1、数 学 选修2-2 人教A版新课标导学第一章 导数及其应用 1.2 导数的计算1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则1 自主预习学案 2 互动探究学案 3 课时作业学案 自主预习学案高铁是目前一种非常受欢迎的交通工具，既低碳又快捷设一高铁走过的路程s(单位：m)关于时间 t(单位：s)的函数为 sf(t)，求它的瞬时速度，就是求 f(t)的导数根据导数的定义，就是求当 t0 时，yt所趋近的那个定值运算比较复杂，而且有的函数，如 ysinx，ylnx 等很难运用定义求导数是否有更简便的求导数的方法呢？1基本初等函数的导数公式函数导数(1)f(x)c(c 为常数)f(x)_(2)f(
2、x)x(Q*)f(x)_(3)f(x)sinxf(x)_(4)f(x)cosxf(x)_(5)f(x)axf(x)_(a0 且 a1)0 x1cosxsinxaxlna ex函数导数(6)f(x)exf(x)_(7)f(x)logaxf(x)_(a0，且 a1)(8)f(x)lnxf(x)_1xlna1x2.导数的运算法则(1)设函数 f(x)、g(x)是可导函数，则：f(x)g(x)_；f(x)g(x)_.(2)设函数 f(x)、g(x)是可导函数，且 g(x)0，fxgx _.f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)fxgxfxgxg2x3复合函数及其求导法则(1)复合函数的概念一
3、般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过变量u，y可以表示成_的函数，那么称这个函数为 yf(u)和ug(x)的复合函数，记作_.(2)复合函数的求导法则复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yx_.即y对x的导数等于_的乘积xyf(g(x)yuux y对u的导数与u对x的导数1函数y(xa)(xb)在xa处的导数为()Aab Ba(ab)C0Dab解析 f(x)(xa)(xb)x2(ab)xab f(x)2x(ab)，f(a)2a(ab)ab，故应选DDD2设 ysinx1cosx，x，当 y2 时，x 等于()A3 B6 C4 D23解析 ysi
4、nx1cosx，ycosx1cosxsinxsinx1cosx2 1cosx1cosx211cosx，y2，11cosx2，cosx12，又x，x23.故应选 D3如图，yf(x)是可导函数，直线 l：ykx2 是曲线 yf(x)在 x3 处的切线，令 g(x)xf(x)，g(x)是 g(x)的导函数，则 g(3)()A1 B0 C2 D4B解析 由已知得：3k21，k13，又 g(x)xf(x)，f(3)13，g(x)f(x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)1313 0.4(2019白银期末)函数yx33x26x10的导数y_.解析 函数的导数为y3x26x6.3x26x6 互动探究学
5、案命题方向1 导数运算法则的应用3典例 1(1)已知函数 f(x)(2x1)ex，f(x)为 f(x)的导函数，则 f(0)的值为_.(2)求下列函数的导数：yxex；y 2xx21；yxsinx 2cosx；ycos2x2.思路分析 这些函数是由基本初等函数经过四则运算得到的简单函数，求导时，可直接利用导数的四则运算法则进行求导解析(1)f(x)2ex(2x1)ex(2x3)exf(0)3.(2)yxexx(ex)exxex(1x)ex.y(2xx21)2xx212xx21x2122x214x2x212 22x2x212.y(xsinx)(2cosx)sinxxcosx2sinxcos2x.
6、ycos2x21cosx21212cosx，y12(sinx)12sinx.跟踪练习 1求下列函数的导数(1)yxtanx；(2)y(x1)(x2)(x3)；(3)yx1x1.解析(1)y(xtanx)xsinxcosx xsinxcosxxsinxcosxcos2xsinxxcosxcosxxsin2xcos2xsinxcosxxcos2x.(2)解法 1：y(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x1)(x2)(x3)(x1)(x2)(x2x1)(x3)(x1)(x2)(2x3)(x3)x23x23x212x11；解法 2：(x1)(x2)
7、(x3)(x23x2)(x3)x36x211x6，y(x1)(x2)(x3)(x36x211x6)3x212x11；(3)解法 1：yx1x1 x1x1x1x1x12x1x1x122x12；解法 2：yx1x1x12x1 1 2x1，y1 2x1 2x1 2x12.命题方向2 利用导数公式与运算法则求复杂函数的导数典例 2求下列函数的导数：(1)yxln x；(2)y x3 x5 x7x；(3)ycos2xsinxcosx.思路分析 若所给函数解析式较为复杂，不能直接套用导数公式和导数运算法则时，可先对函数解析式进行适当的变形与化简，再用相关公式和法则求导解析(1)因为 yxln xxlnx1
8、212xlnx，所以 y(12xlnx)12(x)lnx12x(lnx)12lnx12；(2)因为 y x3 x5 x7xxx2x3，所以 y(xx2x3)12x3x2；(3)因为 ycos2xsinxcosxcos2xsin2xsinxcosx sinxcosx，所以 y(sinxcosx)sinxcosx.规律总结 求函数的导数时，一般要遵循“先化简再求导”的原则，这样一方面可以简化求导的过程，另一方面可以解决有些函数根本没法直接运用公式和法则求导的问题尤其是当函数解析式中含有三角函数时，更需要先运用相关的三角函数公式对解析式进行化简与整理，最后再套用公式求导.跟踪练习 2求下列函数的导数
9、：(1)y14sin2x2；(2)yln2x.解析(1)因为 y14sin2x218(1cosx)1818cosx，所以 y18sinx.(2)因为 yln2xlnxlnx，所以 y(lnxlnx)1xlnxlnx1x2lnxx.命题方向3 复合函数的求导典例 3求下列函数的导数：(1)y(43x)2；(2)ycos(2x4)；(3)yln(4x1)；(4)yex2.思路分析 先分析每个复合函数的构成，再按照复合函数的求导法则进行求导解析(1)设 yu2，u43x，则 yu2u，ux3，于是 yxyuux6(43x)18x24，即 y18x24.(2)设 ycosu，u2x4，则 yusinu
10、，ux2，于是 yxyuux2sin(2x4)，即 y2sin(2x4)(3)设 ylnu，u4x1，则 yu1u，ux4，于是 yxyuux44x1，即 y44x1.(4)设 yeu，ux2，则 yueu，ux2x，于是 yxyuuxex22x，即y2xex2.规律总结 1.求复合函数的导数的步骤2求复合函数的导数的注意点(1)内、外层函数通常为基本初等函数(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点(3)逐层求导结束后对结果进行化简整理，使导数式尽量简洁跟踪练习3求下列函数的导数：(1)y(2x1)3；(2)ysin2xcos2x.解析(1)设yu3，u2
11、x1，则yu3u2，ux2，于是yxyuux6(2x1)2，即y6(2x1)2；(2)y(sin2x)(cos2x)2cos2x2sin2x.灵活运用导数的运算法则，求解复合函数的导数，或与其他知识结合解决相关问题；利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何问题与实际问题综合应用问题典例 4 已知曲线 f(x)x3axb 在点 P(2，6)处的切线方程是 13xy320.(1)求 a，b 的值；(2)如果曲线 yf(x)的某一切线与直线 l：y14x3 垂直，求切点坐标与切线的方程思路分析(1)由f(x)在点P处的切线方程可知f(2)，及f(2)6，得到a
12、、b的方程组，解方程组可求出a、b；(2)由曲线yf(x)的切线与l垂直，可得切线斜率kf(x0)，从而解出x0，求得切点坐标和k.解析(1)f(x)x3axb 的导数 f(x)3x2a，由题意可得 f(2)12a13,f(2)82ab6，解得 a1，b16；(2)切线与直线 yx43 垂直，切线的斜率 k4.设切点的坐标为(x0，y0)，则 f(x0)3x2014，x01.由 f(x)x3x16，可得 y0111614，或 y0111618.则切线方程为 y4(x1)14 或 y4(x1)18.即 y4x18 或 y4x14.规律总结 1.导数的应用中，求导数是一个基本解题环节，应仔细分析函
13、数解析式的结构特征，根据导数公式及运算法则求导数，不具备导数运算法则的结构形式时，先恒等变形，然后分析题目特点，探寻条件与结论的联系，选择解题途径2求参数的问题一般依据条件建立参数的方程求解跟踪练习4(2017天津卷)已知aR，设函数f(x)axln x的图象在点(1，f(1)处的切线为l，则l在y轴上的截距为_.1解析 f(x)a1x，f(1)a1.又f(1)a，切线 l 的斜率为 a1，且过点(1，a)，切线 l 的方程为 ya(a1)(x1)令 x0，得 y1，故 l 在 y 轴上的截距为 1.函数yxe12x的导数为_.错解 ye12xx(e12x)e12xxe12x(1x)e12x.
14、正解 ye12xx(e12x)e12xxe12x(12x)e12xxe12x(2)(12x)e12x.点评 错解中对e12x求导数，没有按照复合函数的求导法则进行，导致求导不完全对复合函数的求导不完全而致误典例 5在对复合函数求导时，恰当地选择中间变量及分析函数的复合层次是关键一般从最外层开始，由外及里，一层层地求导，最后要把中间变量变成自变量的函数D1(2019天津期末)函数 f(x)xex 的导数是()Aex B11xC1xex1D1ex解析 函数的导数为 f(x)1ex，故选 D2(2019衡水高二检测)等比数列an中，a12，a84，函数f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，则f(
15、0)等于()A26B29C215D212解析 f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)(xa1)(xa2)(xa8)x(xa1)(xa2)(xa8)(xa1)(xa2)(xa8)x，所以f(0)(0a1)(0a2)(0a8)(0a1)(0a2)(0a8)0a1a2a8.因为数列an为等比数列，所以a2a7a3a6a4a5a1a88，所以f(0)84212.D3(2019河北区一模)已知函数f(x)xex，f(x)为f(x)的导函数，则f(0)_.解析 函数f(x)xex，则f(x)exxex(1x)ex，f(0)(10)e01.故答案为1.14若函数 f(x)exx在 xc 处的导数值与函数的值互为相反数，求 c 的值解析 因为 f(x)exx，所以 f(c)ecc.又因为 f(x)exxexx2exx1x2，所以 f(c)ecc1c2.依题意知 f(c)f(c)0，所以eccecc1c20.所以 2c10，得 c12.课时作业学案
