1、四边形的有关计算与证明 四边形的有关计算与证明是历年中考的必考内容之一，通常结合三角形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题除熟练掌握四边形的性质和判定定理外，还须综合三角形等知识解题.例 (2022邵阳)准备一张矩形纸片，按如图所示操作：将ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点；将CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点.(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；(2)若四边形BFDE是菱形，AB2，求菱形BFDE的面积.【思路点拨】(1)由矩形及翻折的性质可证得EDMFBN，从而证出四边形BFDE是平行四边形；(2)由菱形及矩形的性质得出ABE=DBE=DBC
2、=30，利用锐角三角函数可求出AE、BE，进而求出AD、DE，即可求出菱形BFDE的面积.【解答】(1)四边形ABCD是矩形，AC90，ABCD.由翻折得：BM=AB，DN=DC，A=EMB，C=DNF，BM=DN,EMB=DNF=90，BN=DM,EMD=FNB=90.ADBC,EDM=FBN，EDMFBN(ASA)，ED=BF，四边形BFDE是平行四边形.(2)四边形BFDE是菱形，EBD=FBD.ABE=EBD,ABC=90,ABE=90=30.在RtABE中，AB=2，AE=,BE=,ED=,AD=.SABEABAE=.S矩形ABCDABAD=，S菱形BFDE-2.方法归纳：证明平行四
3、边形及特殊平行四边形时，通常要先看题中已知条件的特点，然后根据条件选择合适的判定方法加以证明.1.(2022新疆)如图，在ABC中，ACB=90，CDAB于D，AE平分BAC，分别与BC、CD交于点E、F，EHAB于H.连接FH，求证：四边形CFHE是菱形.2.(2022济宁)如图，正方形AEFG的顶点E、G在正方形ABCD的边AB、AD上，连接BF、DF.(1)求证：BF=DF；(2)连接CF，请直接写出BECF的值(不必写出计算过程).3.(2022凉山)如图，分别以RtABC的直角边AC及斜边AB向外作等边ACD及等边ABE，已知：BAC=30，EFAB，垂足为F，连接DF.(1)试说明
4、AC=EF;(2)求证：四边形ADFE是平行四边形.4.(2022舟山)已知：如图，在ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连接BE，DF.(1)求证：DOEBOF.(2)当DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由.5.如图，点O是线段AB上的一点，OA=OC，OD平分AOC交AC于点D，OF平分COB，CFOF于点F.(1)求证：四边形CDOF是矩形；(2)当AOC为多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由.6.(2022成都)如图，矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD边上一点，DE=AD(n为大于2的整数)，连接BE，作BE的垂直
5、平分线分别交AD、BC于点F，G，FG与BE的交点为O，连接BF和EG.(1)试判断四边形BFEG的形状，并说明理由；(2)当AB=a(a为常数)，n=3时，求FG的长；(3)记四边形BFEG的面积为S1，矩形ABCD的面积为S2，当= 时，求n的值.(直接写出结果，不必写出解答过程)参考答案1.证明：ACB=90，AE平分BAC，EHAB，CE=EH.在RtACE和RtAHE中，AE=AE，CE=EH，由勾股定理，得AC=AH.CAF=HAF.在CAF和HAF中，CAFHAF(SAS)，ACD=AHF.CDAB，ACB=90，CDA=ACB=90，B+CAB=90，CAB+ACD=90，AC
6、D=B=AHF，FHCE.CDAB，EHAB，CFEH，四边形CFHE是平行四边形.又CE=EH，四边形CFHE是菱形.2.证明：(1)四边形ABCD和AEFG都是正方形，AB=AD，AE=AG=EF=FG，BEF=DGF=90.BE=AB-AE，DG=AD-AG，BE=DG,BEFDGF，BF=DF.(2)BECF=.3.证明：(1)ABE是等边三角形，EFAB，AEF=AEB=30，AE=AB，EFA=90.AEF=BAC.又ACB=90，EFA=ACB.AEFBAC(AAS),AC=EF.(2)ACD是等边三角形，AC=AD，DAC=60.由(1)的结论得AC=EF.AD=EF.又BAC
7、=30，FAD=BAC+DAC=90.又EFA=90，EFAD.又EF=AD，四边形ADFE是平行四边形.4.(1)证明：在ABCD中，O为对角线BD的中点，BO=DO，EDB=FBO.EOD=BOF，DOEBOF(ASA).(2)当DOE=90时，四边形BFDE为菱形.理由：DOEBOF，BF=DE.又BFDE，四边形EBFD是平行四边形.BO=DO，EOD=90，EB=DE.四边形BFDE为菱形.5.(1)证明：OD平分AOC，OF平分COB，AOC=2COD，COB=2COF.AOC+BOC=180，2COD+2COF=180，COD+COF=90，DOF=90.OA=OC，OD平分AO
8、C，ODAC，AD=DC.CDO=90.CFOF，CFO=90.四边形CDOF是矩形.(2)当AOC=90时，四边形CDOF是正方形.理由：AOC=90，AD=DC，OD=DC.又由(1)知四边形CDOF是矩形，四边形CDOF是正方形.因此，当AOC=90时，四边形CDOF是正方形.6.(1)菱形.FG为BE的垂直平分线，FEFB，GBGE，FEBFBO.又FEBG，FEBGBO，FBOGBO.BOBO，BOFBOG=90，BOFBOG，BFBG.BGGEEFFB.四边形BFEG为菱形.(2)ABa，AD2a，DEa，AEa，BE=a，OEa.设菱形BFEG的边长为x，AB2+AF2BF2，a2+(a-x)2=x2，解得xa.OF=a=a.FGa.(3)n6.
