 Hh tan tan tan 41.241.241.20124.因此电视塔
9、的高度 H 是 124 m探究问题1已知 A，B 是海平面上的两个点，相距 800 m，在 A 点测得山顶 C 的仰角为 45，BAD120，又在 B 点测得ABD45，其中 D 是点 C 到水平面的垂足试画出符合题意的示意图与立体几何有关的测量问题提示 用线段 CD 表示山，用DAB 表示海平面结合题中相应的距离及角度，画出立体图形，如图所示2在探究1中若要求山高CD,怎样求解？提示 由探究 1 知 CD平面 ABD，首先在ABD 中利用正弦定理求出 AD 的长，然后在 RtACD 中求出 CD.思路探究：利用方程的思想，设ABh.表示出BCh，BDhtan 30 3h，然后在BCD中利用余
10、弦定理求解如图所示，为了测量河对岸的山高AB，有不同的方案，其中之一是选取与山底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD200 m，在C点和D点测得山顶A的仰角分别是45和30，且CBD30，求山高AB.解 在 RtABC 中，ACB45，若设 ABh，则 BCh.在 RtABD 中，ADB30，则 BD 3h.在BCD 中，由余弦定理可得CD2BC2BD22BCBDcosCBD，即 2002h2(3h)22h 3h 32，所以 h22002，解得 h200(h200 舍去)，即塔高 AB200 米(变条件)若将例题中的条件“CD200 m，在C点和D点测得山顶A的仰角分别是45和30，且C
11、BD30”改为“CD800 m，在D点测得山顶A的仰角为45，CDB120，又在C点测得DCB45.”求山高AB.解 在BCD 中，CBD1801204515，CD800 m，BCD45，由正弦定理，CDsin CBDBDsin BCD，BDCDsin BCDsin CBD800 2222 32 12800(31)m，又ADB45，ABBD.AB800(31)m.即山的高度为800(31)m测量高度问题的两个关注点(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形
12、，仔细规划解题思路课 堂 小 结 提 素 养 1本节课要掌握三类问题的解法(1)测量距离问题(2)测量高度问题(3)与立体几何有关的测量问题2解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理和余弦定理解之(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解1判断正误(1)已知三角形的三个角，能够求其三条边()(2)两个不可到达的点之间的距离无法求得()(3)东偏北 45的方向就是东北方向()(4)仰角与俯角所在的平面是铅垂面()答案(1)(2)(3)(4)提示 已知三角形中至少知道一
13、条边才能解三角形，故(1)错两个不可到达的点之间的距离可以用解三角形的方法求出，故(2)错2身高相同的甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测 20 m高的旗杆，甲观测的仰角为 50，乙观测的仰角为 40，用 d1，d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有()Ad1d2 Bd120 m Dd2tan 40，所以 d1d2.3若某人在点A测得金字塔顶端仰角为30，此人往金字塔方向走了80 m到达点B，测得金字塔顶端的仰角为45，则金字塔的高度最接近于(忽略人的身高)()A110 m B112 mC220 m D224 mA 如图，设CD为金字塔，AB80 m设CDh，则由已知得(80h)33 h
14、，h40(31)109(m).从选项来看110最接近，故选A.200(31)过点 A 作 AHBC 于点 H，由图易知BAH45，CAH60，AH200 m，则 BHAH200 m，CHAHtan 60200 3 m故两船距离 BCBHCH200(31)m.4在高出海平面 200 m 的小岛顶上 A 处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是 45与 30，此时两船间的距离为 m.5海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75，距离为12 6海里；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30，距离为8 3海里；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在北偏东120，求：(1)A处与D处之间的距离；(2)灯塔C与D处之间的距离解 由题意，画出示意图(1)在ABD 中，由已知ADB60，B45，AB12 6.由正弦定理得 ADABsin 60sin 4524(海里).(2)在ADC 中，由余弦定理得 CD2AD2AC22ADAC cos 30242(8 3)22248 3 32(8 3)2，CD8 3(海里).即 A 处与 D 处之间的距离为 24 海里，C、D 之间的距离为 8 3海里点击右图进入 课 时 分 层 作 业 Thank you for watching!
