1、课时规范练25平面向量的概念及线性运算基础巩固组1.下列说法错误的是()A.零向量与任一向量平行B.方向相反的两个非零向量不一定共线C.零向量的长度为0D.方向相反的两个非零向量必不相等2.设a,b是非零向量,则a=2b是a|a|=b|b|成立的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件3.(2020河南实验中学4月模拟,6)设D,E,F分别为ABC的三边BC,CA,AB的中点,则EB+FC=()A.12ADB.ADC.BCD.12BC4.已知向量a与b不共线,AB=a+mb,AC=na+b(m,nR),则AB与AC共线的条件是()A.m+n=0B.m-n=0
2、C.mn+1=0D.mn-1=05.在ABC中,AD是边BC上的中线,过点B的直线l与AD,AC分别相交于E,F两点,若AE=12AD,AF=AC,则=()A.13B.25C.411D.5136.(2020安徽合肥二模,文5)在平行四边形ABCD中,若DE=EC,AE交BD于F点,则AF=()A.23AB+13ADB.23AB-13ADC.13AB-23ADD.13AB+23AD7.已知O是四边形ABCD所在平面上任一点,ABCD且|OA-OB|=|OC-OD|,则四边形ABCD一定为()A.菱形B.任意四边形C.平行四边形D.矩形8.已知向量e1与e2不共线,且向量AB=e1+me2,AC=
3、ne1+e2,若A,B,C三点共线,则实数m,n满足的条件是()A.mn=1B.mn=-1C.m+n=1D.m+n=-19.(2020安徽合肥二中高三段考)已知P为ABC所在平面内一点,AB+PB+PC=0,|AB|=|PB|=|PC|=2,则ABC的面积等于()A.3B.23C.33D.4310.(2020河北武邑中学质检)在锐角三角形ABC中,CM=3MB,AM=xAB+yAC(x,yR),则xy=.11.(2020山东德州高三模拟)设向量a,b不平行,向量a+14b与-a+b平行.则实数=.综合提升组12.(2020辽宁庄河高级中学期中)有下列说法,其中正确的是()A.若ab,bc,则a
4、cB.若2OA+OB+3OC=0,SAOC,SABC分别表示AOC,ABC的面积,则SAOCSABC=16C.两个非零向量a,b,若|a-b|=|a|+|b|,则a与b共线且同向D.若ab,则存在唯一实数使得a=b13.设a,b是非零向量,则“存在实数,使得a=b”是“|a+b|=|a|+|b|”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件14.在等腰梯形ABCD中,AB=2DC,点E是线段BC的中点,若AE=AB+AD,则+=()A.52B.54C.12D.1415.过ABC的重心G作直线l,已知l与AB、AC的交点分别为M,N,SABCSAMN=209
5、,若AM=AB,则实数的值为()A.23或25B.34或35C.34或25D.23或3516.在ABC中,AB=2,BC=3,ABC=60,AD为BC边上的高,O为AD的中点,若AO=AB+BC,其中,R,则+=.创新应用组17.在平行四边形ABCD中,M是DC的中点,向量DN=2NB,设AB=a,AD=b,则MN=.18.(2020山东青岛西海岸联盟校模考)在ABC中,有如下结论:若M为ABC的重心,则MA+MB+MC=0.设a,b,c分别为ABC的内角A,B,C的对边,M为ABC的重心.若aMA+bMB+33cMC=0,则内角A的大小为;当a=3时,ABC的面积为.参考答案课时规范练25平
6、面向量的概念及线性运算1.B零向量的定义:零向量与任一向量平行,与任意向量共线,零向量的方向不确定,但模的大小确定为0,故A与C都是正确的;因为方向相反的两个非零向量必定平行,所以方向相反的两个非零向量一定共线,故B错误;对于D,因为向量相等的定义是:长度相等且方向相同的向量相等,所以方向相反的两个非零向量必不相等,故D正确,故选B.2.B因为a,b是非零向量,由a=2b可知,a,b方向相同,所以a|a|=b|b|成立,即由a=2b可推出a|a|=b|b|成立;若a|a|=b|b|,则a=|a|b|b,而|a|b|不一定等于2,所以a|a|=b|b|不一定推出a=2b,所以a=2b是a|a|=
7、b|b|成立的充分不必要条件.故选B.3.BD,E,F分别为ABC的三边BC,CA,AB的中点,EB+FC=(EF+FB)+(FE+EC)=FB+EC=12(AB+AC)=AD.故选B.4.D由AB=a+mb,AC=na+b(m,nR)共线,得a+mb=(na+b)=na+b,向量a与b不共线,1=n,m=,即mn-1=0,故选D.5.ABE=AE-AB=12AD-AB=14(AC+AB)-AB=14AC-34AB.BF=AF-AB=AC-AB,由于BE,BF共线,所以BE=BF,即14AC-34AB=(AC-AB),所以=34,=14,得=13.故选A.6.D如图,DE=EC,E为CD的中点
8、.设AF=AE=AB+BC+12CD=AB+AD-12AB=2AB+AD,又B,F,D三点共线,2+=1,解得=23,AF=13AB+23AD.故选D.7.C由|OA-OB|=|OC-OD|,可得|BA|=|DC|,即四边形中|AB|=|CD|.又由ABCD,所以ABCD,即四边形ABCD中有一组对边平行且相等,所以四边形ABCD为平行四边形,故选C.8.A因为A,B,C三点共线,所以一定存在一个确定的实数,使得AB=AC,所以有e1+me2=ne1+e2,由此可得1=n,m=,所以mn=1.故选A.9.B由|PB|=|PC|得,PBC是等腰三角形.取BC的中点D,连接PD,则PDBC.又AB
9、+PB+PC=0,所以AB=-(PB+PC)=-2PD,所以PD=12AB=1,且PDAB,故ABBC,即ABC是直角三角形.由|PB|=2,|PD|=1可得|BD|=3,则|BC|=23,所以ABC的面积为12223=23.10.3由题设可得CA+AM=3(AB-AM),整理,得4AM=3AB+AC,即AM=34AB+14AC,则x=34,y=14.故xy=3.11.-4a,b不平行,a+14b与-a+b平行,存在实数,使a+14b=(-a+b),-=1,14=,=-4.12.BA错误,例如b=0,推不出ac;设AC的中点为M,BC的中点为D,因为2OA+OB+3OC=0,所以22OM+2O
10、D=0,即2OM=-OD,所以O是MD的三等分点,可知O到AC的距离等于D到AC距离的13,而B到AC的距离等于D到AC距离的2倍,故可知O到AC的距离等于B到AC距离的16,根据三角形面积公式可知B正确;C错误,两边平方可得-2ab=2|a|b|,所以cos=-1,即夹角为,两向量反向,结论不正确;D错误,例如a=0,b=0,值不唯一.故选B.13.B存在实数,使得a=b,说明向量a,b共线,当a,b同向时,|a+b|=|a|+|b|成立,当a,b反向时,|a+b|=|a|+|b|不成立,所以,充分性不成立.当|a+b|=|a|+|b|成立时,有a,b同向,存在实数,使得a=b成立,必要性成
11、立,即“存在实数,使得a=b”是“|a+b|=|a|+|b|”的必要不充分条件,故选B.14.B(方法1)取AB的中点F,连接CF,则四边形AFCD是平行四边形,所以CFAD,且CF=AD.因为AE=AB+BE=AB+12BC=AB+12(FC-FB)=AB+12AD-12AB=34AB+12AD,所以=34,=12,+=54,故选B.(方法2)连接AC,AE=12(AB+AC)=12AB+12(AD+DC)=12AB+12(AD+12AB)=34AB+12AD,所以=34,=12,+=54,故选B.15.B设AN=xAC,因为G为ABC的重心,所以AB+AC=3AG,即13AM+13xAN=
12、AG.由于M,N,G三点共线,所以13+13x=1,即x=3-1.因为SABCSAMN=209,SABC=12|AB|AC|sinA,SAMN=12|AM|AN|sinA,所以|AB|AC|AM|AN|=|AB|AC|x|AB|AC|=1x=209,即有2023-1=9,解得=34或35,故选B.16.23由题意,得AD=AB+BD=AB+13BC,则2AO=AB+13BC,即AO=12AB+16BC.故+=12+16=23.17.16a-23b根据题意画图如下.则DM=12DC=12AB=12a,DN=23DB=23(AB-AD)=23AB-23AD=23a-23b,MN=DN-DM=23a-23b-12a=16a-23b.18.6934由aMA+bMB+33cMC=aMA+bMB+33c(-MA-MB)=a-33cMA+b-33cMB=0,且MA与MB不共线,a-33c=b-33c=0,a=b=33c.在ABC中,由余弦定理可求得cosA=32,A=6.若a=3,则b=3,c=33,SABC=12bcsinA=1233312=934.
