1、第一章 章末检测1、已知为棱长为的正方体,点, 分别是线段,上的动点且不包括端点,在, 运动的过程中线段, 始终平行于平面,则四面体的体积的最大值是( )A. B. C. D. 2、一个封闭的正三棱柱容器,高为3,内装水若干(如图甲,底面处于水平状态),将容器放倒(如图乙,一个侧面处于水平状态),这时水面与各棱交点分别为所在棱的中点,则图甲中水面的高度为( )A. B. C.2D. 3、我国古代数学专著九章算术中有关“堑堵”的记载堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱.已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后,剩下几何体的三视图如图所示,则剩下几何体的体积是( )A.50B.75C. D. 4、已知圆
2、锥的母线长为5,圆锥的侧面展开图如图所示,且,一只蚂蚁欲从圆锥底面上的点出发,沿圆锥侧面爬行一周回到点,则蚂蚁爬行的最短路程为( )A. B. C. D. 5、如图所示,如果菱形所在平面,那么与的位置关系是( )A.平行B.垂直相交C.垂直但不相交D.相交但不垂直6、如图1,在三棱锥中, 平面为侧棱上的一点,它的主视图和左视图如图2所示, 则下列命题正确的是( )A. 平面,且三棱柱的体积为B. 平面,且三棱柱的体积为C. 平面,且三棱柱的体积为D. 平面,且三棱柱的体积为7、经过两条异面直线,外的一点作与都平行的平面,则这样的平面( )A.有且只有一个B.恰有两个C.至多有一个D.至少有一个
3、8、如图所示,正方体的棱长为2,点在棱上 (不与重合),点在底面上, ,点为的中点,则点的轨迹与正方体的面围成的较小几何体的体积为( )A. B. C. D. 9、在封闭的直三棱柱,内有一个体积为的球.若,则的最大值是()A. B. C. D. 10、九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为尺,米堆的高为尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知斛米的体积约为立方尺,圆周率约为,估算出堆放的米约有()A. 斛B. 斛C. 斛D. 斛11、已
4、知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,是边长为的正三角形, 为球的直径,且,则此棱锥的体积为_.12、如图,二面角的大小是,线段,与所成的角为,则与平面所成的角的正弦值是_13、已知圆和圆是球的大圆和小圆,其公共弦长等于球的半径, 且圆与圆所在的平面所成的一个二面角为则球的表面积等于_.14、在正方体中, 为线段上的一个动点,则下列结论中正确的序号是_.;平面;三棱锥的体积为定值;直线直线;异面直线与所成的角为定值.15、如图,直三棱柱中, 分别是的中点.1.证明: 平面;2.设,求三棱锥的体积. 答案以及解析1答案及解析：答案：A解析：过作底面于点,连接,则,即为三棱锥的高。设,则由题意知,所以
5、有,即.,所以以四面体的体积为,当且仅当,即时取等号,所以四面体的体积的最大值为。 2答案及解析：答案：D解析：因为分别为所在棱的中点，所以棱柱的体积设甲中水面的高度为,则,解得,故选D. 3答案及解析：答案：D解析：由题意及三视图，可知原集合体是在直三棱柱的基础上，截去一个四棱锥,如图所示，且三棱柱的底面是腰长为5的等腰直角三角形，,平面,所以剩下的几何体的体积为,故选D. 4答案及解析：答案：B解析：如图，连接,过点作交于点,因为圆锥的母线长为,所以,即蚂蚁爬行的最短路程为 5答案及解析：答案：C解析：因为是菱形,所以.又平面,则.因为,所以平面.又平面,所以.显然直线与直线不共面,因此直
6、线与的位置关系是垂直但不相交. 6答案及解析：答案：C解析：由主视图可知,PA=AC=4,且点D为线段PC的中点,所以.由左视图可知,BC=4.因为平面,所以.又,且,所以平面,所以,又,所以平面,. 7答案及解析：答案：C解析：当点所在位置使得 (或)确定的平面平行于或)时,过点作不出与都平行的平面.当点所在位置使得 (或)确定的平面与 (或)不平行时.可过点作.因为必是异面直线,所以不重合且相交于.因为,确定平面所以可作一个平面与都平行.综上所述,选C. 8答案及解析：答案：B解析：如图，连接,则为直角三角形，连接,则,所以不论如何变化，点到点的距离始终为1，故点的轨迹是一个以为球心，半径
7、为1的球面的,故所求体积 9答案及解析：答案：B解析：得.设底面的内切圆的半径为,所以,因为,所以最大球的直径, 即.此时球的体积.故选B. 10答案及解析：答案：B解析：由,得圆锥地面的半径所以米堆的体积所以堆放的米有斛,故选B. 11答案及解析：答案：解析：设外接圆的圆心为,则,三棱锥的高为.所以三棱锥的体积. 12答案及解析：答案：解析：过点作平面的垂线,垂足为,在内过作的垂线,垂足为,连结,如图所示.由作法知,又,平面.故为二面角的平面角,即又,连结,则 为与平面所成的角.设,则,. 13答案及解析：答案：解析：如图设点为圆和圆公共弦的中点,则在中为圆和圆所在的平面所成的二面角的一个平面角,即由可得设球的半径为,则,解得R=2,因此球的表面积为. 14答案及解析：答案：解析： 15答案及解析：答案：1.证明:连结,交于点,连结,则为的中点,因为为的中点,所以,又因为平面, 平面, 平面 2.,故此直三棱柱的底面为等腰直角三角形。由为的中点可得平面,.,同理,利用勾股定理求得,.再由勾股定理可得,.,.解析：
