1、大二轮文2高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文专题六 解析几何 第二编 专题整合突破3高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文 第二讲 椭圆、双曲线、抛物线4高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文主干知识整合5高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文必记公式1三个定义式(1)椭圆：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)；(2)双曲线：|PF1|PF2|2a(2a0)过焦点 F 的弦 AB，若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2p24，y1y2p2，弦长|AB|x1x2p.同样
2、可得抛物线 y22px，x22py，x22py 类似的性质7高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文重要性质1椭圆、双曲线中 a，b，c 之间的关系(1)在椭圆中：；离心率为.(2)在双曲线中：；离心率为.a2b2c2ecac2b2a2eca8高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文2双曲线的渐近线方程与焦点坐标(1)双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线方程为；焦点坐标 F1，F2(2)双曲线y2a2x2b21(a0，b0)的渐近线方程为；焦点坐标 F1，F2ybax(c,0)(c,0)yabx(0，c)(0，c)9高考随堂演练适考素能
3、特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文3抛物线的焦点坐标与准线方程(1)抛物线 y22px(p0)的焦点坐标为，准线方程为.(2)抛物线 x22py(p0)的焦点坐标为，准线方程为.p2，0 xp20，p2yp210高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文失分警示1忽视定位条件：在圆锥曲线问题的研究中，应先定位，后定形，缺少了定位往往会做无用功定位条件是：焦点或准线，定形条件是：a，b，p.2搞清双曲线渐近线的斜率：在求双曲线的渐近线方程时，一定要注意双曲线渐近线的斜率是ba还是ab.3忽略一元二次方程的判别式致误：对于以直线与圆锥曲线相交为前提的问题，应用直线与
4、曲线的方程求参数值或探究问题时，应注意判别式大于等于零这一条件11高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文热点考向探究12高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文考点 圆锥曲线的定义与标准方程 典例示法题型 1 圆锥曲线定义的应用13高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文典例 1 (1)2014重庆高考设 F1、F2 分别为双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点 P 使得|PF1|PF2|3b，|PF1|PF2|94ab，则该双曲线的离心率为()A.43B.53C.94D314高考随堂演练适
5、考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文解析 设|PF1|m，|PF2|n，依题意不妨设 mn0，于是mn3b，mn2a，mn94ab.mn94mn3mn2m3nm13n舍去.an，b43nc53n，e53，选 B.15高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文(2)2015河南郑州质检已知 P 为抛物线 y12x2 上的动点，点 P 在 x 轴上的射影为 M，点 A 的坐标是6，172，则|PA|PM|的最小值是()A8 B.192C10 D.21216高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文解析 依题意可知焦点 F0，12，准线为 y
6、12，延长 PM 交准线于点 H，则|PF|PH|，|PM|PH|12|PF|12，|PM|PA|PF|PA|12，即求|PF|PA|的最小值因为|PF|PA|FA|，又|FA|62172 12210，所以|PM|PA|1012192，故选 B.17高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文题型 2 求标准方程典例 2 (1)2016郑州质检设双曲线的一条渐近线为 y2x，且一个焦点与抛物线 y14x2 的焦点相同，则此双曲线的方程为()A.54x25y21 B5y254x21C5x254y21 D.54y25x2118高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二
7、轮 数学 文解析 因为 x24y 的焦点为(0,1)，所以双曲线的焦点在 y 轴上因为双曲线的一条渐近线为 y2x，所以设双曲线的方程为 y24x2(0)，即y2 x241，则 41，45，所以双曲线的方程为5y24 5x21，故选 D.19高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文(2)2014安徽高考设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2y2b21(0b1)的左、右焦点，过点 F1 的直线交椭圆 E 于 A，B 两点若|AF1|3|F1B|，AF2x 轴，则椭圆 E 的方程为_x232y21解析 不妨设点 A 在第一象限，如图所示AF2x 轴，A(c，b2)(其中 c2
8、1b2,0b0)20高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文又|AF1|3|F1B|，由AF1 3F1B 得 B5c3，b23，代入 x2y2b21 得25c29 b49b21，又 c21b2，b223.故椭圆 E 的方程为 x232y21.21高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文圆锥曲线的定义、标准方程的关注点(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定(3)焦点三角形的作用借助焦点三角形能很好地将定义式与
9、三角形中的边角关系式构建方程组，便于解决问题22高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文考点 圆锥曲线的性质 典例示法典例 3(1)2016郑州质检已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2 的直线与椭圆交于 A，B两点，若F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为()A.22B2 3C.52 D.6 323高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文解析 设|F1F2|2c，|AF1|m，若ABF1 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|AF1|m，|BF1|2m.由椭圆的定义可得A
10、BF1 的周长为 4a，即有 4a2m 2m，即 m(42 2)a，则|AF2|2am(2 22)a，在 RtAF1F2 中，|F1F2|2|AF1|2|AF2|2，即 4c24(2 2)2a24(21)2a2，即有 c2(96 2)a2，即 c(6 3)a，即 eca 6 3，故选 D.24高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文(2)已知抛物线 C：y28x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若FP3FQ，则|QF|()A.83B.52C3 D2解析 设 l 与 x 轴的交点为 M，过 Q 向准线 l 作垂线，垂足为
11、N，则由|NQ|MF|23及|MF|p4 可得|QF|83.25高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文本例(2)若改为“抛物线 C：y28x 的焦点为 F，过 F 的直线 l 与 C 交于 A、B 两点，若|AF|3|BF|，则直线 l 的方程是什么？”解 作出抛物线的准线 l1 及点 A，B 到准线的垂线段AA1，BB1，并设直线 l 交准线于点 M，设|BF|m，由抛物线的定义可知|BB1|m，|AA1|AF|3m.由 BB1AA1 可知|BB1|AA1|MB|MA|，即 m3m|MB|MB|4m，所以|MB|2m，则|MA|6m，故AMA130，得AFxMAA1
12、60，所以直线l 的斜率 k 3，从而直线 l 的方程为 y 3(x2)26高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文与圆锥曲线性质有关问题的求解策略(1)明确圆锥曲线中 a，b，c，e 各量之间的关系是求解问题的关键(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出 c和 a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数 c，a，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围(3)在双曲线中，由于 e21ba2，故双曲线的渐近线与离心率有着密切关系27高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文针对训练1.2015全国卷已
13、知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，ABM 为等腰三角形，且顶角为 120，则 E的离心率为()A.5B2C.3D.228高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文解析 设双曲线 E 的方程为x2a2y2b21(a0，b0)，不妨设点 M 在双曲线的右支上，如图，ABBM2a，MBA120，作 MHx 轴于H，则MBH60，BHa，MH 3a，所以 M(2a，3a)将点 M 的坐标代入双曲线方程x2a2y2b21，得 ab，所以 e 2.故选 D.29高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文22015重庆高考 如图，椭圆x2
14、a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F2 的直线交椭圆于 P，Q 两点，且 PQPF1.(1)若|PF1|2 2，|PF2|2 2，求椭圆的标准方程；(2)若|PF1|PQ|，求椭圆的离心率 e.30高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文解(1)由椭圆的定义，2a|PF1|PF2|(2 2)(2 2)4，故 a2.设椭圆的半焦距为 c，由已知 PF1PF2，因此 2c|F1F2|PF1|2|PF2|2 2 222 222 3，即 c 3，从而 b a2c21.故所求椭圆的标准方程为x24y21.31高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整
15、合大二轮 数学 文(2)解法一：连接 QF1，如右图，设点 P(x0，y0)在椭圆上，且 PF1PF2，则x20a2y20b21，x20y20c2，求得 x0aca22b2，y0b2c.32高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文由|PF1|PQ|PF2|得 x00，从而|PF1|2a a22b2cc2b4c22(a2b2)2a a22b2(a a22b2)2.由椭圆的定义，|PF1|PF2|2a，|QF1|QF2|2a.从而由|PF1|PQ|PF2|QF2|，有|QF1|4a2|PF1|.又由 PF1PF2，|PF1|PQ|，知|QF1|2|PF1|，因此(2 2)|
16、PF1|4a，即(2 2)(a a22b2)4a，于是(2 2)(1 2e21)4，解得e12142 21 2 6 3.33高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文解法二：连接 QF1，由椭圆的定义，|PF1|PF2|2a，|QF1|QF2|2a.从而由|PF1|PQ|PF2|QF2|，有|QF1|4a2|PF1|.又由 PF1PQ，|PF1|PQ|，知|QF1|2|PF1|，因此，4a2|PF1|2|PF1|.|PF1|2(2 2)a，从而|PF2|2a|PF1|2a2(2 2)a2(21)a.由 PF1PF2，知|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)2，因此
17、 eca|PF1|2|PF2|22a2 22 21296 2 6 3.34高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文考点 直线与圆锥曲线的位置关系 典例示法题型 1 与弦长、面积有关的问题典例 4 2014全国卷已知点 A(0，2)，椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的离心率为 32，F 是椭圆 E 的右焦点，直线 AF 的斜率为2 33，O 为坐标原点(1)求 E 的方程；(2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点当OPQ 的面积最大时，求 l 的方程35高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文解(1)设 F(c,0)，由条
18、件知，2c2 33，得 c 3.又ca 32，所以 a2，b2a2c21.故 E 的方程为x24y21.36高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文(2)当 lx 轴时不合题意，故设 l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)将 ykx2 代入x24y21 得(14k2)x216kx120.当 16(4k23)0，即 k234时，x1,28k2 4k234k21.从而|PQ|k21|x1x2|4 k21 4k234k21.又点 O 到直线 PQ 的距离 d2k21，37高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文所以OPQ 的面积SOPQ12d
19、|PQ|4 4k234k21.设 4k23t，则 t0，SOPQ 4tt24 4t4t.因为 t4t4，当且仅当 t2，即 k 72 时等号成立，且满足 0，所以，当OPQ 的面积最大时，l 的方程为 y 72 x2或 y 72 x2.38高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文题型 2 弦中点问题典例 5 2014江西高考过点 M(1,1)作斜率为12的直线与椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)相交于 A，B 两点，若 M是线段 AB 的中点，则椭圆 C 的离心率等于_2239高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文解析 设 A(x1，y1)
20、，B(x2，y2)，则x21a2y21b21，x22a2y22b21.、两式相减并整理得y1y2x1x2b2a2x1x2y1y2.把已知条件代入上式得，12b2a222，b2a212，故椭圆的离心率 e1b2a2 22.40高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文题型 3 相交中的向量问题典例 6 2014陕西高考 如图，曲线 C 由上半椭圆C1：y2a2x2b21(ab0，y0)和部分抛物线 C2：yx21(y0)连接而成，C1 与 C2 的公共点为 A，B，其中 C1 的离心率为 32.(1)求 a，b 的值；(2)过点 B 的直线 l 与 C1，C2 分别交于点
21、P，Q(均异于点 A，B)，若 APAQ，求直线 l 的方程41高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文解(1)在 C1，C2 的方程中，令 y0，可得 b1，且A(1，0)，B(1,0)是上半椭圆 C1 的左右顶点设 C1 的半焦距为 c，由ca 32 及 a2c2b21 得 a2.a2，b1.(2)由(1)知，上半椭圆 C1 的方程为y24x21(y0)易知，直线 l 与 x 轴不重合也不垂直，设其方程为 yk(x1)(k0)，42高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文代入 C1 的方程，整理得(k24)x22k2xk240.(*)设点 P
22、 的坐标为(xP，yP)，直线 l 过点 B，x1 是方程(*)的一个根由求根公式，得 xPk24k24，从而 yP 8kk24，点 P 的坐标为k24k24，8kk24.同理，由ykx1k0，yx21y0得点 Q 的坐标为(k1，k22k)43高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文AP 2kk24(k，4)，AQ k(1，k2)APAQ，APAQ 0，即2k2k24k4(k2)0，k0，k4(k2)0，解得 k83.经检验，k83符合题意，故直线 l 的方程为 y83(x1)44高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文1有关圆锥曲线弦长、面积
23、问题的求解方法(1)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解45高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文(2)面积问题常采用 S12底高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解(3)在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用46高考随堂演练适考
24、素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文2弦中点问题的解决方法(1)用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤设点设出弦的两端点坐标 代入代入圆锥曲线方程 作差两式相减，再用平方差公式把上式展开 整理转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解47高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文(2)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件 0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交48高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文3与相交有关的向量问题的解决方法在解决直线与圆锥曲线相交，所得弦端点的有关
25、的向量问题时，一般需利用相应的知识，将该关系转化为端点坐标满足的数量关系，再将其用横(纵)坐标的方程表示，从而得到参数满足的数量关系，进而求解49高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文高考随堂演练50高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文全国卷高考真题调研12016全国卷已知 F1，F2 是双曲线 E：x2a2y2b21的左，右焦点，点 M 在 E 上，MF1 与 x 轴垂直，sinMF2F113，则 E 的离心率为()A.2B.32C.3D251高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文解析 设 F1(c,0)，将 x
26、c 代入双曲线方程，得c2a2y2b21，所以y2b2c2a21b2a2，所以 yb2a.因为 sinMF2F113，所以 tanMF2F1|MF1|F1F2|b2a2c b22acc2a22ac c2a a2ce2 12e 24，所以 e2 22 e10，所以 e 2.故选 A.52高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文22014全国卷已知 F 为双曲线 C：x2my23m(m0)的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为()A.3B3C.3mD3m解析 由题意知，双曲线的标准方程为 x23my231，其中 a23m，b23，故 c a2b2 3m3，不妨设
27、 F 为双曲线的右焦点，故 F(3m3，0)其中一条渐近线的方程为 y 1mx，即 x my0，由点到直线的距离公式可得d|3 m1|1 m2 3，故选 A.53高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文32015全国卷在直角坐标系 xOy 中，曲线 C：yx24与直线 l：ykxa(a0)交于 M，N 两点(1)当 k0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有OPMOPN？说明理由解(1)由题设可得 M(2 a，a)，N(2 a，a)或 M(2 a，a)，N(2 a，a)又 yx2，故 yx24在 x2 a
28、处的导数值为 a，曲线C 在点(2 a，a)处的切线方程为 ya a(x2 a)，54高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文即 axya0.yx24在 x2 a处的导数值为 a，曲线 C 在点(2 a，a)处的切线方程为 ya a(x2 a)，即 axya0.故所求切线方程为 axya0 和 axya0.55高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文(2)存在符合题意的点，证明如下：设 P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线 PM，PN 的斜率分别为 k1，k2.将 ykxa 代入 C 的方程得 x24kx4a0.故
29、 x1x24k，x1x24a.从而 k1k2y1bx1 y2bx22kx1x2abx1x2x1x2kaba.56高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文当 ba 时，有 k1k20，则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补，故OPMOPN，所以点 P(0，a)符合题意57高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文其它省市高考题借鉴42016四川高考设 O 为坐标原点，P 是以 F 为焦点的抛物线 y22px(p0)上任意一点，M 是线段 PF 上的点，且|PM|2|MF|，则直线 OM 的斜率的最大值为()A.33B.23C.22D158高
30、考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文解析 设 Pt22p，t，易知 Fp2，0，则由|PM|2|MF|，得 Mp t22p3，t3，当 t0 时，直线 OM 的斜率 k0，当 t0时，直线 OM 的斜率 ktp t22p1pt t2p，所以|k|1p|t|t|2p12p|t|t|2p 22，当且仅当p|t|t|2p时取等号，于是直线 OM的斜率的最大值为 22，选 C.59高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文52015山东高考平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C1：x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线与抛物线 C2：x22py(p0)
31、交于点 O，A，B.若OAB 的垂心为 C2 的焦点，则 C1 的离心率为_32解析 由题意，双曲线的渐近线方程为 ybax，抛物线的焦点坐标为 F0，p2.不妨设点 A 在第一象限，由ybax，x22py，解得x2pba，y2pb2a2或x0，y0，故 A2pba，2pb2a2.60高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文所以kAF2pb2a2 p22pba4b2a24ab.由已知F为OAB的垂心，所以直线 AF 与另一条渐近线垂直，故 kAFba 1，即4b2a24abba 1，整理得 b254a2，所以 c2a2b294a2，故 c32a，即 eca32.61高考
32、随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文6.2015江苏高考如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为 22，且右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3.62高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文(1)求椭圆的标准方程；(2)过 F 的直线与椭圆交于 A，B 两点，线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于点 P，C，若 PC2AB，求直线 AB 的方程解(1)由题意，得ca 22 且 ca2c 3，解得 a 2，c1，则 b1，所以椭圆的标准方程为x22y21.63高考随堂演练适考素能特训热点考向探
33、究主干知识整合大二轮 数学 文(2)当 ABx 轴时，AB 2，又 CP3，不合题意当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线 AB 的方程为 yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将 AB 的方程代入椭圆方程，得(12k2)x24k2x2(k2 1)0，则x1,2 2k2 21k212k2，C的 坐 标 为2k212k2，k12k2，且|AB|x2x12y2y12 1k2x2x122 21k212k2.64高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文若 k0，则线段 AB 的垂直平分线为 y 轴，与左准线平行，不合题意从而 k0，故直线 PC 的方程为 yk12k21kx 2k212k2，则 P 点的坐标为2，5k22k12k2，从而|PC|23k211k2|k|12k2.因为|PC|2|AB|，65高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文所以23k211k2|k|12k24 21k212k2，解得 k1.此时直线 AB 的方程为 yx1 或 yx1.66高考随堂演练适考素能特训热点考向探究主干知识整合大二轮 数学 文适考素能特训
