1、第七章 直线与圆的方程 第 讲（第二课时）题型4 求直线的方程1.已知等腰直角三角形ABC中，C=90，直角边BC在直线2x+3y-6=0上，顶点A的坐标是(5，4)，求边AB和AC所在的直线方程.解：由题知直线BC的斜率kBC=-，又因为直线AC与直线BC垂直，所以直线AC的方程为y-4=(x-5),即3x-2y-7=0.因为ABC=45，所以解得kAB=-5或kAB=,23322-3|1,|1,211-3ABABBCABBCABkkkkkk即15所以AB边所在的直线方程为y-4=(x-5)或y-4=-5(x-5),即x-5y+15=0或5x+y-29=0.点评：求直线方程的关键是找到两个独
2、立条件,求得相应的两个参数.本题中已知直线过一个点,求得直线的斜率即可根据点斜式求得直线方程.利用等腰直角三角形的性质,得到kACkBC=-1,且ABC=45,再利用夹角公式,求得直线AB的斜率,进而得到直线AB的方程.15等腰三角形一腰所在的直线l1的方程是x-2y-2=0，底边所在的直线l2的方程是x+y-1=0，点(-2，0)在另一腰上，求这腰所在直线l3的方程.解：设l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，l1到l2的角是1，l2到l3的角是2，则k1=k2=-1，12，211121-1-2tan-3.111(-1)2kkk k 因为l1,l2,l3所围成的三角形是等腰三角形，所
3、以1=2，tan1=tan2=-3，即即解得k3=2.又因为直线l3经过点(-2，0)，所以直线l3的方程为y=2(x+2)，即2x-y+4=0.3232-31kkk k，331-31-kk，2.一条光线经过点P(2,3)射在直线l:x+y+1=0上，反射后穿过点Q(1，1).(1)求入射光线所在直线的方程;(2)求这条光线从P到Q所经过的距离.解：(1)如图所示，设点Q(x,y)为Q关于直线l的对称点,且QQ交l于M点.因为kl=-1,所以kQQ=1，所以QQ所在直线的方程为x-y=0.题型5 对称性问题由得点M的坐标为又因为M为QQ的中点，由此得得Q(-2，-2).设入射光线与l的交点为N
4、,且P、N、Q共线,得入射光线的方程为即5x-4y+2=0.10,-0 xyx y 11(-,-).2211-22,11-22xy22,3 222yx(2)因为l是QQ的垂直平分线,因而|NQ|=|NQ|,所以|PN|+|NQ|=|PN|+|NQ|=|PQ|即这条光线从P到Q所经过的距离是22(3 2)(2 2)41.41.点评:涉及到对称性问题,一般有点关于点对称、点关于直线对称、直线关于直线对称等类型.如求点P(a,b)关于直线ax+by+c=0的对称点的坐标的步骤:(1)设所求的对称点P的坐标为(x0,y0),则PP的中点一定在直线ax+by+c=0上;(2)直线PP与直线ax+by+c
5、=0的斜率互为负倒数,即00(,)22axby00-(-)-1.-ybaxab已知两点A(2，3)、B(4，1)，直线l：x+2y-2=0，在直线l上求一点P.(1)使|PA|+|PB|最小；(2)使|PA|-|PB|最大.解：(1)可判断A、B在直线l的同侧，设点A关于l的对称点A1的坐标为(x1，y1).则有解得由两点式可得直线A1B的方程为1111232-2022,-31(-)-1-22xyyx 112-5.9-5xy7(-4)1,11yx所以直线A1B与l的交点为由平面几何知识可知此时|PA|+|PB|最小.(2)由两点式求得直线AB的方程为y-1=-(x-4)，即x+y-5=0.所以
6、直线AB与l的交点为P(8，-3)，它使|PA|-|PB|最大.563(,-),2525P3.已知斜率为2的直线l与抛物线y2=4x相交于A、B两点，且|AB|=点C(a，0)为x轴上一动点，若ABC的面积不小于9，求a的取值范围.解：设直线l的方程为y=2x+m,代入y2=4x,得(2x+m)2=4x，即4x2+4(m-1)x+m2=0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则因为|AB|=所以即|x1-x2|=3，所以(x1+x2)2-4x1x2=9.题型6 求变量的取值范围3 5,212121-,.4mxxm x x3 5,212|-|1 23 5,xx 于是(1-m)2-m2=9，解得
7、m=-4.此时，=16(m-1)2-16m20.所以直线l的方程是y=2x-4，即2x-y-4=0.设点C到直线l的距离为d，则d=因为SABC9,所以即所以|2a-4|6，解得a5或a-1.故a的取值范围是(-，-15，+).点评:求参数的取值范围问题,一般是先根据条件得出参数的函数式或相应的不等式(组),再求得参数的取值范围.|2-4|.5a1|9,2AB d 1|2-4|3 59,25a在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q.则k的取值范围是_.解：由条件知，直线l的方程为y=kx+，将其代入椭圆方程得整理得因为直线l与椭圆有两个不同的交点
8、P和Q，所以解得k-或k.即k的取值范围为(-，-)(，+).22212xy222(2)1,2xkx221()2 210.2kxkx 22218-4()4-2 0,2kkk 22222222已知直线l:(a+2)x+(1-2a)y+4-3a=0.(1)求证：直线l经过第三象限;(2)若直线l不经过第二象限，求a的取值范围.解:(1)证明:l的方程可化为(2x+y+4)+a(x-2y-3)=0.令得所以直线l过定点P(-1,-2),故直线l经过第三象限.题型直线系方程的应用参 考 题参 考 题240,-2-30 xyxy-1.-2xy(2)设直线l在x轴上的截距为m,则据题意,m0,所以所以a
9、或a-2.又当a=-2时，直线l:y=-2符合条件.故a的取值范围是(-,-2，+).3-4.2ama3-40,2aa43431.要特别注意数形结合的数学思想方法.根据题意画出图形不仅易于找到解题思路，还可避免增解和漏解，同时还可充分利用平面图形的性质，挖掘某些隐含条件，优化解题过程，找到简捷解法.2.求对称点的步骤：(1)设点设对称点为(x，y)；(2)列式利用中点坐标公式(中心对称情况)或垂直平分的条件(轴对称情况)来列关于x，y的方程组;(3)求解解所列方程组，求到的解就是所求对称点的坐标.3.对有关中点、角平分线、光线等问题，或者在直线上求一点使点到两个已知点的距离之和最小(或者距离之差最大)等，要注意将其转化为对称问题来处理，即不妨试试用“对称法”来解题.
