1、幂函数的概念 221(2)12314mmf xmm xmf x 已知，实数为何值时，是：正比例函数；反比例函数；二次函数【】；例幂函数 2222201112011112f xmmmmmf xmmmmm 若是正比例函数，则，解得；【解析】若是反比例函数，则，解得；222201132122412.31f xmmmmmf xmmm 若是二次函数，则，解得；若是幂函数，则，解得 本题考查函数的概念，需要根据相应函数的定义列出等式或不等式，要特别注意幂函数的定义及其应用 12()22f xk xk已知幂函数的【变式练习图象过点，则 _】_1(2010南通一模卷)32幂函数图象的应用 (2 2)1(2)4
2、122yf xyg xf xg xf xg x已知点，在幂函数 的图象上，点 ，在幂函数 的图象上求、的表达式；试【例比、】较的大小 2222.(2 2)2(2)2.1.(2)41(2)2.41111.111001112f xxf xxg xxg xxf xg xxxxxxf xg xxxf xg xxxf xg x设由于点，在其图象上，则，得 ，所以设由于点 ，在其图象上，则 ，得 ，所以若，则，得 或于是根据图象关系得：若 或，则；若或，则；若 或 ，则【】解析这是求函数表达式的一种常见题型掌握幂函数的概念是基础，掌握幂函数在第一象限的图象，根据 图 象 理 解 最 基 本 的 性 质 是
3、 关键对于比较两个函数值的大小，先研究相等的情况，就容易做好解答了 221(21)2mmf xmmxm 已知函数是幂函数且其图象过坐标原点，则实【变数 式练习】_2 22210102.mmmmm 由题设知，解【得】解析幂函数性质的应用 32420131(2 21)(1)123()(10)33aaf xmxxmxmxmaa若函数 的定义域为全体实数，求实数 的取值范围；比较，【例】的大小 22213132 21010084(1)0401,12.221,2110031()1,0,313().312aaaamxxmxmxmxRm mmmmmmaaa 依题意得对恒成立，故，解得所以故实数 的取值范围是
4、当时，所以它们的大小关系是：【解析】幂函数的定义域是根据幂函数的表达式的特点来确定的本题看成两个幂函数的和，前一个，0.70.8.函 数 y x0.7(x0)是 增 函 数，所 以0.80.70.70.7.故0.80.70.70.8.(3)因 为 a 0.71.31，所 以0a10)当m0时是增函数，故实数m的取值范围是(0，)幂函数的综合应用2*23()(0)(1)(32)33yxmmmymmaaaN已知幂函数 的图象关于 轴对称，且在，上【是减函数，求满足 的的取例4】值范围2*2(0)230131,22311(0)(0)3mmmmmymmmyxN因为函数在，上是减函数，所以，解得，又，所
5、以，又因为函数图象关于 轴对称，所以 是偶数，所以 ，因为 在 ，和，均为【解析】减函数，10031003(1)(32)331320321010322313223|132xxxxmmaaaaaaaaaaaa aa且当时，当时，所以 等价于或 或，解得 或，所以 的取值范围是 或幂函数的图象与性质是本题考查重点，充分利用幂函数的图象与性质解不等式，要注意考虑问题全面 2222142xxf xxx【变式练习】求函数的单调区间【解析】f(x)1(x1)2，其图象由幂函数yx2的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，因为幂函数yx2在(，0)上递增，在(0，)上递减，所以函数f(x)在
6、(，1)上递增，在(1，)上递减1.幂函数yx，对于x1，x2(0，)且x1f(x2)，则的取值范围是 _(，0)1 12.211,22 2(1)yxxyx设，幂函数 ，当，时，它的图象恒在直线 的下方，则 _1122,，2233.()0mmyxmyxmZ幂函数 的图象关于 轴对称，且当时，函数是减函数，则的值为_【解析】由m22m30，得1m0时，幂函数的图象还过定点(0,0)，当0时，图象不过原点幂函数在(0，)上的单调性，从三个方面考查：(1)当0 x)，在区间(1，)上总在直线yx的下方(x1时，函数图象在区间(0,1)上总在直线yx的下方(xx)，所以函数图象在(0，)上成下凸姿势，
7、函数是增函数，增长的速度越来越快；(3)当x)，在区间(1，)上总在直线yx的下方(xx)幂函数的奇偶性，一般先将函数式化为正指数幂或根式，再根据函数的定义域和函数奇偶性的定义进行判断要注意，幂函数的图象不经过第四象限 23()(0)_1_nnf xxnyf xZ若函数是偶函数，且 在，上是减函数区则届试，联(南通市通州2010高三考卷)【解析】因为yf(x)在(0，)上是减函数，所以n23n0，解得0n3，又nZ，所以n1或2.答案：n1或2选题感悟：本题考查幂函数在第一象限的单调性，对幂函数只要掌握最基本的性质即可 1(2)4_.2f xf x已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的解析式为应(2010徐州市考前适卷)21(2)42.f xxf xx设幂函数，将点，代入解得 ，故该幂函数的解析式为【解析】答案：x2选题感悟：本题考查用待定系数法求幂函数的解析式，这是求函数解析式的常用方法22420044(2)05 1.mxxmmm mm由题设有 对一切实数都成立，即且 ，解得【】解析221(42)(1)4_3xymxxmmmxm若关于 的函数 的定义域是全体实数，则实数 的取值范围是学(2010海安中期中卷)(5 1)，答案：选题感悟：幂函数在考试说明中是A级要求，高考主要考查其概念及简单性质的运用
