1、第8讲构造法在解题中的应用方法精要在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连结条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，称为构造法解数学问题时，常规的思考方法是由条件到结论的定向思考，但有些问题用常规的思维方式来寻求解题途径却比较困难，甚至无从着手在这种情况下，经常要求我们改变思维方向，换一个角度去思考从而找到一条绕过障碍的新途径构造法就是这样的手段之一构造法作为一种数学方法，不同于一般的逻辑方法，一步一步寻求必要条件，直至推导出结论，它属于非常规思维其本质特征是“构
2、造”，用构造法解题，无一定之规，表现出思维的试探性、不规则性和创造性数学证明中的构造法一般可分为两类，一类为直接性构造法，一类为间接性构造法题型一构造向量解决不等式的问题例1若直线1通过点M(cos ，sin )，则下列正确的有_a2b21; a2b21；1; 1.破题切入点根据点在直线上可以得到1，联想向量的数量积的坐标运算法则，可以构造向量答案解析设向量m(cos ，sin )，n(，)，由题意知1，由mn|m|n|可得1 .所以1.题型二构造不等式解决证明问题例2已知a，b，c0，证明：.破题切入点直接用一个式子或两个式子都不好直接构造轮换不等式观察其结构特点，必须想办法去掉不等式左端各
3、项的分母，为此可以做变换：在不等式两端都加上，即我们证明不等式abc，这时把拆成，就可以构造轮换不等式了证明证明，即证abc，即证abc.又因为a，b，c，所以所证三式相加，不等式成立题型三构造函数最值、比较大小的问题例3已知f(x)34x2xln 2，数列an满足an0,21an1f(an)(nN*)(1)求f(x)在，0上的最大值和最小值；(2)判断an与an1(nN*)的大小，并说明理由破题切入点(1)直接按照导数研究函数的方法解决(2)根据给出的条件21an121anf(an)21an，可以构造函数g(x)f(x)2x1，通过研究这个函数解决问题解(1)f(x)(14x)ln 4，当x
4、0时，014x0，f(x)34x2xln 2在，0上是增函数，f(x)maxf(0)2；f(x)minf()ln 2.(2)由21an121anf(an)21an，记g(x)f(x)2x1得g(x)f(x)2x1ln 2(12x4x)ln 4，当x0时，2x1，4x1.故12x4x10，所以g(x)g(0)f(0)20，f(an)21an0，即21an121an0，得an1an.题型四构造数列解决数列求和的问题例4已知数列an的前n项和为Sn，且满足a1，an2SnSn1(n2)(1)求出通项公式an.(2)求证：SSS.破题切入点(1)首先根据已知条件求出Sn的通项公式，进而求出通项an.(
5、2)利用放缩法和拆项法证明(1)解因为an2SnSn1(n2)，所以SnSn12SnSn1，两边同除SnSn1，得2(n2)，所以数列是以2为首项，以d2为公差的等差数列所以(n1)d22(n1)2n，所以Sn.又因为an2SnSn1(n2)，所以当n2时，an2SnSn12，所以an(2)证明因为S()，S，所以当n2时，SSSbc解析令f(x)ln xx，则f(x)1.当0x0，即函数f(x)在(0,1)上是增函数10，abc.6若abc0，则，的大小关系是_答案b0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径作圆M.若过点P(，0)，所作圆M的两切线互相垂直，则该椭圆的离心率为_答案解析过点(，
6、0)作圆的两切线互相垂直，如图，这说明四边形OAPB是一个正方形，即圆心O到点P(，0)的距离等于圆的半径的倍，即a，故e.9设abc且abc1，a2b2c21，求ab的范围解由abc1得ab1c，将的两边平方并将a2b2c21代入得abc2c，由可知，a，b是方程x2(c1)x(c2c)0的两个不等的实根，于是(c1)24(c2c)3c22c10，解得c2c，得c，c，即1(ab)，ab0，an1an2.当n2时，an是公差d2的等差数列a2，a5，a14构成等比数列，aa2a14，(a26)2a2(a224)，解得a23，由条件可知，4a1a54，a11，a2a1312，an是首项a11，公差d2的等差数列等差数列an的通项公式为an2n1.等比数列bn的公比q3，等比数列bn的通项公式为bn3n.(2)Tn，()k3n6对任意的nN*恒成立，k对任意的nN*恒成立，令cn，cncn1，当n3时，cncn1；当n4时，cncn1.(cn)maxc3，k.
