1、1.了解推出的意义.2.理解充分条件和必要条件的意义.3.掌握判断充分条件、必要条件的方法.1.命题的条件和结论“如果p,则(那么)q”形式的命题,其中p称为命题的条件,q称为命题的结论.【做一做1】指出命题“若a=-b,则a2=b2”的条件和结论.解:命题的条件是:a=-b,结论是:a2=b2.2.推出符号“”的含义 当命题“如果p,则q”经过推理证明断定是真命题时,就说由p可以推出q,记作pq,读作“p推出q”.【做一做 2】用符号“”表示命题:若A=60,则 sin A=32.分析:因为所给命题为真命题,所以可用推出符号表示.解:A=60sin A=32.名师点拨只有当一个命题是真命题时
2、,才能使用推出符号“”表示.例如:“如果两个三角形全等,那么它们的面积相等”是真命题,故可用推出符号“”表示为:两个三角形全等它们的面积相等.“如果两个三角形面积相等,那么它们全等”是假命题,故此命题不能用推出符号“”表示.知识拓展1.符号“”的含义.当命题“如果p,则q”是假命题时,就说由p不能推出q.记作pq,读作“p不能推出q”.2.推出的传递性.若pq,且qr,则pr.3.充分条件、必要条件 如果p可推出q,则称p是q的充分条件,q是p的必要条件.【做一做3】已知r:x=8,s:x7,问r是s的充分条件吗?s是r的必要条件吗?s是r的充分条件吗?分析:x=8x7,但 x7x=8.因为
3、x7x=8,所以 s 不是 r 的充分条件.解:因为 x=8x7,所以 r 是 s 的充分条件,s 是 r 的必要条件;又因为 x7x=8,所以 s 不是 r 的充分条件.4.充要条件 一般地,如果pq,且qp,则称p是q的充分且必要条件,简称p是q的充要条件,记作pq.显然,当p是q的充要条件时,q也是p的充要条件.p是q的充要条件,又常说成q当且仅当p,或p与q等价.【做一做4】已知p:两直线平行;q:内错角相等.试判断p是q的什么条件?解:因为pq,且qp,所以p是q的充要条件.名师点拨对充要条件的判定,首先要分清条件p和结论q,不但要有pq,还要有qp.知识拓展充分不必要条件、必要不充
4、分条件和既不充分也不必要条件.若 pq,且 qp,则称 p 是 q 的充分不必要条件;若 pq,且 qp,则称 p 是 q 的必要不充分条件;若 pq,且 qp,则称 p 是 q 的既不充分也不必要条件.1.对充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”的理解 剖析:(1)充分条件:说条件是充分的,也就是说条件是足以保证结论成立的.例如,说“x8”是“x6”的一个充分条件,就是说“x8”这个条件,足以保证“x6”成立.(2)必要条件:说条件是必要的,就是说该条件必须要有,必不可少.从上例可以看出,如果x6,那么x可能大于8,也可能不大于8;但如果x不大于6,那么x不可能大于8.因此要使x8必须要有
5、x6这个条件.必要条件简单说就是:有它不一定,没它可不行.2.从集合的观点理解充分条件、必要条件和充要条件 剖析:首先建立与p,q相对应的集合,即p:A=x|p(x),q:B=x|q(x).若 AB,则 p 是 q 的充分条件,若 AB,则 p 是 q 的充分不必要条件 若 BA,则 p 是 q 的必要条件,若 BA,则 p 是 q 的必要不充分条件 若 A=B,则 p,q 互为充要条件 若 AB,BA,则 p 既不是 q 的充分条件,也不是 q的必要条件 题型一 题型二 题型三 题型四 充分条件、必要条件的判断【例1】在下列各题中,试判定p是q的什么条件:(1)p:(x-2)(x-3)=0,
6、q:x=2;(2)p:同位角相等,q:两直线平行;(3)p:x=3,q:x2=9;(4)p:四边形的对角线相等,q:四边形是平行四边形.分析:(1)利用“两个因式的积等于零两个因式中至少有一个等于零”及充分条件、必要条件的定义判断.(2)利用平行线的判定定理和性质定理以及充分条件、必要条件的定义判断.(3)利用平方与开平方的意义,通过计算进行判断.(4)利用平行四边形的判定和性质定理进行判断.题型一 题型二 题型三 题型四 解:(1)因为命题“若(x-2)(x-3)=0,则x=2”是假命题,而命题“若x=2,则(x-2)(x-3)=0”是真命题,所以p是q的必要条件,但不是充分条件,即p是q的
7、必要不充分条件.(2)因为命题“若同位角相等,则两直线平行”是真命题,而命题“若两直线平行,则同位角相等”也是真命题,所以p是q的充要条件.(3)因为命题“若x=3,则x2=9”是真命题,而命题“若x2=9,则x=3”是假命题,所以p是q的充分条件,但不是必要条件,即p是q的充分不必要条件.(4)因为命题“若四边形的对角线相等,则四边形是平行四边形”是假命题,而命题“若四边形是平行四边形,则四边形的对角线相等”也是假命题,所以p不是q的充分条件,也不是必要条件,即p是q的既不充分也不必要条件.题型一 题型二 题型三 题型四 反思判断p是q的充分条件、必要条件的方法与步骤:(1)分清条件p和结论
8、q;(2)判断命题“若p,则q”和命题“若q,则p”的真假;(3)依据充分条件、必要条件的定义给出结论.题型一 题型二 题型三 题型四 利用充分条件、必要条件求参数的范围【例 2】已知 p:x|x2-5x+40,q:x|1-mx1+m,p 是q 的必要不充分条件,求 m 的取值范围.分析:先化简集合,“p 是q 的必要不充分条件”“qp,且pq”,从而明确两集合之间的关系,再利用数轴分析得到关于m 的不等式组,进而求得 m 的取值范围.解:设集合 A=x|x2-5x+40,B=x|1-mx1+m,则 p:A=x|1x4,q:B=x|1-mx 0,-4(-1)2-12(2+4-5)01a19,故
9、函数f(x)=(a2+4a-5)x2-4(a-1)x+3 的图象全在 x 轴的上方1a19.由以上推导过程知:反之若 1a19,则函数 f(x)的图象在 x 轴上方,即 1a19函数 f(x)=(a2+4a-5)x2-4(a-1)x+3 的图象全在 x 轴的上方.综上,函数 f(x)=(a2+4a-5)x2-4(a-1)x+3 的图象全在 x 轴的上方的充要条件是 1a19.题型一 题型二 题型三 题型四 易错题型【例4】已知命题p:A=x|x2-5x-60,q:B=x|-1x2a,且p是q的充分条件,求a的取值范围.错解:由x2-5x-60,得-1x6,即a3.所以a的取值范围为a3.错因分
10、析:“p是q的充分条件AB”,而错解用了“p是q的充分条件AB”,导致丢掉了a=3的错误.正解:由x2-5x-60,得-1x0,且a1,则“函数f(x)=ax在R上是减函数”是“函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:由函数f(x)=ax在R上是减函数,可得0a1,由函数g(x)=(2-a)x3在R上是增函数,可得a2.因为0a1a2,a2不能推出0a1,所以题干中前者为后者的充分不必要条件,故选A.答案:A 6123452.已知p:x=0,q:x(x-1)=0,则p是q的 条件.答案:充分不必
11、要 6123453.已知在ABC中,有p:AB=AC,q:C=B,则p是q的 条件.答案:充要 6123454.已知p:x2=1,q:x=1,则p是q的 条件.答案:必要不充分 6123455.已知p:x(x-3)0,q:|x|2,则p是q的 条件.解析:由x(x-3)0得0 x3,由|x|2得-2x2,因此pq,且qp,故p是q的既不充分也不必要条件.答案:既不充分也不必要 61234566.已知p:x|x2a,若p是q的充分不必要条件,求a的取值范围.分析:先化简集合,根据p是q的充分不必要条件得到两个集合之间的关系,然后利用集合关系解决问题.解:设A=x|x21=x|-1xa,则p:A=x|-1xa.p是q的充分不必要条件,AB.结合数轴分析可得a-1,a的取值范围为(-,-1.
