1、(十五)巧用定值 曲径通幽速解技法学一招椭圆是解析几何中的一个基本曲线，椭圆中蕴含了很多性质，常见的有弦长、面积等一系列问题，特别是其中的一类斜率乘积为定值的问题不可不知.,解决这类问题的常用解法：1联立方程通过联立直线与椭圆方程，借助根与系数的关系，通过设而不求，整体代换解决椭圆问题是最常用的方法.2点差法点差法就是在求解圆锥曲线并且题目中已经交代直线与圆锥曲线相交被截线段的中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，作差求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程.典例 椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为 32，过点 F1
2、 且垂直于 x 轴的直线被椭圆截得的线段长为 1.(1)求椭圆 C 的方程；(2)点 P 为椭圆 C 上除长轴端点外的任意一点，过点 P 作斜率为 k 的直线 l，使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，设直线 PF1，PF2 的斜率为 k1，k2，若 k0，试证明 1kk1 1kk2为定值，并求出这个定值解(1)由已知得2b2a 1，ca 32，b2c2a2，解得a2，b1，椭圆 C 的方程为x24 y21.(2)证明：可设 P(x0，y0)，直线 l 的方程为 yy0k(xx0)根据题意得1kPF1 1kPF2 1k1 1k2x0 3y0 x0 3y02x0y0，所以 1kk1 1kk2
3、 2ky0 x0，下一步证明斜率乘积 ky0 x0为定值b2a2即可联立方程yy0kxx0，x2a2y2b21，消去 y 得，1a2k2b2 x22ky0kx0 xb2y0kx02b210，由 0，得2ky0kx0b2241a2k2b2 y0kx02b21 0，整理得(a2x20)k22x0y0k(b2y20)0.又点 P(x0，y0)在椭圆上，则x20a2y20b21，所以a2y20b2 k22x0y0kb2x20a2 0，所以ay0b kbx0a20，即 ky0 x0b2a2得证经典好题练一手1.已知椭圆 C：x24 y21，过椭圆上一点 A(0,1)作直线 l 交椭圆于另一点 B，P 为
4、线段 AB的中点，若直线 AB，OP 的斜率存在且不为零，则 kABkOP_.解析：法一：(特殊值法)取 B1，32，则 P12，2 34，则 kAB 322，kOP2 32，故 kABkOP 3222 3214.法二：由题意，设直线 l 的方程为 ykx1，联立方程ykx1，x24 y21，消去 y 得，(14k2)x28kx0，得 xB 8k14k2，即 B8k14k2，14k214k2.则 P4k14k2，114k2，kABk，kOP 14k，kABkOP14.法三：(点差法)设 A(xA，yA)，B(xB，yB)，P(x0，y0)，则 x2A4 y2A1，x2B4 y2B1，两式相减得
5、x2Ax2B4y2Ay2B0，化简得yAyBxAxByAyBxAxB14，即yAyBxAxBy0 x014，kABkOP14.答案：142已知直线 l：yx 6，圆 O：x2y25，椭圆 E：y2a2x2b21(ab0)的离心率 e 33，直线 l 被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等(1)求椭圆 E 的方程；(2)过圆 O 上任意一点 P 作椭圆 E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证：切线斜率之积为定值解：(1)由题意，圆心 O 到直线 l 的距离 d 62 3，则直线 l 被圆截得的弦长 l2 532 2，b 2，由ca 33，b2c2a2，b 2，得 a 3，故椭圆 E 的方程为y23x2
6、2 1.(2)证明：设点 P 的坐标为(x0，y0)，过 P 点与椭圆相切的切线方程为 yy0k(xx0)因为点 P 在圆 x2y25 上，所以 x20y205，联立方程yy0kxx0，y23x22 1，消去 y 得，(32k2)x24k(kx0y0)x2(kx0y0)260，由题意知 4k(kx0y0)24(32k2)2(kx0y0)260，即 2k2(kx0y0)2(32k2)(kx0y0)23(32k2)0，(x202)k22x0y0ky2030，设过 P 点与椭圆 E 相切的两条切线斜率为 k1，k2.则 k1k2y203x2025x203x202 1(定值)，所以两切线斜率之积为定值
7、常用结论记一番已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)，下列三个斜率的乘积是定值b2a2：(1)直线 l 交椭圆于 A，B 两点，M 为 AB 的中点，若 l 与OM 的斜率存在，则 klkOMb2a2.(2)点 P 为椭圆上除顶点外任意一点，过点 P 的直线 l 与椭圆相切，若直线 l 的斜率为 k 且不为零，则 kkOPb2a2.(3)直线 AB 过椭圆的中心 O，交椭圆于 A，B 两点，P 为椭圆上异于 A，B，且使得 kPA，kPB都存在且不为零的点，则kPAkPBb2a2.对于双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)，下列三个斜率的乘积是定值b2a2：(1)双曲线 C 上任意两点 A，B，P 为 AB 的中点，若 AB，OP 的斜率存在且不为零，则 kABkOPb2a2；(2)点 P 为 C 上除顶点外任意一点，过点 P 的直线 l 与双曲线相切，若直线 l 的斜率为 k 且不为零，则 kkOPb2a2；(3)过原点的直线 l 与双曲线 C 交于 A，B 两点，P 为 C上任意一点，若直线 PA，PB 的斜率存在且不为零，则 kPAkPBb2a2.
