1、河南省郑州市2020届高三数学第三次质量预测试题 理（含解析）注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先化简集合和，再根据交集的定义运算即可.【详解】因为，所以.故选：D.【
2、点睛】本题主要考查对数不等式的求解，考查集合的交集运算，考查计算能力，属于基础题.2.已知复数满足，则复平面内与复数对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案【详解】由得，复数z在复平面内对应的点的坐标为（，），在第四象限故选D【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3.函数在的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】因为，分别讨论，的函数关系式，结合正弦函数图象特征，即可求得答案.【详解】，当化简：当化简：当化
3、简：当化简：综上所述：结合正弦函数图象特征可得：只有C满足故选：C.【点睛】本题主要考查了根据函数解析式求函数图象问题，解题关键是掌握正弦函数图象特征和分段函数的求法，数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意从解析式得到函数的性质及从图象中找信息，属于中档题.4.若两个非零向量、，满足，则向量与的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先对等式平方得到，模长关系为：，再利用夹角公式计算向量与的夹角得到答案.【详解】若两个非零向量、，满足分别平方： 故答案选C【点睛】本题考查了向量的计算，向量的夹角公式，属于常考题型，意在考查学生的计算能力.5.执行如图所示
4、的程序框图，输入，那么输出的值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】模拟执行程序框图，可得程序框图的实质是计算排列数的值，由，即可计算得解【详解】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的的值，可得程序框图实质是计算排列数值，当，时，可得：，故选B【点睛】本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查6.已知则a，b，c的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据指数幂的运算性质，求得，再利用对数函数的性质，求得，即可求解.【详解】由题意，即，又由，所以，又由对数函数的性质，可得，所以.故选：C.【点睛】本题考查了指数式、对数式的比较大小，其中解
5、答中熟记指数幂的运算性质，以及对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.7.某个微信群某次进行的抢红包活动中，群主所发红包的总金额为10元，被随机分配为2.49元、1.32元、2.19元、0.63元、3.37元共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】基本事件总数，再利用列举法求出其中甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的情况种数，根据古典概型概率计算公式可得结果【详解】所发红包的总金额为10元，被随机分配为2.49元、1.32元、2.19元、0.63元、3.37元，共5份，供甲、乙等
6、5人抢，每人只能抢一次，基本事件总数，其中甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的情况有：，共有5种，甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率，故选B.【点睛】本题考查适合古典概型的概率求法，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用，属于基础题8.天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支，十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸;十二地支即子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，以此类推，排列到“癸酉”后，天
7、于回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推已知1949年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立70年时为（ ）A. 丙酉年B. 戊申年C. 己申年D. 己亥年【答案】D【解析】【分析】根据题意，天干和地支的年份分别是以和为公差的等差数列，根据等差数列的性质即可求解。【详解】由题意可知，天干是以为公差的等差数列，地支是以为公差的等差数列，从1949到2019经历年，且1949年为“己丑”年，以1949年的天干和地支分别为首项，则，则2019年的天干为已，则2019年的地支为亥。所以中华人民共和国成立70年时为己亥年。故选：D【点睛】本题主要考查同
8、学们的推理能力和逻辑思维能力，能够灵活将题目给出的信息转化为已学数列的知识进行求解。9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三视图得到三棱锥是从长为4，宽为2，高为2的长方体中截取而来，其外接球即为长方体的外接球，外接球的直径为长方体的体对角线的长.【详解】由三视图可知，该几何体从长为4，宽为2，高为2的长方体中截取的三棱锥，如图所示：所以其外接球即为长方体的外接球，外接球的直径为长方体的体对角线的长：，所以，所以该三棱锥的外接球的体积为，故选：B【点睛】本题主要考查长方体和三棱锥
9、的三视图以及外接球的体积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于基础题.10.将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象，若函数的图象关于原点对称，则的最小值为（ ）A B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出平移后函数解析式，由图象关于原点对称，即函数为奇函数，结合诱导公式可得，从而得出结论【详解】平移后解析式为，其图象关于原点对称，则，易知最小时故选A【点睛】本题考查三角函数的图象平移变换，考查函数的奇偶性，掌握诱导公式是解题关键平移变换时要注意平移单位是对自变量而言11.过双曲线（，）的右焦点作直线的垂线，垂足为，交双曲线的左支于点，若，则该双曲线的离心率为（ ）A. B
10、. 2C. D. 【答案】C【解析】试题分析：设双曲线的右焦点的坐标,由于直线与直线垂直,所以直线方程为,联立,求出点,由已知,得点,把点坐标代入方程,整理得,故离心率,选C.考点：1.双曲线的简单几何性质；2.平面向量的坐标运算.12.已知函数在上可导且，其导函数满足，对于函数，下列结论错误的是（ ）A. 函数在上为单调递增函数B. 是函数的极小值点C. 函数至多有两个零点D. 时，不等式恒成立【答案】D【解析】【分析】由时，可得在递增， 由时，在递减，结合函数的单调区间以及函数的极值，逐一判断选项中的命题，从而可得结果【详解】，则，时，故在递增，正确；时，故在递减，故是函数的极小值点，故正
11、确；若，则有2个零点，若，则函数有1个零点，若，则函数没有零点，故正确；由在递减，则在递减，由，得时，故，故，故错误,故选D【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查利用导数研究函数的单调性、函数的极值、函数的零点，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.二填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.某车间将10名工人平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个工人加工的合格零件数如
12、茎叶图所示，已知两组工人在单位时间内加工的合格零件平均数都为20，则m+n=_【答案】11【解析】【分析】根据平均数公式分别计算得到的值，再求和.【详解】甲组的平均数，解得： 乙组的平均数，解得：，所以.故答案为：11【点睛】本题考查根据茎叶图中数据的平均数补全茎叶图，属于基础题型，本题重点考查平均数公式.14.已知x，y满足约束条件则的最大值为_【答案】8【解析】【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线，即可求出的最大值.【详解】作出不等式组表示可行域，如图中阴影部分所示，因为，所以， 显然直线过与的交点时，最大，解得，此时，所以，的最大值为8.故答案为：8.【点睛】本题主要考
13、查线性规划求目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属基础题.求目标图数最值的一般步骤：一画、二移、三求.（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15.点是圆内一点，则过点的最短弦长为_【答案】【解析】【分析】设圆心为C,过点A的最短弦就是垂直于CA的弦，根据垂径定理和勾股定理可求得【详解】设圆心为C,由圆的标准方程：，可得圆的圆心坐标为C（2，1），半径为3，由于最短弦就是垂直于CA的弦，CA所以过P点的最短弦的弦长为22故答案为2【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径
14、、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，再根据勾股定理求解16.已知等比数列的首项为，公比为，前项和为，且对任意的*，都有恒成立，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】先利用等比数列的求和公式求出，求出的范围，确定，求出最小值、最大值，即可求出的最小值【详解】等比数列的首项为，公比为，令，则，的最小值为，最大值为，对任意恒成立，则的最小值为，故答案为【点睛】本题考查等比数列的求和公式，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题三、解答题:共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第题为必考题,每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共6
15、0分17.的内角A，B，C的对边分别为，设.（）求A（）求的取值范围【答案】（）；（）.【解析】分析】（）借助三角形的内角和、两角和与差的余弦公式以及正弦定理进行化简，可求出的值，再根据的范围即可得解； （）利用正弦定理及两角和与差的正弦公式，将化简为，再根据，即可得解.【详解】（）有正弦定理可得；，即，所以，又，所以. （），所以，则 ，所以，.【点睛】本题考查的是解三角形问题，涉及的知识点包括三角恒等变换、正弦定理及余弦定理，熟记公式并准确计算是解题关键，属于基础题.在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系；题目若出现边的一次式，一般采用正弦定理，出现边的二次式
16、，一般采用余弦定理；应用正、余弦定理时，注意变形公式的运用；解决三角形问题时，注意角的限制范围.18.依法纳税是公民应尽的义务，随着经济的发展，个人收入的提高，自2018年10月1日起，个人所得税起征点和税率进行了调整，调整前后的计算方法如下表，2018年12月22日国务院又印发了个人所得税专项附加扣除暂行办法(以下简称办法)，自2019年1月1日起施行，该办法指出，个人所得税专项附加扣除，是指个人所得税法规定的子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等6项专项附加扣除.简单来说，2018年10月1日之前，“应纳税所得额”“税前收入”“险金”“基本减除费用(统一为350
17、0元)”“依法扣除的其他扣除费用”;自2019年1月1日起，“应纳税所得额”“税前收人”“险金”“基本减除费用(统一为5000元)”“专项附加扣除费用”“依法扣除的其他扣除费用.调整前后个人所得税税率表如下:个人所得税税率表（调整前）个人所得税税率表（调整后）级数全月应纳税所得额税率（%）级数全月应纳税所得额税率（%）1不超过1500元的部分31不超过3000元的部分32超过1500元至4500元的部分102超过3000元至12000元的部分103超过4500元至9000元的部分203超过12000元至25000元的部分20某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的
18、税前收入，扣除险金后，制成下面的频数分布表:收入（元）人数102025201510（）估算小李公司员工该月扣除险金后的平均收入为多少?（）若小李在该月扣除险金后的收入为10000元，假设小李除住房租金一项专项扣除费用1500元外，无其他依法扣除费用，则2019年1月1日起小李的个人所得税，比2018年10月1日之前少交多少?（）先从收入在9000，11000)及11000，13000)的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选2人作为新纳税法知识宜讲员，求两个宣讲员不全是同一收入人群的概率.【答案】（）（元）； （）（元）；（） .【解析】【分析】（）根据频数分布表，将每组的中点值乘以频数，相加后除
19、以100，即可得解；（）根据调整前后个人所得税税率表，即可得解；（）根据频数分布表和分层抽样的方法，得到抽取的7人中，中占4人，记为1，2，3，4；中占3人，记为A，B，C，然后通过列举出基本事件个数和符合条件的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案.【详解】（）小李公司员工该月扣除险金后的平均收入（元），小李公司员工该月扣除险金后的平均收入为（元）.（）2018年10月1日之前小李的个人所得税（元），2019年1月1日起小李的个人所得税（元）2019年1月1日起小李个人所得税少交（元）.（）由频数分布表可知，收入在和的人数共有人，其中收入在的占，收入在的占，按分层抽样抽取7人，其中
20、中占4人，记1，2，3，4；中占3人，记为A，B，C，从7人中选2人共有21种选法如下：， 其中不在同一收入的人群有，共12种，所以两个宣讲员不全是同一收入人群的概率为.【点睛】本题考查了频数分布表的应用、分层抽样及古典概型的概率计算问题，属于基础题.利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本事件的探求方法有两种，（1）枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的情况；（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.19.如图，ABCD为矩形，点A、E、B、F共面，和均为等腰直角三角形，且若平面平面（）证明:平面平面ADF（）问在线段EC上是否存在一点G，使
21、得BG平面若存在，求出此时三棱锥G一ABE与三棱锥的体积之比，若不存在，请说明理由.【答案】（）证明见解析；（）存在，体积比为.【解析】【分析】(1)由题意得：由ABCD为矩形可得到BCAB，再由平面平面可得到BCAF，所以AF平面BCF，再根据面面垂直的判断定理可得到平面平面ADF；(2)通过已知条件可得到平面BCE平面ADF，延长EB到点H，使得BH =AF，得到ABHF是平行四边形，从而可得到HFDC是平行四边形，即有CHDF.，过点B作CH的平行线，交EC于点G，此点G为所求的G点即存在，由EG=和，可得到即；【详解】（）ABCD为矩形，BCAB，又平面ABCD平面AEBF，BC平面A
22、BCD，平面ABCD平面AEBF=AB，BC平面AEBF， 又AF平面AEBF，BCAF，AFB=90，即AFBF，且BC、BF平面BCF，BCBF=B，AF平面BCF，又AF平面ADF，平面ADF平面BCF.（）BCAD，AD平面ADF，BC平面ADF.和均为等腰直角三角形，且90，FAB=ABE=45，AFBE，又AF平面ADF，BE平面ADF，BCBE=B，平面BCE平面ADF.延长EB到点H，使得BH =AF，又BC AD，连CH、HF，易证ABHF是平行四边形，HFABCD，HFDC是平行四边形，CHDF.过点B作CH的平行线，交EC于点G，即BGCHDF，（DF平面CDF）BG平面
23、CDF，即此点G为所求的G点，如图：又BE=，EG=，又，所以【点睛】本题考查了面面垂直的性质定理及判断定理，线面平行的判断定理及等体积法求三棱锥的体积，属于较难题.20.已知抛物线的焦点为F，直线l：直线l与E的交点为A，B，同时直线ml.直线m与E的交点为C、D，与y轴交于点P.（）求抛物线E的方程（）若求|CD|的长【答案】（）； （）或.【解析】【分析】（）联立直线抛物线方程，由韦达定理结合抛物线的定义可求出得值，从而得抛物线的方程；（）设直线，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合条件，可求得的值，再利用弦长公式求出的长，代入的值，即可求得的值.【详解】（）联立方程组，整理得，设，可得，
24、由抛物线的定义可得，解得，所以抛物线的方程为.（）设直线，联立方程组，整理得，由，解得，设，因为，可得，即，又因为，所以，解得或，所以，当时，；当时，.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及标准方程，以及直线与抛物线的位置关系的应用，解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21.已知函数，（）讨论的单调性；（）存在正实数k使得函数有三个零点，求实数a的取值范围.【答案】（）时增区间为；时，增区间为，减区间为； （）.【解析】【分析】
25、（）先求出函数的定义域和导函数，分和讨论导函数的符号，即可求得函数的单调区间；（）由题易知，函数有三个零点等价于有三个解，即仅有三解，利用分离参数法求解即可.【详解】（）（），当时，恒成立，则在上单调递增； 当时，得：.当时，单调递增，当时，单调递减， 综上，时，的增区间为，时，的增区间为，减区间为；（）由题易知，即有三个解，即仅有三解，设，可得，即，设，则，得，时，单调递增， 时，单调递减（同时注意时，），当时，恒成立，此时均符合条件，当时，由两个根不妨设为，且，有两根，不妨设为，则，则，容易分析出在，单调递增，单调递减，则当时，这里需要求和的取值范围，由上面分析可得，则，设，易知在上单调递
26、增，则，同理，由上面分析在单调递减，且时，. ，综上：.【点睛】本题考查利用导数研究含参函数的单调性，考查函数的零点，考查划归与规划思想、分类讨论思想，考查逻辑思维能力和逻辑推理能力，属于难题.(二)选考题:共10分请考生在第22、23题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分22.在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为C1:（为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为(1，0)，曲线（）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;（）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点求|PA|+|PB|的取值范围【答案】（），； （）.【解析】【分析】（）直接利用参数方
27、程和极坐标方程公式化简得到答案.（）将直线参数方程代入椭圆方程得到根与系数关系，再根据，代入数据根据三角函数有界性得到范围.【详解】（），消去得到曲线的普通方程为：，即，即曲线的普通方程为：.（）将 （为参数）代入：，化简整理得：，设两点对应的参数分别为，则恒成立， ， .【点睛】本题考查看了直线的参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和转化能力，利用韦达定理求根与系数关系是解题的关键.23.已知函数，.（）当时，求不等式的解集；（）若且对任意，恒成立，求m的最小值.【答案】（）；（）1.【解析】【分析】（）通过讨论的范围，得到各个区间上的的范围，取并集即可；（）恒成立等价于恒成立，根据绝对值的意义将函数表示成分段函数进而求得，再解关于的不等式即可得解.【详解】（）当时，原不等式等价于 或 或， 解得：或无解或， 所以，的解集为；（），则 所以函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得最小值，因为对任意，恒成立，所以，又因为，所以，解得（不合题意）所以的最小值为1【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，解题关键是正确去掉绝对值号，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.
