1、2.2.2 椭圆的几何性质1.掌握椭圆的几何性质.2.掌握椭圆的标准方程中a,b,c,e的几何意义及其之间的相互关系.焦点在x轴、y轴上的两类椭圆的几何性质与特征比较:焦点的位置焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 图形 标准方程 x2a2+y2b2=1(0)y2a2+x2b2=1(0)范围-axa,-byb-aya,-bxb 顶点 A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)轴长 长轴长为 2a,短轴长为 2b焦点(c,0)(0,c)焦点的位置焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 焦距 2c(c2=a2-b2
2、)对称性 对称轴为 x 轴、y 轴,对称中心为原点离心率 e=ca(0,1),其中 c=a2-b2 名师点拨1.判断曲线关于原点、x轴、y轴对称的依据.若把方程中的x换成-x,y换成-y,方程不变,则曲线关于原点对称.若把方程中的y换成-y,方程不变,则曲线关于x轴对称.若把方程中的x换成-x,方程不变,则曲线关于y轴对称.2.椭圆的顶点是它与对称轴的交点.【做一做 1】椭圆 29+236=1 的长轴长为()A.5B.3C.6D.12 解析:椭圆的长轴长为2a,由方程可知a=6,所以2a=12.答案:D【做一做 2】椭圆 225+29=1 的离心率为_.答案:45椭圆的离心率剖析:(1)椭圆的
3、焦距与长轴长的比,称作椭圆的离心率.记作 e=.(2)因为 ac0,所以离心率 e 的取值范围是 0e1.离心率的大小对椭圆形状的影响:当 e 趋近于 1 时,c 趋近于 a,从而 b=2-2越小,因此椭圆越扁平;当 e 趋近于 0 时,c 趋近于 0,从而 b 趋近于 a,因此椭圆越接近于圆.椭圆与圆是两种不同的曲线,因此椭圆的离心率满足不等式0e 0,1)表示离心率为 12 的椭圆,求椭圆的标准方程.分析:椭圆的焦点不知在哪个坐标轴上,故需要分两种情况来讨论,再由 e=12 即可求得.解:当焦点在 x 轴上,即 a1 时,由题意,得 c=2-1,所以 2-1=12,解得 a2=43,所以椭
4、圆的标准方程为 324+2=1;题型一 题型二 题型三 当焦点在 y 轴上,即 0a 0)上的一动点,且与椭圆长轴两顶点连线的斜率之积为 12,则椭圆的离心率为()A.32 B.22 C.12 D.33解析:设 P(x0,y0),则00-00+=12,化简得 022+2022=1.又因为 P 在椭圆上,所以 022+022=1,所以 a2=2b2,故所求离心率为 22.答案:B6123455.已知椭圆 25+2=1 的离心率=105,则的值为_.解析:若 m5,则-5 =105,解得m=253.故 m 的值为 3或 253.答案:3或 25361234566.已知椭圆的焦点在坐标轴上,且椭圆过点(3,0),离心率 e=63,求椭圆的标准方程.分析:应用待定系数法,列出关于a,b,c的方程组再求解.解:当椭圆的焦点在x轴上时,因为 a=3,=63,所以 c=6,从而b2=a2-c2=9-6=3,所以椭圆的标准方程为 29+23=1.当椭圆的焦点在 y 轴上时,因为 b=3,=63,所以 2-2=63,所以a2=27,所以椭圆的标准方程为 29+227=1.故所求椭圆的标准方程为 29+23=1 或 29+227=1.
