1、应用题-经典应用题-方阵问题基本知识-4星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率方阵问题基本知识B1.明确空心方阵和实心方阵的概念及区别2.掌握空心方阵和实心方阵的变化规律少考知识提要方阵问题基本知识 概述在日常生活中，我们常把人或物排成正方形的形状，在数学上我们把研究这样的问题称为方阵问题。在摆放的方阵中如果是实心的，我们叫它实心方阵，也叫中实方阵；如果这个方阵是空心的，我们叫它空心方阵，也叫中空方阵。 实心方阵的特点总人（或物）数=每边人（或物）数 每边人（或物）数 空心方阵的特点总人（或物）数=（最外层每边人（或物）数 - 层数） 层数 4 奇数层：总人数=中间层总数 层数偶数层：总人
2、数=（外层 + 内层） 层数 2 若最外层每边有 a 人，内部虚方阵每边有 b 人，则空心方阵共有 (a2-b2) 人。 变化规律相邻两边之间相差 2；相邻两层之间相差 8；每层人（或物）数=每边人（或物）数 4-4 =每边人（或物）数 -1 4 精选例题方阵问题基本知识 1. 五年级学生分成两队参加学校广播操比赛，他们排成甲、乙两个方阵，其中甲方阵每边的人数等于 8，如果两队合并，可以另排成一个空心的丙方阵，丙方阵每边的人数比乙方阵每边的人数多 4 人，甲方阵的人数正好可以填满丙方阵的空心，那么，五年级参加广播操比赛的一共有 人【答案】260【分析】根据题意，乙方阵加上两个甲方阵的人数 12
3、8 人可以构成实心的丙方阵，且丙方阵每边人数比乙方阵多 4 人，所以由 b+42-b2=128，得到：4(2b+4)=128，所以 b14，因此乙方阵每边人数 14 人，五年级一共有 1414+88=260（人） 2. 有一些人组成 2 个正方形方阵，2 个正方形方阵之间相差 97 个人，那么这 2 个正方形方阵一共有 人【答案】4705【分析】假设 A 方阵有 a 人，B 方阵有 b 人，那么应该有 b2-a2=97，因此 (b-a)(b+a)=97，4949+4848=4705 3. 有 196 枚围棋子，摆成一个 1414 的正方形甲、乙两人依次从最外一层起取走每一层的全部棋子，直到取完
4、为止，甲比乙多取了 枚棋子【答案】28【分析】196 枚围棋子围成的方阵，最外层棋子数为 144-4=52，相邻两层棋子数相差 8，从外向内每一层棋子数为：52、44、36、28、20、12、4所以甲取走了 52+36+20+4=112(枚) 棋子，乙取走了 44+28+12=84(枚) 棋子，甲比乙多取了 112-84=28(枚) 棋子 4. 东风小学仪仗队的同学们排队，若排成正方形，则多余 12 名同学，如果把这个正方形扩大，纵横每排各增加一人，则缺少 9 人 【答案】112【分析】增加的一行一列有 12+9=21(人)，那么原来排成的正方形的每条边上有 (21-1)2=10(人)，东风小
5、学仪仗队有学生 1010+12=112(人) 5. 一个正方形方阵，其中的 4 行 5 列的人数总和为 250 人，那么如果将这个方阵去掉一行一列还剩 人【答案】841【分析】4 行 5 列，包括重复计算的：25020270 人，每行：270930 人，所以还剩：3030-30-301841 人 6. 有大小相同的正方形白石和黑石各 n 个首先，将黑石不留空隙地摆成一个正方形，然后在其外围摆一圈白石，再用剩下的黑石在白石圈的外围摆一圈，最后再用剩下的白石在黑石的外围再摆一圈，正好将所有石子用完（如下图所示）那么 2n= 【答案】144 个【分析】如上图所示，记最外层的一圈白石为 a 个，它里面
6、的一圈黑石为 b 个，再里边的一圈白石为 c 个，最中间的黑石组成的正方形再分成外面一圈 (d个) 和里面的正方形 (e个) 两部分注意到 a-b=b-c=c-d=8，所以 c=d+8,b=d+16,a=d+24因为 黑石的总数=白石的总数，所以 b+d+e=a+c,d+16+d+e=d+8+d+24,e=32-16=44最大的正方形的每一边有 4+42=12（个）石子，所以石子的总数为 1212=144（个） 7. 小虎在 1919 的围棋盘的格点上摆棋子，先摆成了一个长方形的实心点阵然后再加上 45 枚棋子，就正好摆成一边不变的较大的长方形的实心点阵那么小虎最多用了 枚棋子【答案】285【
7、分析】45=335，它小于 19 的最大约数为 15，所以不变的边长应为 15，另一边最长为 19，所以小虎最多用了 1519=285（枚）棋子 8. 在一个实心学生方阵中加入 13 人，可将原来的方阵变成一个多一行，多一列的大方阵，则原来的方阵有学生多少人？【答案】36【分析】(131)26（人），所以原来的方阵有 6636（人） 9. 用白、蓝两种颜色的正方形瓷砖铺满一面正方形的墙，共用了 324 块，最里面一层是蓝色的，第二层是白色，第三层是蓝色这样下去，最外面一层是什么颜色？整面墙上共有白色瓷砖多少块？【答案】蓝色；144【分析】324=1818，共有 9 层，所以最外层是蓝色的；共有
8、白色瓷砖：12+28+44+60=144 块10. 在一个实心学生方阵中加入若干人，原来的方阵变成一个多一行，多一列的方阵；若原来的方阵减少 13 人，可将原来的方阵变成一个少一行，少一列的方阵，问后来加入的学生有多少人？【答案】15【分析】(13+1)27（人），72115（人），所以后来加入的学生有 15 人11. 在一个实心学生方阵中减少 11 人，可将原来的方阵变成一个少一行，少一列的方阵，则原来的方阵有学生多少人？【答案】36【分析】(11+1)26（人），所以原来的方阵有 6636（人）12. 有大小一样，张数相同的黑白两种颜色的正方形纸片小高用白色纸片拼成中间没有缝隙的长方形，然
9、后用黑色纸片围绕已经拼成的白色长方形继续拼成更大的长方形，之后有用白色纸片拼下去，这样重复拼当小高用黑色纸片拼过 5 次以后，黑、白纸片正好用完请问：黑色纸片至少有多少张？【答案】350 张【分析】不妨设每张小纸片的边长为 1从外往内，每次同时“剥开”一层黑纸片和一层白纸片，剥了 5 次之后，就只剩下中心的一个由白纸片组成的长方形每次“剥开”的过程，黑纸片比白纸片多 8 张由于一共有 5 层黑纸片，所以一共可以剥除 5 次，所有被剥除 的黑纸片比所有被刹除的白纸片多 40 张，而总共的黑白纸片数量相同，所有最后剩余的只有白纸片构成的长方形中有 40 张白纸片这个长方形的长和宽都是整数，它的长与
10、宽的所有可能是：401、202、104、85由于全部纸片铺成的大长方形的长和宽比被“剥除”五次之后剩下的长方形的长和宽都大 20，所以大长方形的面积可以是 6021=1260、4022=880、3024=720、2825=700，其中最小的面积是 700而黑纸片的张数是这个面积的一半，所以最少有黑纸片 350 张13. 如图，一块绿地由 3 块相同的等边三角形草地和一个水池构成现在要在草地上种花，要求在草地与草地的公共点都种上（即图中的 A、B、C 点），且每块草地上的花朵排成了一个三角形点阵，且每条边上有 10 朵花请问：整个绿地一共要种多少朵花？【答案】162 朵【分析】每个三角形草地里每
11、边都有 10 朵花，所以每片草地有：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55 朵花，三片草地共有：553=165 朵花但这样算，三角形的连接处都被算了 2 次，多算 1 次，所以整个绿地一共种花 165-3=162 朵14. 某小学三年级共有学生 120 人，排成一个三层的空心方阵这个方阵最外层每边有多少人？如果在外面加一层，变成一个四层的空心方阵，那应该增加几个人？如果在内部再加一层，变成一个五层的空心方阵，那么还需要增加几个人？【答案】13；56；24【分析】一个三层方阵，外层比中层多 8 人，中层比内层多 8 人，所以中层有：1203=40 人，最外层共有 40+8=48 人，所以
12、，最外层每边 484+1=13 人；外面加一层需要有 48+8=56 人；内部加一层需要 40-8-8=24 人15. 某校少先队员可以排成一个四层空心方阵，如果最外层每边有 20 个学生，问这个空心方阵最内层共有多少个学生？这个四层空心方阵共有多少个学生？【答案】52；256【分析】20-2-2-214（人）；144-456-452（人）；14-2=12（人），202-122=400-144=256（人）所以这个空心方阵最内层共有 52 个学生，这个四层空心方阵共有 256 个学生16. 在学校的运动会上，同学们集体表演一个节目，站成了一个空心的正六边形阵列，与图中的阵列类似从外向内一共 8
13、 层，分别站着两层六年级的同学、两层五年级的同学、两层四年级的同学以及两层三年级的同学已知参加表演的六年级同学有 126 名，那么：（1）最外层有多少人？（2）现在阵列中一共有多少人？（3）如果想要让一、二年级的同学把这个空心阵列填满，还需要多少人？（最里层可站 1 个人）【答案】（1）66 人；（2）360 人；（3）37 人【分析】（1）六边形阵列中，相邻两层相差 6 人，所以最外层共有：(126+6)=66 人（2）共有：66+60+54+48+42+36+30+24=360 人（3）还需要：18+12+6+1=37 人17. 若干学生排成一个实心方阵，最外一层每边有 12 人，共有多少
14、层？14 层一共有多少人？【答案】6；64【分析】1226（层），248（人），8864（人），所以共有 6 层，14 层一共有 64 人18. 120 个棋子摆成一个三层空心方阵，最外层每边有多少棋子？【答案】13 个【分析】中间层总数为 1203=40（人），则每边有 404+1=11（人），所以最外层每边有 11+2=13（人）19. 若干学生排成一个实心方阵，最外一层每边比最内一层多 10 人，共有多少层？【答案】6【分析】(102)+16（层），所以共有 6 层20. 同学们用 64 盆花排出一个两层空心方阵，后来又决定在外面再增加一层成为三层方阵，还需多少盆花？【答案】44【分析】
15、对于两层方阵，外层比内层多 8 盆，两层共 64 盆，利用和差问题的解法，可以求出外层盆数是 (64+8)2=36（盆），从而得出需增加的盆数，36+8=44（盆）21. 刘老师把一些树苗栽种成一个尽量大的实心方阵，结果还多出了 6 棵树苗；后来又运来了 34 棵树苗，恰好能补成一个更大的实心方阵那么后来的方阵最外层每边有多少棵树？【答案】11 或 7【分析】若增加了 1 层，则现在最外层共有 40 棵树，所以最外层每边共有：40+44=11；若增加了2层，则 40=16+24，此时最外层有：24+44=7（棵）树22. 在一个实心学生方阵中加入 9 人，可将原来的方阵变成一个多一行，多一列的
16、大方阵，则原来的方阵有学生多少人？【答案】16【分析】(91)24（人），所以原来的方阵有 4416（人）23. 在一次运动会开幕式上，有一大一小两个方阵合并变换成一个 10 行 10 列的方阵，求较小方阵有多少人？【答案】36【分析】10 行 10 列的方阵由 100 人组成，原来的小方阵每行或每列人数都不会超过 10 人，大方阵人数应该在 50100 之间，可取 64 或 81，运用枚举法，可求出满足条件的是：大方阵有 64 人，小方阵有 36 人24. 用黑、白两种颜色的正方形瓷砖共 256 块铺满一面正方形的墙，最外一层是黑色，第二层是白色，第三层是黑色这样下去，那么整面墙上共有黑色瓷
17、砖多少块？【答案】144【分析】256=1616，所以最外层每边 16 块，从外往里共有 8 层，所以黑的共有：60+44+28+12=144 块25. 一队战士排成一个三层空心方阵多出 16 人，如果在空心部分再增加一层又缺 28 人，这队战士共有多少人？【答案】196【分析】16+28=44（人），所以空心部分新增一层每边有 444+1=12（人），所以最外层每边有 12+23=18（人），所以排好的三层共 182-122=324-144=180（人），因此这队战士共 180+16=196（人）26. 如图所示，用 10 枚棋子可以摆出一个正三角形点阵，每边 4 枚棋子；用 9 枚棋子可以
18、摆成一个正方形点阵，每边 3 枚棋子今有一堆棋子，棋子总数小于 100，用这堆棋子既可以摆出一个正三角形点阵，也可以摆出一个正方形点阵，问这堆棋子共有多少枚？【答案】36【分析】100 以内的平方数，只有62=36=1+2+3+4+5+6+7+8所以 36 既可以组成边长为 6 的方阵，也能组成边长为 8 的正三角形点阵27. 有一个 240 人排成的 5 层空心方阵，再增加多少人在最内层，就可以使该方阵变成一个 6 层空心方阵？【答案】24【分析】24045512517（人），17-2-2-2-2-27（人），(7-1)424（人），答：再增加 24 人在内部，就可以使该方阵变成一个 6 层空心方阵28. 晓晓爱好围棋，他用棋子在棋盘上摆了一个二层空心方阵，如图所示，外层每边有 14 个棋子，你知道他一共用了多少个棋子吗？【答案】96【分析】方阵每向里面一层，每边的个数就减少 2 个知道最外面一层每边放 14 个棋子，就可以求出第二层每边的个数知道各层每边的个数，就可以求出总数(14-1)4=52(个)(14-2-1)4=44(个)52+44=96(个)一共用了 96 个棋子
