1、第3讲空间中的平行与垂直问题例4如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为PC、BD的中点，侧面PAD底面ABCD，且PAPDAD.(1)求证：EF平面PAD；(2)求证：平面PAB平面PCD.审题破题(1)根据中位线找线线平行关系，再利用线面平行的判定定理(2)先利用线面垂直的判定定理，再利用性质定理证明(1)连结AC，则F是AC的中点，又E为PC的中点，在CPA中，EFPA，又PA平面PAD，EF平面PAD，EF平面PAD.(2)平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，且CDAD，CD平面PAD，CDPA.又PAPDAD，PAD是等腰直角三角形
2、，且APD90，即PAPD.又CDPDD，PA平面PCD，又PA平面PAB，平面PAB平面PCD.第一步：将题目条件和图形结合起来；第二步：根据条件寻找图形中的平行、垂直关系；第三步：和要证结论相结合，寻找已知的垂直、平行关系和要证关系的联系；第四步：严格按照定理条件书写解题步骤.跟踪训练4(2022山东) 如图，四棱锥PABCD中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点(1)求证：CE平面PAD；(2)求证：平面EFG平面EMN.证明(1)方法一取PA的中点H，连结EH，DH.又E为PB的中点，所以EH綊AB.又CD綊AB，所以E
3、H綊CD.所以四边形DCEH是平行四边形，所以CEDH.又DH平面PAD，CE平面PAD.所以CE平面PAD.方法二连结CF.因为F为AB的中点，所以AFAB.又CDAB，所以AFCD.又AFCD，所以四边形AFCD为平行四边形因此CFAD，又AD平面PAD，CF平面PAD，所以CF平面PAD.因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EFPA.又PA平面PAD，EF平面PAD，所以EF平面PAD.因为CFEFF，故平面CEF平面PAD.又CE平面CEF，所以CE平面PAD.(2)因为E、F分别为PB、AB的中点，所以EFPA.又因为ABPA，所以EFAB，同理可证ABFG.又因为EFFGF，EF平面EFG，FG平面EFG.所以AB平面EFG.又因为M，N分别为PD，PC的中点，所以MNCD，又ABCD，所以MNAB，所以MN平面EFG.又因为MN平面EMN，所以平面EFG平面EMN.
