1、第三章 数列 第 讲（第一课时）考点搜索等差数列的概念等差数列的判定方法等差数列的性质等差数列的综合问题高考猜想考查等差数列的通项公式、求和公式及其性质；同时考查等差数列的函数性.一、等差数列的判定与证明方法1.定义法：.2.等差中项法：.3.通项公式法：.4.前n项和公式法：.an=kn+ban-an-1=d(n2)an-1+an+1=2an(n2)Sn=an2+bn二、等差数列的通项公式1.原形结构式：an=.2.变形结构式：an=am+(nm).(n-m)da1+(n-1)d三、等差数列的前n项和公式1.原形结构式：Sn=。=.2.二次函数型结构式：Sn=.12nnaa1(1)2n nn
2、adan2+bn四、等差数列的常用性质1.在等差数列an中，若m+n=p+q,m、n、p、qN*,则 .2.若等差数列an的前n项和为Sn,则an与S2n-1的关系式为 ；Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成 .五、a,b的等差中项为 .an=am+an=ap+aq2121nSn等差数列2ab1.等差数列an中，已知a2+a5=4,an=33，则n=()A.48 B.49C.50 D.51由已知解得公差再由通项公式得解得n=50.故选C.,a 113d 23，()n1213333，C2.已知an是等差数列，a1+a2=4，a7+a8=28，则该数列的前10项和S10等于()A.64 B.100
3、C.110 D.120设数列an的公差为d,则 2a1+d=42a1+13d=28，解得 d=2.故故选B.a1=1Sad10110 9101002，B3.设数列an的前n项和为Sn(nN*),关于数列an有下列四个命题：若an=an+1(nN*)，则an既是等差数列又是等比数列；若Sn=an2+bn(a,bR)，则an是等差数列；a,b,c成等差数列的充要条件是若an是等差数列，则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m(mN*)也成等差数列.acb2；其中正确的命题是(填上正确命题的序号).中若数列各项为零时不满足；都是等差数列的性质.题型1：a1，d，an，n，Sn中“知三求二”1.等差数列a
4、n的前n项和记为Sn，已知a10=30，a20=50.(1)求通项公式an;(1)由an=a1+(n-1)d，a10=30，a20=50，得方程组 a1+9d=30a1+19d=50，解得 d=2.所以an=2n+10.a1=12(2)若Sn=242，求n.由Sn=242，得方程解得n=11，或n=-22(舍去).()nn nSnad112，()n nn11222422，【点评】：一个等差数列是由两个基本量a1，d确定的，如an，Sn都可以化为这两个基本量的式子，所以求解an或Sn的问题，一般是通过条件得出a1，d的方程(组)，然后通过解方程(组)求得a1和d，这体现了方程思想在数列中的应用.
5、设等差数列an的首项a1及公差d都是整数,前n项和为Sn.(1)若a11=0，S14=98,求数列an的通项公式；由S14=98,得2a1+13d=14.又a11=a1+10d=0,故解得d=-2,a1=20.因此，数列an的通项公式是an=22-2n,n=1,2,3,.(2)若a16，a110，S1477，求所有可能的数列an的通项公式.由 S1477a110a16,得即 2a1+13d11 -2a1-20d0a16,由+得-7d11,即由+得13d-1,即于是又dZ，故d=-1.代入得10a112.又a1Z，故a1=11或a1=12.所以，所有可能的数列an的通项公式是an=12-n和an
6、=13-n,n=1,2,3,.d 117.d 113.d 111173题型2：等差数列前n项和的应用2.已知数列an的前n项和Sn=n2-9n.(1)求证：an为等差数列；(1)证明：当n=1时，a1=S1=-8.当n2时，an=Sn-Sn-1=n2-9n-(n-1)2-9(n-1)=2n-10.又n=1时，a1=-8也满足此式.所以an=2n-10(nN*).又an+1-an=2(n+1)-10-(2n-10)=2，所以an为等差数列.(2)求Sn的最小值及相应n的值；因为所以，当n=4或5时，Sn取最小值-20.()nSn298124，(3)记数列|an|的前n项和为Tn，求Tn的表达式.
7、因为当n5时，an0;当n6时，an0，故当n5时，Tn=-Sn=9n-n2；当n6时，Tn=|a1|+|a2|+|a5|+|a6|+|an|=-a1-a2-a5+a6+a7+an=Sn-2S5=n2-9n-2(-20)=n2-9n+40.所以Tn=9n-n2(n5)n2-9n+40(n6).【点评】：公差不为零的等差数列的前n项的和是关于n的二次函数(常数项为0)，反之也成立.因为和式是二次函数，所以和式有最大值(或最小值)，求其最值可按二次函数处理，不过需注意自变量n是正整数.设数列an是公差不为零的等差数列，Sn是数列an的前n项和，且求数列an的通项公式.设等差数列an的公差为d.由及
8、已知条件得(3a1+3d)2=9(2a1+d)，4a1+6d=4(2a1+d).2SSS329S44 2，()nn nSnad112由得d=2a1，代入有解得a1=0或当a1=0时，d=0(舍去).因此，故数列an的通项公式为aa21149，.a 149.ad14899，()?()(*).nannn484121N999设等差数列an的前n项和为Sn，已知S5=S13，且a10，求当n为何值时，Sn最大.解法1：由S5=S13，得所以所以因为a10，所以当n=9时，Sn取最大值.()()aadaad111154131222，da 1217，()().nn ndnSnaa2111981217参考题
9、解法2：因为S5=S13，所以5a1+10d=13a1+78d，所以所以由解得8.5n9.5.又nN*，所以n=9时，Sn最大.da 1217()()naana1121017()naana 1112017，解法3：因为S5=S13，所以S13-S5=0，即a6+a7+a8+a9+a10+a11+a12+a13=0.又a6+a13=a7+a12=a8+a11=a9+a10，所以a9+a10=0.又a10，所以a90，a100.故当n=9时，Sn最大.1.由五个量a1、d、n、an、Sn中的三个量可求出其余两个量，即“知三求二”.要求选用公式恰当，即能减少运算量，达到快速、准确的目的.2.在等差数列中，当a10，d0时，解不等式组 an0an+10可得Sn达到最大值时的n的值；当a10，d0时，解不等式组an0an+10可得Sn达到最小值时的n的值.
