1、河北省张家口市康保衡水一中联合中学2019-2020学年高二数学上学期期中试题（含解析）第I卷 选择题（共60分）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. “”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】设Ax|x0，Bx|x,或x0，判断集合A，B的包含关系，根据“谁小谁充分，谁大谁必要”的原则，即可得到答案【详解】设Ax|x0，Bx|x,或x0，AB，故“x0”是“”成立的充分不必要条件故选A【点睛】本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要
2、条件判断，其中熟练掌握集合法判断充要条件的原则“谁小谁充分，谁大谁必要”，是解答本题的关键2. 命题“，都有”的否定是（ ）A. ，使得B. ，使得C. ，都有D. ，都有【答案】B【解析】【分析】根据全称命题的否定是特征命题，任意变存在，再对结论进行否定即可.【详解】“，都有”的否定是：，使得.故选：B.【点睛】本题考查了全称命题的否定，在否定过程中注意量词的改变，以及对结论否定时注意“”变“”，是概念题，属于基础题.3. 在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别（）.A. 23与26B. 31与26C. 24与30D. 26与30【答案】B【解析】【分析】根据茎叶图的数据，结合
3、众数与中位数的概念，即可求解，得到答案.【详解】根据茎叶图中的数据，可得众数是数据中出现次数最多的数据，即众数为，又由中位数的定义，可得数据的中位数为，故选B【点睛】本题主要考查了茎叶图的应用，其中解答中正确读取茎叶图的数据，以及熟记众数、中位数的概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4. 已知椭圆的一个焦点是圆的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】圆，化为一般式可得，故其圆心为，椭圆的一个焦点为，得，又短轴长为，得，可得椭圆的左顶点为，故选D.5. 下列命题正确的是（1）命题“，”的否定是“，”；（2）l为直线，为两个不同的平
4、面，若，则；（3）给定命题p，q，若“为真命题”，则是假命题；（4）“”是“”的充分不必要条件A. （1）（4）B. （2）（3）C. （3）（4）D. （1）（3）【答案】D【解析】【分析】逐个命题进行判定，对于（1）结合全称命题的否定方法可以判定；对于（2）要考虑全面直线与平面的位置关系；对于（3）根据复合命题的真假进行判断；对于（4）利用可以判定.【详解】对于（1）“，”的否定就是“，”，正确；对于（2）直线可能在平面内，所以不能得出，故不正确；对于（3）若“为真命题”则均为真命题，故是假命题，正确；对于（4）因为时可得，反之不能得出，故“”是“”的必要不充分条件,故不正确.故选D.【点
5、睛】本题主要考查简易逻辑，涉及知识点较多，要逐一判定，最后得出结论.题目属于知识拼盘.6. 在长方体中，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先画出长方体，利用题中条件，得到，根据，求得，可以确定，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积.【详解】在长方体中，连接，根据线面角的定义可知，因，所以，从而求得，所以该长方体的体积为，故选C.【点睛】该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而
6、得到量之间的关系，从而求得结果.7. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍实现翻番为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A. 新农村建设后，种植收入减少B. 新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C. 新农村建设后，养殖收入增加了一倍D. 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A【解析】【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为M，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的
7、关系，从而得出正确的选项.【详解】设新农村建设前的收入为M，而新农村建设后的收入为2M，则新农村建设前种植收入为0.6M，而新农村建设后的种植收入为0.74M，所以种植收入增加了，所以A项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M，新农村建设后其他收入为0.1M，故增加了一倍以上，所以B项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M，新农村建设后为0.6M，所以增加了一倍，所以C项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的，所以超过了经济收入的一半，所以D正确；故选A.点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.8. 为美化环
8、境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：将4种颜色的花种任选2种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛中，有6种种法，其中红色和紫色的花不在同一个花坛的种数有4种，故所求概率为，选C.【考点】古典概型【名师点睛】作为客观题形式出现的古典概型试题,一般难度不大,解答中的常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏,避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举.9. 将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（ ）A.
9、对任意的，B. 当时，；当时，C. 对任意的，D. 当时，；当时，【答案】D【解析】依题意，因为，由于，所以当时，所以；当时，而，所以，所以所以当时，；当时，考点：双曲线的性质，离心率10. 已知正四棱柱中，则CD与平面所成角的正弦值等于（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：设， 面积为考点：线面角11. 已知椭圆上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据直角三角形性质得A在圆上，解得A点横坐标，再根据条件确定A横坐标满足条件，解得离心率.【详解】由题意得，所以A在圆上，与
10、联立解得，因为，且，所以因此，解得即，即，选A.【点睛】本题考查椭圆离心率，考查基本分析化简求解能力，属中档题.12. 如图，是双曲线左、右焦点，过 的直线与双曲线 交于两点若，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设，利用双曲线的定义求出和的值，再利用勾股定理求，由得到双曲线的渐近线方程.【详解】设，由双曲线的定义得：，解得：，所以，因为，所以，所以双曲线的渐近线方程为.【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.第卷 非选择题（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，
11、共20分）13. 某中学共有人，其中高二年级的人数为.现用分层抽样的方法在全校抽取人，其中高二年级被抽取的人数为，则_【答案】63【解析】 14. 用数字组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为_ 【答案】【解析】【分析】用组成无重复数字的五位奇数，可以看作是个空,要求个位是奇数,其它位置无条件限制,因此先从个奇数中任选个填入个位,其它个数在个位置上全排列即可.【详解】要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排中的一个数，共有3种排法，然后还剩个数，剩余的个数可以在十位到万位个位置上全排列，共有种排法，由分步乘法计数原理得，由组成的无重复数字的五位数中奇数有个.故答案为：.【点睛】本题主要考查
12、分步计数原理及位置有限制的排列问题，属于中档题.元素位置有限制的排列问题有两种方法：（1）先让特殊元素排在没限制的位置；（2）先把没限制的元素排在有限制的位置.15. 在棱长为1的正方体中，和分别为和的中点，那么直线与所成角的余弦值_.【答案】【解析】【分析】如图，设AB,的中点分别为E,F,连接,证明为直线与所成角或补角，再利用余弦定理求解.【详解】如图，设AB,的中点分别为E,F,连接.由题得,则为直线与所成角或补角.因为棱长为1，则，由余弦定理得，所以直线与所成角的余弦值为.故答案为：【点睛】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题16. 已知
13、抛物线上一点到焦点和点的距离之和的最小值为，则此抛物线方程为_【答案】【解析】【分析】利用抛物线的定义，求出未知数p.【详解】根据抛物线的定义，到焦点与点的距离之和等于点到准线的距离与到点的距离之和，其最小值为点到准线的距离，即，所以，所以抛物线方程为.【点睛】本题主要考查抛物线的方程和几何性质，考查数学运算能力,数形结合思想.三、解答题：（本大题共6小题，共70分，其中17题10分，其他各题12分）17. 已知命题，使；命题，使.（1）若命题为假命题，求实数的取值范围；（2）若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）若p为假命题，可直接解得a的取值范围
14、；（2）由题干可知p,q一真一假，分“p真q假”和“p假q真”两种情况讨论，即可得a的范围【详解】解：（1）由命题P为假命题可得：，即，所以实数的取值范围是.（2）为真命题，为假命题，则一真一假.若为真命题，则有或，若为真命题，则有.则当真假时，则有当假真时，则有所以实数的取值范围是.【点睛】本题考查根据命题的真假来求变量的取值范围，属于基础题，判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题18. 节能减排以来，兰州市100户居民月平均用电量单位：度，以分组的频率分布直方图如图求直方图中x的值；求月平均用电量的众数和中位数；估计用电量落在中的概率是多少？【答案】（1）（2）众数230，中位
15、数224（3）0.55【解析】【分析】（1）由直方图的性质可得 ，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在，内，设中位数为，解方程可得；（3）月平均用电量在中的概率是详解】解：（1）依题意，解得（2）由图可知，最高矩形的数据组为，所以众数为的频率之和为，依题意，设中位数为，则，解得，故中位数为（3）由频率分布直方图可知，月平均用电量在中的概率是【点睛】本题考查频率分布直方图，涉及众数和中位数，考查学生的计算能力，属基础题19. 在人群流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球（其体积、质地完成相同），旁边立着一
16、块小黑板写道：摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱.（1）摸出的3个球为白球的概率是多少？ （2）摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？（3）假定一天中有100人次摸奖，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？【答案】（1）005；（2）045；（3）1200.【解析】【分析】（1）先列举出所有的事件共有20种结果，摸出的3个球为白球只有一种结果，根据概率公式得到要求的概率，本题应用列举来解，是一个好方法；（2）先列举出所有的事件共有20种结果，摸出的3个球为1个黄球2个白球从前
17、面可以看出共有9种结果种结果，根据概率公式得到要求的概率；（3）先列举出所有的事件共有20种结果，根据摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱，算一下摸出的球是同一色球的概率，估计出结果.【详解】把3只黄色乒乓球标记为A、B、C，3只白色的乒乓球标记为1、2、3从6个球中随机摸出3个的基本事件为：ABC、AB1、AB2、AB3、AC1、AC2、AC3、A12、A13、A23、BC1、BC2、BC3、B12、B13、B23、C12、C13、C23、123，共20个.(1)事件E=摸出的3个球为白球，事件E包含的基本事件有1个，即摸出123号3个球
18、，P（E）=005.(2)事件F=摸出的3个球为2个黄球1个白球，事件F包含的基本事件有9个，P（F）=045.（3）事件G=摸出的3个球为同一颜色=摸出的3个球为白球或摸出的3个球为黄球，P（G）=01，假定一天中有100人次摸奖，由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件G发生有10次，不发生90次则一天可赚，每月可赚1200元考点：1互斥事件的概率加法公式；2概率的意义20. 如今,中国的“双十一”已经从一个节日变成了全民狂欢的“电商购物日”.某淘宝电商分析近8年“双十一”期间的宣传费用 (单位:万元)和利润 (单位:十万元)之间的关系,得到下列数据:23456891112334568请回
19、答:（）请用相关系数说明与之间是否存在线性相关关系(当时,说明与之间具有线性相关关系);（）根据1的判断结果,建立与之间的回归方程,并预测当时,对应的利润为多少(精确到).附参考公式:回归方程中中和最小二乘估计分别为,相关系数.参考数据: .【答案】（I）详见解析；（II），万元.【解析】【分析】（）根据公式得到相应的数据即可；（II）结合第一问可求求解出回归方程，代入24可得到估计值.【详解】（）由题意得.又,所以,所以与之间具有线性相关关系.（II）（II）因为,所以回归直线方程为,当时, ,即利润约为万元.【点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线过样本中心点，在一组具有相关关系的变量的
20、数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.21. 如图，在三棱锥中，为的中点（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值 【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质得PO垂直AC，再通过计算，根据勾股定理得PO垂直OB，最后根据线面垂直判定定理得结论；（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解出平面PAM一个法向量，利用向量数量积
21、求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得M坐标，再利用向量数量积求得向量PC与平面PAM法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果【详解】（1）因为，为的中点，所以，且连结因为，所以为等腰直角三角形，且 由知由知平面（2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系 由已知得 取平面的法向量设，则设平面的法向量为由得 ，可取所以 由已知得 所以 解得(舍去)， 所以 又 ，所以 所以与平面所成角的正弦值为【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，
22、破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”22. 已知椭圆，点为椭圆上一点,且.（1）求椭圆C的方程；（2）已知两条互相垂直的直线，经过椭圆的右焦点，与椭圆交于四点，求四边形面积的的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意可得，解得进而得到椭圆的方程；（2）设出直线l1，l2的方程，直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，分别求得|AB|，|MN|，再由四边形的面积公式，化简整理计算即可得到取值范围【详解】（1）因为 ，所以 ，又 ，解得a24，b23，故椭圆C的方程为；（2）当直线l1的方程为x1时，此时直线l2与x轴重合，此时|AB|3，|MN|4，
23、四边形AMBN面积为S|AB|MN|6当直线l1的斜率存在且不为0时，设过点F（1，0）的两条互相垂直的直线l1：xky+1，直线l2：xy+1，由xky+1和椭圆1，可得（3k2+4）y2+6ky90，判别式显然大于0，y1+y2，y1y2，则|AB|，把上式中的k换为，可得|MN|则有四边形AMBN面积为S|AB|MN|，令1+k2t，则3+4k24t1，3k2+43t+1，则S，t1，01，y（）2，在（0，）上单调递增，在（，1）上单调递减，y（12，S，6）故四边形PMQN面积的取值范围是【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，同时考查直线椭圆截得弦长的问题，以及韦达定理是解题的关键，属于中档题
