1、第二章 基本初等函数（）2.2 对数函数2.2.2 对数函数及其性质第 1 课时 对数函数的图象及其性质学习目标 1.理解对数函数的概念(重点)2.初步掌握对数函数的图象及性质(重点)3.会类比指数函数，研究对数函数的性质(重点、难点)1对数函数的概念函数 ylogax(a0，且 a1)叫做对数函数，其中 x是自变量，函数的定义域是(0，)2对数函数的图象与性质a 的范围0a1图象 性质 定义域(0，)值域R过定点(1，0)，即 x1 时，y0性质单调性在(0，)上是减函数在(0，)上是增函数1思考判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若对数函数 ylog(a1)x(x0)是增函数，则实数
2、a的取值范围是 a1.()(2)函 数 y log2x2 和 y log2x 3 都 是 对 数 函数()(3)对于 ylogax(0a1)，若 0 x0；若x1，则 logax0)是增函数，所以 a11，得 a2.(2)错，由对数函数的定义知 ylog2x2和 ylog2x3都不是对数函数(3)对，观察图象可知结论正确 答案：(1)(2)(3)2函数 ylg（x1）x1的定义域是()A(1，)B1，)C(1，1)(1，)D1，1)(1，)解析：要使函数有意义，则有x10，x10，解得1x1 或 x1.答案：C3函数 yloga(x2)1 的图象过定点()A(1，2)B(2，1)C(2，1)D
3、(1，1)解析：令 x21，即 x1，得 yloga111，故函数 yloga(x2)1 的图象过定点(1，1)答案：D4函数 y(a24a4)loga x 是对数函数，则 a_解析：由题意知a24a41，a0且a1，解得 a3.答案：35若定义在区间(1，0)内的函数 f(x)log2a(x1)满足 f(x)0，则 a 的取值范围是_解析：因为1x0，所以 0 x11，由对数函数的图象知，当真数大于 0 小于 1 时，只有底数也大于 0 小于1，对数的值才是正值，所以 02a1，得 0a0，解得 x23，所以函数 ylog5(3x2)的定义域是 xx23.(2)要使函数式有意义，需1x0，1
4、x1，解得 x1，且x0，所以函数 ylog(1x)6 的定义域是x|x0，log0.5（34x）0，解得12x34，所以函数 ylog0.5（34x）的定义域是x12x0，log4（x1）1，得 x(1，5)(5，)所以函数 f(x)11log4（x1）的定义域为(1，5)(5，)(2)由x0，log0.6x10，得x0，x0.6.所以 0 x0.6，所以函数 f(x)log0.6x1定义域为(0，0.6类型 2 对数型函数的图象典例 2(1)函数 ylg(x1)的图象大致是()(2)作出函数 y|log2x|2 的图象解：(1)当 x0 时，y0，排除选项 A、D，又 ylg(x1)是增函
5、数，排除选项 B.(2)第一步：作出 ylog2x 的图象，如图(1)第二步：将 ylog2x 的图象在 x 轴下方的部分以 x轴为对称轴翻折到 x 轴的上方，得到 y|log2x|的图象，如图(2)第三步：将 y|log2x|的图象沿 y 轴方向向上平移 2个单位，得到 y|log2x|2 的图象，如图(3)归纳升华1对数类函数的图象，一般以函数 ylogax 的图象为基础，通过平移、对称变换得到 2两种常见的对称变换：(1)含有绝对值的函数的图象变换一般地，y|f(x)|的图象是保留 yf(x)的图象在 x 轴上方的部分，并把 x轴下方的部分以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方而得到的(2
6、)yf(x)的图象与 yf(x)的图象关于 y 轴对称，yf(x)的图象与 yf(x)的图象关于 x 轴对称变式训练 图中的曲线是 yloga x 的图象，已知 a的值分别为 2，43，310，15，相应曲线 C1，C2，C3，C4中的 a 依次为 a1，a2，a3，a4，则它们的值分别为()A.2，43，15，310 B.2，43，310，15C.43，2，15，310D.43，2，310，15解析：在 x 轴上方，由对数函数的“底大图右”的性质得到 a2a11a4a3，所以 a1，a2，a3，a4的值分别为43，2，15，310.答案：C类型 3 对数值大小的比较典例 3 比较下列各组值的
7、大小：(1)log534与 log543；(2)log132 与 log152；(3)log23 与 log54.解：(1)法一：对数函数 ylog5x 在(0，)上是增函数，而3443，所以 log534log534.法二：因为 log5340，所以 log534log543.(2)法一：作函数 ylog13x 与 ylog15x 的图象，如图，再作直线 x2 与两图象分别交于 A、B 两点，则 A(2，log132)，B(2，log152)，点 B 在点 A 的上方，所以 log132log152.法二：log132 1log213，log152 1log215，因为对数函数 ylog2x
8、 在(0，)上是增函数，015131，所以 log215log2130，从而 log132log221log55log54，所以log23log54.归纳升华1利用对数函数的单调性比较大小：(1)同底数的两个对数值的大小比较，由对数函数的单调性比较(2)底数不同且真数也不相同的两个对数值的大小比较，常用引入中间变量法比较，通常取中间量为1，0，1 等 2底数不同而真数相同的两个对数值的大小比较，常用数形结合思想来解决，也可用换底公式化为同底，再进行比较变式训练(1)若 0 xy1，则()A3y3xBlogx3logy3Clog4xlog4yD.14x14y(2)已知 x(e1，1)，aln x
9、，b12ln x，celn x，则 a，b，c 的大小关系为()AcbaBbcaCabcDbac解析：(1)因为 0 xy1，所以由函数的单调性得3x3y，logx3logy3，log4xlog4y，14x14y，故选 C.(2)因为 x(e1，1)，所以 ln x(1，0)，所以 a(1，0)，b(1，2)，c(e1，1)，所以 bca，选 B.答案：(1)C(2)B类型 4 对数型函数的值域(最值)(互动探究)典例 4 求函数 ylog3(x24x7)的值域解：由 x24x7(x2)230 知，函数 ylog3(x24x7)的定义域为 R，令 tx24x7(x2)23，则 ylog3t，t
10、3，)，函数 ylog3t 在3，)上是增函数，所以 ylog3tlog331，即 y1，)所以函数 ylog3(x24x7)的值域是1，)迁移探究 1 求函数 ylog0.5(32xx2)的最小值解：设 32xx2u，则 u(x1)244.因为 u0，所以 00，44a0，解得 0a1.即 a 的范围为a|0a1归纳升华 求函数 ylogaf(x)的值域或最值，主要关注两个方面：对数函数的单调性；函数 uf(x)的值域，且必须 uf(x)0.1快速画出对数函数 ylogax(a0，且 a1)的草图的方法：根据对数函数的性质可知，对数函数的图象都经过点1a，1，(1，0)，(a，1)，且图象都在第一、四象限内，据此可以快速地画出对数函数 ylogax 的草图2函数 ylogax(a0，且 a1)的底数变化对图象位置的影响：观察图象，注意变化规律：(1)上下比较：在直线 x1 的右侧，a1 时，a 越大，图象向右越靠近 x轴，0a1 时，a 越小，图象向右越靠近 x 轴(2)左右比较：比较图象与 y1 的交点，交点的横坐标越大，对应的对数函数的底数越大
