1、几何-直线型几何-金字塔和沙漏模型-5星题课程目标知识点考试要求具体要求考察频率金字塔和沙漏模型C1.能够准确理解金字塔和沙漏模型2.能够用相似模型解决复杂的几何问题少考知识提要金字塔和沙漏模型 金字塔模型 CDCA=CECB=DEAB 沙漏模型 ABCD=AODO=BOCO 精选例题金字塔和沙漏模型 1. 正六边形 A1,A2,A3,A4,A5,A6 的面积是 2009 平方厘米，B1,B2,B3,B4,B5,B6 分别是正六边形各边的中点请问下图中阴影六边形的面积是 平方厘米【答案】1148【分析】方法一：如下左图，连接 A1A3,A1G,A6A3，过 B6 做 A6A3 的平行线 B6E
2、，交 A1A3 于 E因为空白的面积等于 A2A3G 面积的 6 倍，所以关键求 A2A3G 的面积，在 A1A2A3 中用燕尾模型时，需要知道 A1D,A3D 的长度比，根据沙漏模型得 A1D=DE，再根据金字塔模型得 A1E=A3E，因此 A1D:A3D=1:3，在 A1A2A3 中，设 SA1A2G=1 份，则 SA2A3G=3 份，SA3A1G=3 份，所以 SA2A3G=37SA1A2A3=371312S正六边形=114S正六边形，因此 S阴影=1-1146S正六边形=472009=1148(平方厘米)方法二：既然给的图形是特殊的正六边形，且阴影也是正六边形，我们可以用上图的割补思路
3、，把正六边形分割成 14 个大小形状相同的梯形，其中阴影有 8 个梯形，所以阴影面积为 8142009=1148(平方厘米) 2. 如图，长方形 ABCD 中，E、F 分别为 CD、AB 边上的点，DE=EC，FB=2AF，求 PM:MN:NQ【答案】7:18:10【分析】如图，过 E 作 AD 的平行线交 PQ 于 G由于 E 是 DC 的中点，所以 G 是 PQ 的中点由于DE=EC,FB=2AF,所以AF:DE=2:3,BF:CE=4:3.根据相似性，PM:MG=AM:ME=AF:DE=2:3,GN:NQ=EN:NB=EC:BF=3:4,于是PM=25PG,MN=35PG+37GQ=36
4、35PG,NQ=47GQ=47PG,所以PM:MN:NQ=25:3635:47=7:18:10. 3. 如图所示，小高测出家里瓷砖的长为 24 厘米，宽为 10 厘米，而且还测出了边上的中间线段均为 4 厘米，那么中间菱形的面积是多少平方厘米？【答案】64【分析】利用平行线中的线段比例关系来计算把瓷砖右下角的直角三角形标上字母（如图所示），同时过 B 作 BCAG 于 C，DEFG 于 E由于 BC 与 FG 平行，所以BCFG=ACAG=214=17,因此BC=17FG=177=1.由于 DE 与 AG 平行，所以DEAG=FEFG=27,因此DE=27AG=2714=4.由此可得菱形的两条
5、对角线分别为：24-42=16(厘米),10-12=8(厘米).那么菱形的面积就是1682=64(平方厘米). 4. 如图所示，O 是长方形 ABCD 一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积 3 和 4，那么阴影直角三角形的面积是多少？【答案】318【分析】由 SAOD=4 可知 SBCD=12S长方形ABCD=124SAOD=8而 CDF 与 CDB 从 C 出发的高相同，则 DFDB=SCDFSCDB=58由于 EFCD，把线段的比例转移到 BC 上，则有 CEBC=DFDB=38，从而得到 BEBC=1-38=58，所以阴影 BEF 的面积是 BCF 面积的 58于是阴影三角形的
6、面积是58SBCF=58SBCD-SCDF=58(8-3)=258. 5. 如图，已知 D 是 BC 中点，E 是 CD 的中点，F 是 AC 的中点三角形 ABC 由 这 6 部分组成，其中 比 多 6 平方厘米那么三角形 ABC 的面积是多少平方厘米？【答案】48【分析】因为 E 是 DC 中点，F 为 AC 中点，有 AD=2FE 且 EF 平行于 AD，则四边形 ADEF 为梯形在梯形 ADEF 中有 =，=，:=AD2:FE2=4又已知 -=6，所以 =6(4-1)=2，=4=8，所以 =16，而 =，所以 =4，梯形 ADEF 的面积为 、 四块图形的面积和，为 8+4+4+2=1
7、8有 CEF 与 ADC 的面积比为 CE 平方与 CD 平方的比，即为 1:4所以 ADC 面积为梯形 ADEF 面积的 44-1=43，即为 1843=24因为 D 是 BC 中点，所以 ABD 与 ADC 的面积相等，而 ABC 的面积为 ABD、ADC 的面积和，即为 24+24=48(平方厘米)三角形 ABC 的面积为 48 平方厘米 6. 如下图所示，三角形 AEF、三角形 BDF、三角形 BCD 都是正三角形，其中 AE:BD=1:3，三角形 AEF 的面积是 1求阴影部分的面积【答案】15【分析】SAEF:SBDF=AE2:BD2=1:9，AEF 面积是 1，那么 SBDF=S
8、BDC=9，因为 AEF 与 ACE 的高之比是 1:7，所以 SACE=7，因为 AD 与 BC 平行，所以 SABC=SBCD=9，所以 SABC:SAEC=BI:IE=9:7假设 BE 为 16 份，那么 BI=9,IE=7，又知道 BF:FE=3:1，所以 BF=12,FE=4，所以 IF=3,SAEF:SAIF=FE:FI=4:3，所以 SAIF=0.75，又有 SAIF:SBCI=AF2:BC2=1:9，所以 SBCI=6.75，于是可求阴影部分面积是 (0.75+6.75)2=15 7. 如图，ABCD 为正方形，AM=NB=DE=FC=1cm 且 MN=2cm，请问四边形 PQ
9、RS 的面积为多少？【答案】23cm2【分析】（法 1）由 ABCD，有MPMN=PCDC,所以PC=2PM,又MQQC=MBEC,所以MQ=QC=12MC,所以PQ=12MC-13MC=16MC,所以 SSPQR 占 SAMCF 的 16，得到SSPQR=161(1+1+2)=23(cm2).（法 2）如图，连结 AE，则SABE=1244=8(cm2),而RBAB=EREF,所以RBEF=ABEF=2,SABR=23SABE=238=163(cm2).而SMBQ=SANS=123412=3(cm2),因为MNDC=MPPC,所以MP=13MC,则SMNP=122413=43(cm2),阴影
10、部分面积等于SABR-SANS-SMBQ+SMNP=163-3-3+43=23(cm2). 8. 如图所示，已知平行四边形 ABCD 的面积是 1，E、F 是 AB、AD 的中点，BF 交 EC 于 M，求 BMG 的面积【答案】130【分析】解法一：由题意可得，E、F 是 AB、AD 的中点，得 EFBD，而FD:BC=FH:HC=1:2,EB:CD=BG:GD=1:2.所以CH:CF=GH:EF=2:3,并得 G、H 是 BD 的三等分点，可得 BG=GH，所以BG:EF=BM:MF=2:3,所以BM=25BF,SBFD=12SABD=1212S平行四边形ABCD=14;又因为BG=13BD,所以SBMG=1325SBFD=132514=130.解法二：延长 CE 交 DA 于 I，如下图，可得，AI:BC=AE:EB=1:1,从而可以确定 M 的点的位置，BM:MF=BC:IF=2:3,BM=25BF,BG=13BD可得SBMG=2513SBDF=251314S平行四边形ABCD=130.
