1、为了刻画现实世界中运动变化着的现象，在数学中引入了函数随着人们对函数研究的深入，人们在思考：已知物体运动的路程作为时间的函数，在任意时刻的速度与加速度是怎样的一种关系？怎样求任意曲线的切线和曲边形的面积、几何体的体积？怎样研究复杂函数的变化规律？怎样解决生活中的优化问题？于是，导数与积分应运诞生了，它是数学史上具有划时代意义的伟大创造，是数学史上的里程碑当你看到“导数”“积分”这两个名词时，你可能会感到陌生，其实它不过是初中数学的延伸本章我们将会系统的学习如何用导数工具研究函数的性质，解决生活中的优化问题等一系列问题学习本章，要深刻领会以直代曲，无限细分、积分的极限思想，体会用微观驾驭宏观的辩
2、证思维方法，体会构造在研究数学中的作用.1.1变化率与导数1.1.1变化率问题Q法国队报网站的文章称刘翔以不可思议的速度统治了赛场这名21岁的中国人跑的几乎比炮弹还快，赛道上显示的12.94秒的成绩已经打破了12.95秒的奥运会纪录，但经过验证他是以12.91秒平了世界纪录，他的平均速度达到8.52米/秒通过这个事例我们可以看出，世界充满着变化，有些变化几乎不被人们所察觉，有的变化比较明显，而有些变化却让人们发出感叹和惊呼这就是人们经常关心的变化快慢变化率问题X1在气球膨胀过程中，当空气容量从V1增加到V2时，气球的半径从r(V1)增加到r(V2)，气球的平均膨胀率是.随着气球体积逐渐变大，它
3、的平均膨胀率逐渐变小.2高台跳水运动员当高度从h(t1)变化到h(t2)时，他的平均速度为.3函数平均变化率的定义已知函数yf(x)，当自变量x从x1变化到x2时，函数值从f(x1)变化到f(x2)，则当x1x2时，比值为函数f(x)从x1到x2的平均变化率习惯上用x表示x2x1，用x1x代替x2；类似地，yf(x2)f(x1)，于是平均变化率可以表示为.Y1(2019凉州区校级期末)在平均变化率的定义中，自变量的增量x满足(D)Ax0Bx0Cx0 Dx0解析由导数的定义，可得自变量x的增量x可以是正数、负数，不可以是0.故选D2设函数yf(x)，当自变量x由x0改变到x0x时，函数值的改变量
4、y(D)Af(x0x) Bf(x0)xCf(x0)x Df(x0x)f(x0)解析函数值的改变量y是表示函数yf(x)在xx0x的函数值与xx0的函数值之差，因此有yf(x0x)f(x0)3已知函数f(x)2x24的图象上两点A，B，且xA1，xB1.1，则函数f(x)从A点到B点的平均变化率为(C)A4 B4xC4.2 D4.02解析4.2，故选C4已知函数y(x21)，则函数从x0到x0x的平均变化率是x0x.解析x0x.H命题方向1求函数的平均变化率典例1求函数y2x23在x0到x0x之间的平均变化率，并求当x02，x时该函数的平均变化率思路分析依据函数的平均变化率的定义，只要求出函数的
5、平均变化率的表达式，代入相应的数值，即可求出相应的平均变化率解析当自变量从x0变化到x0x时，函数的平均变化率为4x02x.当x02，x时，平均变化率的值为422()7.规律总结1.求函数f(x)的平均变化率的一般步骤为：求函数值的增量：yf(x0x)f(x0)；计算平均变化率：.2要注意x，y的值可正，可负，但x0，y可为零，若函数f(x)为常值函数，则y0.,跟踪练习1求函数yx3从x0到x0x之间的平均变化率，并计算当x01，x时平均变化率的值解析当自变量从x0变化到x0x时，函数的平均变化率为3x3x0x(x)2当x01，x时平均变化率的值为312312 .命题方向2平均变化率的应用典
6、例2试比较正弦函数ysinx在x0和x附近的平均变化率哪一个大？思路分析求正弦函数的平均变化率可按三角函数知识变形，便于比较大小在x0与x附近，x很小，可正可负，故比较平均变化率的大小，应依据作差后的表达式考虑判断方法，先求两点的平均变化率k1、k2，再作差k1k2变形，最后依据函数知识确定符号下结论解析当自变量x从0变化到x时，函数的平均变化率为k1.当自变量x从变化到x时，函数的平均变化率为k2.由于是在x0和x的附近的平均变化率，可知|x|较小，但x既可为正，又可为负当x0时，k10，k20，此时有k1k2；当x0时，k1k2.x0，x，|x|很小，sin.从而有sin1，则sin10，
7、又xk2.即正弦函数ysinx在x0附近的平均变化率比在x附近的平均变化率大规律总结比较函数平均变化率的大小，可以先将函数在每个自变量附近的平均变化率求出，然后进行大小的比较.跟踪练习2已知函数f(x)3x22，求f(x)在x01,2,3附近x时的平均变化率k1，k2，k3，并比较其大小解析6x03x.函数f(x)3x22在区间x0，x0x上的平均变化率为6x03x.当x01，x时，函数在1，1.5上的平均变化率为k16130.57.5；当x02，x时，函数在2，2.5上的平均变化率为k26230.513.5；当x03，x时，函数在3，3.5上的平均变化率为k36330.519.5，所以k1k
8、2k3.X平均变化率的几何意义一般地，设函数yf(x)的图象是曲线C，P(x0，y0)是曲线C上的定点，Q(x0x，y0y)是曲线C上与点P邻近的点，则y0f(x0)，y0yf(x0x)，即yf(x0x)f(x0)我们把直线PQ叫做曲线C的割线，割线PQ的斜率k.这就是函数yf(x)从x0到x0x的平均变化率，所以函数的平均变化率表示连接函数yf(x)图象上两点割线的斜率典例3过曲线yf(x)x2x上的两点P(1,0)和Q(1x，y)作曲线的割线，已知割线PQ的斜率为2，求x的值思路分析割线PQ的斜率即为函数f(x)从1到1x的平均变化率.解析yf(1x)f(1)(1x)2(1x)(121)x
9、(x)2，割线PQ的斜率k1x.又割线PQ的斜率为2，1x2，x1.规律总结解决本题的步骤是：首先求出函数值的变化量y，然后求出自变量的变化量x，最后利用平均变化率即为割线的斜率建立等量关系，利用方程思想求解x的值.跟踪练习3过曲线f(x)x3上两点P(1,1)和Q(1x,1y)作曲线的割线，求出当x0.1时割线的斜率解析yf(1x)f(1)(1x)31(x)33(x)23x，割线PQ的斜率k(x)23x3.设x0.1时割线的斜率为k1，则k10.1230.133.31.Y不能正确识图致误典例4A，B两机关单位开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图
10、所示，则一定有()A两机关单位节能效果一样好BA机关单位比B机关单位节能效果好CA机关单位的用电量在0，t0上的平均变化率比B机关单位的用电量在0，t0上的平均变化率大DA机关单位与B机关单位自节能以来用电量总是一样大错解选C因为在(0，t0)上，W1(t)的图象比W2(t)的图象陡峭，在(0，t0)上用电量的平均变化率，A机关单位比B机关单位大辨析从图上看，两机关单位在(0，t0)上用电量的平均变化率都取负值正解B由题可知，A机关单位所对应的图象比较陡峭，B机关单位所对应的图象比较平缓，且用电量在0，t0上的平均变化率都小于0，故一定有A机关单位比B机关单位节能效果好故选B点评识图时，一定要结合题意弄清图形所反映的量之间的关系，特别是单调性，增长(减少)的快慢等要弄清K1已知函数f(x)2x24的图象上一点(1，2)及邻近一点(1x，2y)，则等于(C)A4B4xC42x D42(x)2解析2x4.2物体做直线运动所经过的路程s可以表示为时间t的函数ss(t)，则物体在时间间隔t0，t0t内的平均速度是(C)Av0 BC D解析由平均变化率的概念知C正确，故选C3(2019蚌埠高二检测)已知函数f(x)axb在区间1,8上的平均变化率为3，则实数a3.解析a3.4求y从x0到x0x的平均变化率解析y，y在x0到x0x之间的平均变化率为 .
