1、第五节椭圆时间：45分钟分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)12m6是方程1表示椭圆的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析若1表示椭圆，则有2m6且m4，故2mb0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由AB中点为(1，1)得x1x22，y1y22.又直线AB过F(3,0)，得直线的斜率k，由点差法得0即0得0得0，即a22b2.又c3，即a2b29，解得a218，b29.故选D.答案D6(2013全国
2、大纲卷)椭圆C：1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是2，1，那么直线PA1斜率的取值范围是()A， B，C，1 D，1解析A1(2,0)，A2(2,0)，上顶点B1(0，)，若P位于B1处，kPA21，由图象分析P位于第一象限，设P(x0，y0)，则y0，kPA22，1得，而kPA1，故选B.答案B二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7(2013湖南岳阳一模)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且ABF2的周长为16，那么C的方程为_解析由ABF2的周长4a16，得a4，
3、又知离心率为，即，得c2，所以a216，b2a2c21688，C的方程为1.答案18(2014韶关调研)已知F1(1,0)，F2(1,0)为椭圆1的两个焦点，若椭圆上一点P满足|4，则椭圆的离心率e_.解析由题意2a4，a2，又c1，e.答案9设F1，F2分别是椭圆1(ab0)的左，右焦点，若在直线x上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆的离心率的取值范围是_解析设P(，y)，线段F1P的中点Q的坐标为(，)，则直线F1P的斜率kF1P，当直线QF2的斜率存在时，设直线QF2的斜率为kQF2(b22c20)由kF1PkQF21得y20，但注意到b22c20，故2c2b20，即3c2a
4、20，即e2，故e1.当直线QF2的斜率不存在时，y0，F2为线段PF1的中点由c2c得e，综上得e1.答案三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10已知椭圆的两焦点为F1(1,0)、F2(1,0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|PF1|PF2|.(1)求此椭圆的方程；(2)若点P在第二象限，F2F1P120，求PF1F2的面积解(1)依题意得|F1F2|2，又2|F1F2|PF1|PF2|，|PF1|PF2|42a.a2，c1，b23.所求椭圆的方程为1.(2)设P点坐标为(x，y)，F2F1P120，PF1所在直线的方程为y(x1)tan120，即y(x1)解方程组并注意到
5、x0，可得SPF1F2|F1F2|.11设椭圆C：1(ab0)过点(0,4)，离心率为.(1)求C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标解(1)将(0,4)代入C的方程得1，b4.又由e，得，即1，a5.C的方程为1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y(x3)设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y(x3)代入C的方程，得1，即x23x80，解得x1，x2.设线段AB的中点坐标为(x，y)，则x，y(x1x26)，即中点坐标为.12.(2014济宁模拟)如图，在直角坐标系xOy中有一直角梯形ABCD，AB的中点为O，ADAB，ADB
6、C，AB4，BC3，AD1，以A，B为焦点的椭圆经过点C.(1)求椭圆的标准方程；(2)若点E(0,1)，问是否存在直线l与椭圆交于M，N两点且|ME|NE|，若存在，求出直线l斜率的取值范围；若不存在，请说明理由解析：(1)连接AC，依题意设椭圆的标准方程为：1(ab0)，在RtABC中，AB4，BC3，AC5.CACB532a，a4.又2c4，c2，从而b2，椭圆的标准方程为1. (2)由题意知，当l与x轴垂直时，不满足|ME|NE|，当l与x轴平行时，|ME|NE|显然成立，此时k0.设直线l的方程为ykxm(k0)，由消去y整理得(34k2)x28kmx4m2480.由直线与椭圆交于两点得64k2m24(34k2)(4m248)0，16k212m2.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为F(x0，y0)，则x0，y0kx0m.|ME|NE|，EFMN，kEFk1，即k1，化简得m(4k23)，结合得16k212(4k23)2，即16k48k230，解得k(k0)综上可知，存在满足条件的直线l，且其斜率k的取值范围为.