1、河北省张家口市宣化一中2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若复数z满足是虚数单位，则z的共轭复数A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式成立的是A. B. C. D. 3. 抛物线的准线方程为A. B. C. D. 4. 已知lnx，2，lny成等差数列，则有A. 最小值2eB. 最小值C. 最大值2eD. 最大值5. 若命题“任意，“是真命题，则实数m的取值范围是A. B. C. D. 6. 已知在各项不为零的等差数列中，数列是等比数列，则的值为A. 6B. 4C. 2D. I7. 过椭圆内一点引一条恰好被P点平分的弦，则这
2、条弦所在直线的方程是A. B. C. D. 8. 周碑算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次是小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气，其日影长依次成等差数列，小寒、惊蛰、小满日影长之和为尺，前十个节气日影长之和为90尺，则清明日影长为A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺9. 已知抛物线C：的焦点为F，M为抛物线上一点，O为坐标原点，的外接圆与抛物线C的准线相切，则此外接圆的周长是A. B. C. D. 10. 设数列的前n项和为，若，则A. B. C. D. 11. 已知在正三棱柱中，M，N分别为和BC的中点，则直线AM与直线所成的角为A. B. C. D. 1
3、2. 已知双曲线：的左右焦点分别为和，抛物线：的准线过双曲线的左焦点，若双曲线与抛物线的交点M满足，双曲线的一个焦点到其渐近线距离的平方是，则抛物线的方程是A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 命题“任意，”的否定是_14. 已知，是双曲线C：的两个焦点，若双曲线C上存在点P满足且，则双曲线C的离心率为_15. 如图所示，P，Q分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，M是PQ靠近P的三等分点，且，则_16. 设数列满足，若不等式对任意恒成立，则实数的最小值是_三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知复数，若，且z在复平面内对应的点位于第四象限
4、求复数z；若，求实数a，b的值18. 已知命题p：关于x的函数有两个不同的零点；命题q：关于1的不等式，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围19. 已知是公差不为0的等差数列的前n项和，且，成等比数列求数列的通项公式；设，求数列的前n项和20. 保护环境，防治环境污染越来越得到人们的重视，某企业在现有设备下每日生产总成本单位：万元与日产量单位：吨之间的函数关系式为现为了减少大气污染，该企业引进了除尘设备，每吨产品除尘费用为k万元，除尘后，当日产量时，每日生产总成本求k的值；若每吨产品出厂价为48万元，试求除尘后日产量为多少吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少万元？21. 如图，四棱
5、锥的底面ABCD是直角梯形，平面ABCD，点E为棱PC的中点证明：；若点F为棱PC上一点，且AF与平面ABCD所成角的正弦值是，求二面角的余弦值22. 在平面直角坐标系xOy中，圆的圆心为已知点，且T为圆M上的动点，线段TN的中垂线交TM于点P求点P的轨迹方程；设点P的轨迹为曲线，若四边形ABCD的四个顶点都在曲线上，对角线AC，BD互相垂直并且它们的交点恰为点N，求四边形ABCD面积的取值范围2020-2021学年上学期宣化一中高二数学期末试卷答案和解析1.【答案】C【解析】解：由，得，故选：C利用虚数单位i的运算性质化简，变形后再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案本
6、题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题2.【答案】C【解析】解：取，则，故A错；当时，选项B不成立，故B错；取，则，故D错故选：C利用排除法直接求解即可本题主要考查不等式的性质，属于基础题3.【答案】A【解析】解：抛物线的标准方程为，焦准距，抛物线的准线方程为故选：A先将抛物线方程化为标准方程，其为开口向上，焦准距为1的抛物线，写出其准线方程即可本题主要考查了抛物线的标准方程及其几何意义，特别注意方程是否标准形式，属基础题4.【答案】B【解析】解：，2，lny成等差数列，则，即，由基本不等式可得，当且仅当时取等号，此时取得最小值故选：B由已知结合等差数列的性质可求xy，然后
7、结合基本不等式即可求解本题主要考查了等差数列的性质及基本不等式的简单应用，属于基础试题5.【答案】D【解析】【分析】本题考查全称量词命题的真假判定及不等式的恒成立问题，属于基础题结合题意利用不等式恒成立，通过判别式小于等于0，列出不等式求解即可【解答】解：依题意，解得故选D6.【答案】C【解析】解：各项不为零的等差数列，可得，即，可得，数列是等比数列，故选：C运用等差数列的中项性质可得，再由等比数列的中项性质和对数的运算性质可得所求值本题考查等差数列和等比数列的中项性质，对数的运算性质，考查运算能力，是一道基础题7.【答案】A【解析】解：设弦的两端点分别为，则，两式作差可得：，直线过点，这条弦
8、所在直线的方程是，即故选：A分别设出弦的两个端点坐标，代入椭圆方程，作差求得弦所在直线的斜率，再由直线方程的点斜式得答案本题考查椭圆的简单性质，直线与椭圆的位置关系的综合应用，训练了利用“点差法”求中点弦所在直线方程，是中档题8.【答案】C【解析】解：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、惊蛰、小满日影长之和为尺，前十个节气日影长之和为90尺，解得，则清明日影长故选：C利用等差数列的通项公式求和公式即可得出本题考查了等差数列的通项公式求和公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9.【答案】B【解析
9、】解：由题意得：抛物线的准线为，设则，且，所以，所以外接圆周长为：，故选：B由抛物线的性质可得到焦点的距离为到准线的距离，求出M的坐标，进而求出外接圆的半径，再求出外接圆的周长考查抛物线的性质，属于中档题10.【答案】A【解析】解：，可得，又，相减可得，即，而，可得，则，故选：A运用数列的递推式，以及等比数列的通项公式和求和公式，可得所求和本题考查数列的递推式的运用，等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查运算能力，属于基础题11.【答案】C【解析】解：，又，且，且，直线AM与直线所成的角为故选：C根据向量加法、数乘的几何意义即可得出，然后根据条件进行数量积的运算即可求出，并容易得出，从
10、而可得出的值，根据向量夹角的范围即可求出的值，从而得出直线AM与直线所成的角本题考查了通过向量求异面直线所成角的方法，向量加法、减法和数乘的几何意义，向量垂直的充要条件，向量数量积的运算及计算公式，向量夹角的余弦公式，异面直线所成角的定义，考查了计算能力，属于基础题12.【答案】A【解析】解：抛物线：的准线过双曲线的左焦点，可得，双曲线与抛物线的交点M满足，可设，由代入双曲线方程可得，即，代入抛物线方程可得，又，双曲线的一个焦点到其渐近线的距离的平方是，可得，则，解得，可得，可得抛物线的方程为故选：A设出抛物线的准线方程和双曲线的焦点，可得，由题意可设，代入双曲线方程可得t，运用点到直线的距离
11、可得，结合a，b，c的关系式和M在抛物线上，解方程可得，求得c，p，可得抛物线的方程本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查点到直线的距离公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题13.【答案】存在，【解析】解：否定：否定量词，否定结论故命题“任意，”的否定是存在，故答案为：存在，否定：否定量词，否定结论本条考查否定，属于基础题14.【答案】【解析】解：双曲线C上存在点P满足且，可得P为右支上的点，设，则，且，可得，即，即有故答案为：由题意可得P为右支上的点，设，运用双曲线的定义和勾股定理、离心率公式可得所求值本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查方程思想和运算能力，是一道基础题15.【答案】【
12、解析】解：因为P，Q分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，M是PQ靠近P的三等分点，所以，所以，故答案为：用向量，表示，就能找到x，y，z的值，进而算出答案本题考查空间向量的表示，考查空间向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题16.【答案】3【解析】解：数列满足，可得，时，可得，即有，对也成立，则，即为，可得对任意恒成立，显然为递减数列，取得最大值，可得，解得，实数的最小值为3故答案为：3由数列的递推式可得，运用数列的裂项相消求和和不等式恒成立问题解法，可得所求最小值本题考查数列的递推式的运用，数列的裂项相消求和，以及数列不等式恒成立的解法，注意运用转化思想，
13、考查化简运算能力、推理能力，属于中档题17.【答案】解：，得又在复平面内对应的点位于第四象限，即；由得，；解得，【解析】由已知求得，结合z在复平面内对应的点位于第四象限可得，则复数z可求；把z代入，整理后由两个复数相等对应实部虚部分别相等即可求解本题考查复数代数表示及几何意义，考查复数的相等，考查复数模的求法，是基础题18.【答案】解：命题p：关于x的函数有两个不同的零点；可得，解得，若p是q的充分不必要条件，所以当时，命题q：关于1的不等式，则有，解得，经检验符合题意；当时，命题q：关于1的不等式，则有，解得，经检验不符合题意；综上可得实数m的取值范围是，故答案为：实数m的取值范围是，【解析
14、】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键19.【答案】解：公差d不为0的等差数列，可得，即，成等比数列，可得，即有，化为，解得，则；，前n项和，两式相减可得，化简可得【解析】公差d不为0的等差数列，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；求得，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，化简运算能力，属于中档题20.【答案】解：由题意，除尘后，将，代入计算可得；由值，总利润
15、，则每吨产品的利润，当且仅当，即时取等号，所以除尘后日产量为4吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为26万元【解析】求出除尘后的函数解析式，利用当日产量时，总成本，代入计算得；求出每吨产品的利润，利用基本不等式求解即可本题考查将实际问题的最值问题转化为函数的最值问题，考查学生的计算能力，属于中档题21.【答案】解：证明：平面ABCD，平面ABCD，平面ABCD，AB，AD两两垂直，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，0，0，1，1，0，0，解：由已知，设，设y，由知，0，解得，平面ABCD，0，是平面ABCD的一个法向量，设AF与平面ABCD所成角为，则，解得或舍
16、，设平面FAB的法向量y，则，取，得，平面ABP，平面ABPr法向量1，设二面角的平面角为，则二面角的余弦值为：【解析】推导出AP，AB，AD两两垂直，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明求出0，是平面ABCD的一个法向量，由AF与平面ABCD所成角的正弦值是，求出，求出平面FAB的法向量和平面ABPr法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题22.【答案】解：因为P为线段TM中垂线上一点，所以，因为，所以，则点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长为的椭圆，轨迹方程为；因为对角线AC，BD互相垂直，所以AC，BD中至少有一条斜率存在，不妨设AC的斜率为k，当时，此时，当时，AC过点，故AC的方程为，将此式代入得，设，则，从而，当时，BD的斜率为，同上可得，故四边形ABCD的，令，当且仅当时，此时，显然S是以t为自变量的增函数，所以，综上所述，四边形ABCD面积的取值范围是【解析】根据条件可以判断出，则点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长为的椭圆，联立直线与椭圆方程，利用根与系数关系表示出，再表示出S即可本题考查动点轨迹方程，涉及直线与椭圆形成的四边形面积取值问题，属于中档题
