1、第二章2.42.4.1基础练习1过点A(1,0)且与y轴相切的圆的圆心的轨迹为()A直线B椭圆C双曲线D抛物线【答案】D【解析】设P为满足条件的点，则点P到点A的距离等于点P到y轴的距离，即点P在以点A为焦点，y轴为准线的抛物线上，所以点P的轨迹为抛物线故选D2点(7，4)到抛物线y216x焦点的距离是()A5B8C11D15【答案】A【解析】抛物线的焦点为(4,0)，点(7，4)到点(4,0)的距离为5.故选A3抛物线y224ax(a0)上有一点M，它的横坐标为3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程是()Ay28xBy212xCy216xDy220x【答案】A【解析】抛物线的准线方程为x6a
2、，由题意得36a5，a.抛物线的方程是y28x.故选A4已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A2B3CD【答案】A【解析】设抛物线焦点为F，则点F为(1,0)，x1为抛物线的准线方程，点P到l2的距离与|PF|相等当PFl1时，所求和最小，最小值为点F到l1的距离，其值为2.故选A5(2019年江苏南京模拟)经过抛物线C的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，如果A，B在抛物线C的准线上的射影分别为A1，B1，那么A1FB1的大小为_【答案】【解析】由抛物线的定义可知|BF|BB1|，|AF|AA1|，故BFB1BB
3、1F，AFA1AA1F.又OFB1BB1F，OFA1AA1F，故BFB1OFB1，AFA1OFA1，OFA1OFB1，即A1FB1.6抛物线y24x的弦ABx轴，若|AB|4，则焦点F到直线AB的距离为_【答案】2【解析】由抛物线的方程可知F(1,0)，由|AB|4且ABx轴得y(2)212，xA3.所求距离为312.7分别求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点(3,2)；(2)焦点在直线x2y40上解：(1)若抛物线焦点落在x轴上，设抛物线方程为y22px(p0)将点(3,2)代入方程得222p(3)，p.故抛物线方程为y2x.若抛物线焦点落在y轴上，设抛物线方程为x22py(p0)将
4、点(3,2)代入方程得(3)22p2，p.故抛物线方程为x2y.综上，抛物线方程为y2x或x2y.(2)直线x2y40与x轴的交点为(4,0)，则抛物线的焦点坐标为(4,0)设抛物线方程为y22px(p0)，4，p8，则抛物线方程为y216x.直线x2y40与y轴的交点为(0，2)，则抛物线的焦点坐标为(0，2)设抛物线方程为x22py(p0)，2，p4，则抛物线方程为x28y.综上，抛物线方程为y216x或x28y.8(1)设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A若OAF(O为坐标原点)的面积为4，求该抛物线方程；(2)若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y40
5、的距离小2，求点P的轨迹方程解：(1)抛物线的焦点坐标为，故直线l的方程为y2.令x0得y，故OAF的面积为4.解得a8.抛物线方程为y28x.(2)由题意知点P到点F(0,2)的距离比它到y40的距离小2，点P到点F(0,2)的距离与到直线y20的距离相等点P的轨迹是以点F为焦点，y2为准线的抛物线点P的轨迹方程为x28y.能力提升9已知点F为抛物线y28x的焦点，O为原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上且|AF|4，则|PA|PO|的最小值为()A6B24C2D42【答案】C【解析】设A(x0，y0)|AF|4，由抛物线的定义得|AF|2x0，2x04.解得x02.A(2，4)设
6、坐标原点关于准线x2的对称点的坐标为B(4,0)，则|PA|PO|PA|PB|AB|2.故选C10(2019年河北邢台模拟)从抛物线y24x上的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|5，设抛物线的焦点为F，则MPF的内切圆的面积为()ABCD【答案】B【解析】如图，|PM|5，点P的坐标为(4,4)SPMF5410.设PMF的内切圆圆心为O，半径为r，则SPMFSOPMSOPFSOMF，即(552)r10.解得r.故PMF内切圆的面积为r2.11已知抛物线y28x的焦点为F，P是抛物线准线上一点，Q是直线PF与抛物线的一个交点，若 ，则直线PF的方程为_【答案】xy20或xy20【解析】抛物线y28x的焦点F(2,0)，设点Q到准线l的距离为d，则|QF|d. ，|d.直线PF的倾斜角为45或135.直线PF的斜率为1.直线PF的方程为xy20或xy20.12已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的一点R与焦点连线的中点为M(5,4)，求抛物线的标准方程解：由题意，知抛物线的焦点一定在x轴的负半轴上，设其方程为y22px(p0)，则F，令R(x0，y0)5，4，x010，y08.代入y22px，得642p，即p220p640.解得p4或16.所求抛物线方程为y28x或y232x.
