1、第2讲函数图象与性质函数及其表示核心提炼1函数的三要素定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题务必遵循“定义域优先”的原则2分段函数若函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数典型例题 (1)设f(x)若f(a)f(a1)，则f()A2 B4C6D8(2)设函数f(x)的图象过点(1，1)，函数g(x)是二次函数，若函数f(g(x)的值域是0，)，则函数g(x)的值域是()A(，11，)B(，10，)C0，)D1，)【解析】(1)当0a1，f(a)，f(a1)2(a11)2a
2、，因为f(a)f(a1)，所以2a，解得a或a0(舍去)所以ff(4)2(41)6.当a1时，a12，所以f(a)2(a1)，f(a1)2(a11)2a，所以2(a1)2a，无解当a1时，a12，f(1)0，f(2)2，不符合题意综上，f6.故选C.(2)因为函数f(x)的图象过点(1，1)，所以m11，解得m0，所以f(x)画出函数yf(x)的图象(如图所示)，由于函数g(x)是二次函数，值域不会是选项A，B，易知，当g(x)的值域是0，)时，f(g(x)的值域是0，)故选C.【答案】(1)C(2)C(1)在求分段函数的函数值时，一定要注意自变量的值属于哪个区间，再代入相应的解析式求解当自变
3、量的值不确定时，要分类讨论(2)对于分段函数，已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围 对点训练1函数f(x)的定义域是()A(1，)B1，)C1，2)(2，)D(1，2)(2，)解析：选D.要使f(x)有意义，需使即所以函数f(x)的定义域为(1，2)(2，)故选D.2(2019宁波市九校期末联考)已知下列各式：f(|x|1)x21；f()x；f(x22x)|x|；f(|x|)3x3x.其中存在函数f(x)对任意的xR都成立的是()ABCD解析：选A.f(|x|1)x21，由t|x|1(t1)，
4、可得|x|t1，则f(t)(t1)21，即有f(x)(x1)21对xR均成立；f()x，令t(0t1)，x ，对0t1，yf(t)不能构成函数，故不成立；f(x22x)|x|，令tx22x，若t1时，x；t1，可得x1(t1)，yf(t)不能构成函数；f(|x|)3x3x，当x0时，f(x)3x3x；当x0时，f(x)3x3x；将x换为x可得f(x)3x3x；故恒成立综上可得符合条件函数的图象及应用核心提炼图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换尤其注意yf(x)与yf(x)，yf(x)，yf(x)，yf(|x|)，y|f(x)|及yaf(x)b的相互关系考向1函数图象的变换与识别典型例
5、题 (1)函数ysin x2的图象是()(2)(2019宁波九校模拟)已知函数f(x)，则yf(x)的图象大致为()【解析】(1)由于函数ysin x2是一个偶函数，选项A、C的图象都关于原点对称，所以不正确；选项B与选项D的图象都关于y轴对称，在选项B中，当x时，函数ysin x21，显然不正确，当x时，ysin x21，而，故选D.(2)由于f(e)0，排除D.由于f()e0，排除B.由于f(e2)f(e)，故函数在(1，)为减函数，排除C，所以选A. 【答案】(1)D(2)A考向2函数图象的应用典型例题 已知f(x)2x1，g(x)1x2，规定：当|f(x)|g(x)时，h(x)|f(x
6、)|；当|f(x)|0，a0f(2)，因为当x(0，)时，f(x)为减函数，所以函数f(x)在(，0)上单调递减，所以x22，所以x0.综上可得，不等式的解集为x|x0或2x4，故选D.(2)f(x)1，令g(x)，则g(x)为奇函数，对于一个奇函数，其最大值与最小值之和为0，即g(x)maxg(x)min0，而f(x)max1g(x)max，f(x)min1g(x)min，所以f(x)maxf(x)minMm2.【答案】(1)D(2)2(1)四招破解函数的单调性对于选择、填空题，若能画出图象，一般用数形结合法；对于由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数的单调性问题
7、来解决；对于解析式为分式、指数函数式、对数式等较复杂的函数常用导数法；对于抽象函数一般用定义法(2)判断函数奇偶性的三个技巧奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称对于偶函数而言，有f(x)f(x)f(|x|) 对点训练1(2019宁波诺丁汉大学附中高三调研)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间0，)单调递减，若实数a满足f(log3a)f(loga)2f(1)，则a的取值范围是()A(0，3B(0，C，3D1，3解析：选C.由于函数f(x)是定义在R上的偶函数，则f(x)f(x)，即有f(x)f(|x|)，由实数a满
8、足f(log3a)f(loga)2f(1)，则有f(log3a)f(log3a)2f(1)，即2f(log3a)2f(1)即f(log3a)f(1)，即有f(|log3a|)f(1)，由于f(x)在区间0，)上单调递减，则|log3a|1，即有1log3a1，解得a3.2(2019绍兴、诸暨高考二模)已知f(x)是定义在R上的单调递增函数，则下列四个命题：若f(x0)x0，则ff(x0)x0；若ff(x0)x0，则f(x0)x0；若f(x)是奇函数，则ff(x)也是奇函数；若f(x)是奇函数，则f(x1)f(x2)0x1x20，其中正确的有()A4个 B3个 C2个D1个解析：选A.对于，因为
9、f(x)是定义在R上的单调递增函数，若f(x0)x0，则ff(x0)f(x0)x0，故正确；对于，当ff(x0)x0时，若f(x0)x0，由f(x)是定义在R上的单调递增函数得ff(x0)f(x0)x0与已知矛盾，故正确；对于，若f(x)是奇函数，则ff(x)ff(x)ff(x)，所以ff(x)也是奇函数，故正确；对于，当f(x)是奇函数，且是定义在R上的单调递增函数时，若f(x1)f(x2)0，则f(x1)f(x2)x1x2x1x20；若x1x20x1x2f(x1)f(x2)f(x2)f(x1)f(x2)0，故正确；故选A.专题强化训练1(2019金华十校调研)已知奇函数f(x)当x0时，f
10、(x)x(1x)，则当x0时，f(x)的表达式是()Af(x)x(1x)Bf(x)x(1x)Cf(x)x(1x)Df(x)x(x1)解析：选C.设x0，则x0，又当x0时，f(x)x(1x)，故f(x)x(1x)，又函数为奇函数，故f(x)f(x)x(x1)，即f(x)x(x1)，故选C.2已知f(x)x1，f(a)2，则f(a)()A4B2C1D3解析：选A.因为f(x)x1，所以f(a)a12，所以a3，所以f(a)a11314，故选A.3下列函数中，既是偶函数又在区间(0，)上单调递增的是()AyBy|x|1Cylg xDy解析：选B.A中函数y不是偶函数且在(0，)上单调递减，故A错误
11、；B中函数满足题意，故B正确；C中函数不是偶函数，故C错误；D中函数不满足在(0，)上单调递增，故选B.4已知函数f(x)的图象关于原点对称，g(x)ln(ex1)bx是偶函数，则logab()A1B1CD.解析：选B.由题意得f(0)0，所以a2.因为g(1)g(1)，所以ln(e1)blnb，所以b，所以logablog21.5(2019台州市高考模拟)函数f(x)x2(aR)的图象不可能是()解析：选A.直接利用排除法：当a0时，选项B成立；当a1时，f(x)x2，函数的图象类似D；当a1时，f(x)x2，函数的图象类似C.故选A.6(2019湖北八校联考(一)设函数f(x)在区间3，4
12、上的最大值和最小值分别为M，m，则()A.B.C.D.解析：选D.易知f(x)2，所以f(x)在区间3，4上单调递减，所以Mf(3)26，mf(4)24，所以.7(2018高考全国卷)下列函数中，其图象与函数yln x的图象关于直线x1对称的是()Ayln(1x)Byln(2x)Cyln(1x)Dyln(2x)解析：选B.法一：设所求函数图象上任一点的坐标为(x，y)，则其关于直线x1的对称点的坐标为(2x，y)，由对称性知点(2x，y)在函数f(x)ln x的图象上，所以yln(2x)故选B.法二：由题意知，对称轴上的点(1，0)既在函数yln x的图象上也在所求函数的图象上，代入选项中的函
13、数表达式逐一检验，排除A，C，D，选B.8(2019浙江台州市书生中学高三月考)设奇函数f(x)在(0，)上为单调递减函数，且f(2)0，则不等式0的解集为()A(，2(0，2B2，0)2，)C(，22，)D2，0)(0，2解析：选D.因为函数f(x)是奇函数，所以00.又因f(x)在(0，)上为单调递减函数，且f(2)0，所以得，函数f(x)在(，0)上单调递减且f(2)0.因此，x(，2)(0，2)时，f(x)0；x(2，0)(2，)时f(x)0，故选D.9(2019温州市十校联考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)(|xa2|x2a2|3a2)若任取xR，f(x1)
14、f(x)，则实数a的取值范围为()A.B.C.D.解析：选B.因为当x0时，f(x)(|xa2|x2a2|3a2)，所以当0xa2时，f(x)(a2x2a2x3a2)x；当a2x2a2时，f(x)(xa22a2x3a2)a2；当x2a2时，f(x)(xa2x2a23a2)x3a2.综上，函数f(x)(|xa2|x2a2|3a2)在x0时的解析式等价于f(x)因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f(x)在R上的大致图象如下，观察图象可知，要使xR，f(x1)f(x)，则需满足2a2(4a2)1，解得a.10定义域为R的函数f(x)满足f(x2)3f(x)，当x0，2时，f(x)x22x，若
15、x4，2时，f(x)恒成立，则实数t的取值范围是()A(，1(0，3B(，(0，C1，0)3，)D，0)，)解析：选C.因为x4，2，所以x40，2，因为x0，2时，f(x)x22x，所以f(x4)(x4)22(x4)x26x8.函数f(x)满足f(x2)3f(x)，所以f(x4)3f(x2)9f(x)故f(x)(x26x8)，因为x4，2时，f(x)恒成立，所以f(x)min，解得t3或1t0.11(2019宁波镇海中学高三一模)已知函数f(x)则f(f(2)_，若f(x)2，则x的取值范围为_解析：由分段函数的表达式得f(2)()22422，f(2)0，故f(f(2)0.若x1，由f(x)
16、2得()x22得()x4，则2x4，得x2，则x2，此时x2.若x1，由f(x)2得(x2)(|x|1)2，即x|x|x2|x|0，若x0得x23x0，则x3或x0，此时x3或x0，若x0，得x2x0，得x2x0，得0x1，此时无解，综上x3或x0.答案：0x3或x012已知函数f(x)则f(f(3)_，f(x)的最小值是_解析：因为 f(3)lg(3)21lg 101，所以f(f(3)f(1)1230.当x1时，x32 323，当且仅当x，即x时等号成立，此时f(x)min230；当x1时，lg(x21)lg(021)0，此时f(x)min0.所以f(x)的最小值为23.答案：02313(2
17、019浙江新高考冲刺卷)已知函数f(x)ln(e2x1)mx为偶函数，其中e为自然对数的底数，则m_，若a2ab4b2m，则ab的取值范围是_解析：由题意，f(x)ln(e2x1)mxln(e2x1)mx，所以2mxln(e2x1)ln(e2x1)2x，所以m1，因为a2ab4b2m，所以4|ab|ab1，所以ab，故答案为1，答案：1，14定义新运算“”：当ab时，aba；当a0时，h(x)若h(t)h(2)，则实数t的取值范围为_解析：因为x0时，h(x)易知函数h(x)在(0，)上单调递减，因为函数h(x)(x0)为偶函数，且h(t)h(2)，所以h(|t|)h(2)，所以0|t|2，所
18、以即解得2t0或0t0时，由基本不等式可知x24，minx，44，则不等式转化成：minx，即：或，解得：x或x2.当x0时，()当1x0时，x，原不等式化为x，即x0，解得2x0，所以1x0；()当x1时，x，原不等式化为x8x，即7x0，解得：x，即x1，所以x0对于原不等式全成立综上不等式的解集为(，0)(0，2，)答案：(，0)(0，2，)18(2019台州市教学质量调研)已知函数f(x)x2bxc的图象过点(1，3)，且关于直线x1对称(1)求f(x)的解析式；(2)若m3，求函数f(x)在区间m，3上的值域解：(1)因为函数f(x)x2bxc的图象过点(1，3)，且关于直线x1对称
19、，所以，解得b2，c0，所以f(x)x22x.(2)当1m3时，f(x)minf(m)m22m，f(x)maxf(3)963，所以f(x)的值域为m22m，3；当1m1时，f(x)minf(1)121，f(x)maxf(1)123，所以f(x)的值域为1，3当m1时，f(x)minf(1)121，f(x)maxf(m)m22m，所以f(x)的值域为1，m22m19(2019浙江新高考联盟第三次联考)已知函数f(x)(1)若对于任意的xR，都有f(x)f(0)成立，求实数a的取值范围；(2)记函数f(x)的最小值为M(a)，解关于实数a的不等式M(a2)M(a)解：(1)当x0时，f(x)(xa
20、)21，因为f(x)f(0)，所以f(x)在(，0上单调递减，所以a0，当x0时，f(x)2x，令2x0得x1，所以当0x1时，f(x)0，当x1时，f(x)0，所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以fmin(x)f(1)3a，因为f(x)f(0)a21，所以3aa21，解得2a1.又a0，所以a的取值范围是0，1(2)由(1)可知当a0时，f(x)在(，0上的最小值为f(0)a21，当a0时，f(x)在(，0上的最小值为f(a)1，f(x)在(0，)上的最小值为f(1)3a，解不等式组得0a1，解不等式组得a0，所以M(a).所以M(a)在(，0)上为常数函数，在(0，1)上是增函数，在(1，)上是减函数，作出M(a)的函数图象如图所示：令3a1得a2，因为M(a2)M(a)，所以0a2.
