1、1分类讨论思想的含义分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略2分类讨论的常见类型有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等(3)由数学运算要
2、求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根被开方数为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限，点、线、面的位置关系等(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法(6)由实际意义引起的讨论：此类问题常常出现在应用题中3分类讨论解题的步骤(1)确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论(2)对所讨论的对象进行合理的分类(3)
3、逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决(4)归纳总结：将各类情况总结归纳角度一由概念、法则、公式引起的分类讨论例1设等比数列an的公比为q，前n项和Sn0(n1,2,3，)，则q的取值范围是_思维流程解析因为an是等比数列，Sn0，可得a1S10，q0.当q1时，Snna10；当q1时，Sn0，即0(n1,2,3，)，则有或，由得1q1.故q的取值范围是(1,0)(0，)答案(1,0)(0，)规律总结四步解决由概念、法则、公式引起的分类讨论问题第一步：确定需分类的目标与对象即确定需要分类的目标，一般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标第二步：根据公式、定理确定分类标准运用公式、定理
4、对分类对象进行区分第三步：分类解决“分目标”问题对分类出来的“分目标”分别进行处理第四步：汇总“分目标”将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理1设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1，F2，若曲线C上存在点P满足|PF1|F1F2|PF2|432，则曲线C的离心率等于()A.或B.或2C.或2 D.或解析：选A不妨设|PF1|4t，|F1F2|3t，|PF2|2t，其中t0，若该曲线为椭圆，则有|PF1|PF2|6t2a，|F1F2|3t2c，e；若该曲线为双曲线，则有|PF1|PF2|2t2a，|F1F2|3t2c，e.角度二由参数变化而引起的分类讨论例2已知aR，求函数f(x)x2|xa|在区
5、间1,2上的最小值思维流程解设函数f(x)x2|xa|在区间1,2上的最小值为m.当a1时，在区间1,2上，f(x)x3ax2，因为f(x)3x22ax3x0，x(1,2)，则f(x)是区间1,2上的增函数，所以mf(1)1a.当12时，在区间1,2上，f(x)ax2x3，f(x)2ax3x23x.若a3，在区间(1,2)上，f(x)0，则f(x)是区间1,2上的增函数，所以mf(1)a1；若2a3，则1a2，当1x0，则f(x)是区间上的增函数，当ax2时，f(x)0，则f(x)是区间上的减函数，因此当2a3时，mf(1)a1或mf(2)4(a2)当2a时，4(a2)a1，故mf(2)4(a
6、2)，当aa1，故mf(1)a1.综上所述，函数的最小值m规律总结两类与参数有关的分类讨论问题(1)由于所求的变量或参数的取值不同会导致结果不同，所以要对某些问题中所求的变量进行讨论；(2)有的问题中虽然不需要对变量讨论，但却要对参数讨论在求解时要注意讨论的对象，同时应理顺讨论的目的2(2013东北三校联考)已知函数f(x)ax3x21(xR)，其中a0.(1)若a1，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)若在区间上，f(x)0恒成立，求a的取值范围解：(1)当a1时，f(x)x3x21，f(2)3.f(x)3x23x，f(2)6，所以曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方
7、程为y36(x2)，即y6x9.(2)f(x)3ax23x3x(ax1)令f(x)0，解得x0或x.以下分两种情况讨论：若00等价于即解不等式组得5a5.因此02，则00等价于即解不等式组得a5或a.因此2a5.综合，可知a的取值范围为(0,5).角度三根据图形位置或形状分类讨论例3(2013长沙模拟) 在约束条件下，当3s5时，z3x2y的最大值的变化范围是()A6,15 B7,15C6,8 D7,8思维流程解析由取点A(2,0)，B(4s,2s4)，C(0，s)，C(0,4)(1)当3s4时，可行域是四边形OABC，如图(1)所示此时，7z0)的焦点为F，P为其上的一点，O为坐标原点，若O
8、PF为等腰三角形，则这样的P点的个数为()A2 B3C4 D6解析：选C当|PO|PF|时，点P在线段OF的中垂线上，此时，点P的位置有两个；当|OP|OF|时，点P的位置也有两个；对|FO|FP|的情形，点P不存在事实上，F(p,0)，若设P(x，y)，则|FO|p，|FP|，若 p，则有x22pxy20，又y24px，x22px0，解得x0或x2p，当x0时，不构成三角形；当x2p时，与点P在抛物线上矛盾所以符合要求的P点一共有4个1中学数学教材中与分类讨论有关的知识点(1)绝对值的定义；(2)一元二次方程根的判别式与根的情况；(3)二次函数二次项系数的正负与抛物线的开口方向；(4)反比例
9、函数y(x0)的反比例系数k，正比例函数ykx的比例系数k，一次函数ykxb的斜率k与图像位置及函数单调性的关系；(5)幂函数yx的幂指数的正、负与定义域、单调性、奇偶性的关系；(6)指数函数yax及其反函数yloga x中底数a1及0a0，则f(a)2a，因为2a201，所以f(a)2无解；若a0，则f(a)a1，由f(a)2，即a12，解得a3，显然满足a0.综上所述，a3.3正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为()A. B4C. D4或解析：选D当矩形长、宽分别为6和4时，体积V244；当长、宽分别为4和6时，体积V6.4a、b、c、d是空间的四条直线，如果ac，b
10、c，ad，bd，那么()Aab或cdBa、b、c、d中任何两条直线都不平行Cab且cdDa、b、c、d中至多有一对直线平行解析：选A(1)若a、b相交，必须确定一个平面，由题设知c，d，则cd；(2)若ab，则满足题设条件的直线c、d的位置关系不确定，可能平行，可能相交，也可能异面；(3)若a、b异面，由ca，cb，得c平行或重合于a、b的公垂线，同理d也平行或重合于a、b的公垂线，于是cd.综上所述，ab或cd必有一个成立5设集合Ax|x2x120，集合Bx|kx10，如果ABA，则由实数k组成的集合中所有元素的和与积分别为()A，0 B.，0C.， D.，解析：选AA4,3当k0时，B，符
11、合要求；当k0时，x.由ABA知BA，所以4或3，所以k或k，所以实数k组成的集合中所有元素的和与积分别为，0.6若不等式(a2)x22(a2)x40对一切xR恒成立，则a的取值范围是()A(，2 B2,2C(2,2 D(，2)解析：选C当a20即a2时，不等式为40，恒成立，所以a2；当a20时，则a满足解得2a2，所以a的范围是a|20且x1，则函数ylg xlogx10的值域为_解析：当x1时，ylg xlogx10lg x2 2；当0x2时，求函数f(x)的极小值；(2)试讨论函数yf(x)的图像与x轴公共点的个数解：(1)f(x)3ax23(a2)x63a(x1)，易求得函数f(x)
12、的极小值为f(1).(2)a0，则f(x)3(x1)2，f(x)的图像与x轴只有1个交点；若a0，f(x)的极小值为f0，f(x)的图像与x轴有3个交点；若0a2，则f(x)的极大值为f(1)0，f(x)的极小值为f2，由(1)知f(x)的极大值为f420，f(x)的极小值为f(1)0，f(x)的图像与x轴只有1个交点；综上知，若a0，则f(x)的图像与x轴只有1个交点；若a0.(1)若a2，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)求f(x)在区间2,3上的最小值解：(1)f(x)的定义域为R，且f(x)2x24x2a.当a2时，f(1)，f(1)2，所以曲线yf(x)在点(1，
13、f(1)处的切线方程为y2(x1)，即切线方程为6x3y50.(2)方程f(x)0的判别式为8a0.令f(x)0，得x11或x21.f(x)和f(x)的变化情况如下：x(，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)故f(x)的单调增区间为，；单调减区间为.当0a2时，x22，此时f(x)在区间(2,3)上单调递增，所以f(x)在区间2,3上的最小值是f(2)2a.当2a8时，x12x23，此时f(x)在区间(2，x2)上单调递减，在区间(x2,3)上单调递增，所以f(x)在区间2,3上的最小值是f(x2)a.当a8时，x123x2，此时f(x)在区间(2,3)上单调递减，所以f
14、(x)在区间2,3上的最小值是f(3)73a.综上，当0a2时，f(x)在区间2,3的最小值是2a；当2ab0)，则a2b21.当l垂直于x轴时，A，B两点坐标分别是和，1，则1，即a22b4.由消去a得2b4b210.b21或b2(舍去)当b21时，a22，因此椭圆C的方程为y21.(2)当直线斜率不存在时，易求A，B，P(0,1)，所以，(1，1)，由t使t，得t2，直线l的方程为x1，当直线斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以(x1，y11)，(x2，y21)，(1，1)，由t，得即因为y1k(x11)，y2k(x21)，所以y1y2k(x1x22)，解得k1，此时，直线l的方程为yx1，联立得3x24x0，tx1x2，所以，当直线斜率存在时，t，直线l的方程为yx1，综上所述，存在实数t且t2时，直线方程为x1；当t时，直线l的方程为yx1.高考资源网版权所有！投稿可联系QQ：1084591801
