1、课时训练17 等差数列【说明】 本试卷满分100分，考试时间90分钟.一、选择题（每小题6分，共42分）1.等差数列an前四项和为40，末四项和为72，所有项和为140，则该数列共有（ ）A.9项 B.12项 C.10项 D.13项【答案】C【解析】a1+a2+a3+a4=40,an+an-1+an-2+an-3=72.a1+an=28.又=140,故n=10.2.给出下列等式：（）an+1-an=p(p为常数);（）2an+1=an+an+2(nN*);()an=kn+b(k,b为常数)则无穷数列an为等差数列的充要条件是（ ）A.（） B.（）（）C.（）（） D.（）（）（）【答案】D【
2、解析】易知三个都是，另外还有一个常见的是an的前n项和Sn=an2+bn，（a,b为常数）.3.等差数列an中，若a1+a4+a7=39,a3+a6+a9=27，则前9项的和S9等于（ ）A.66 B.99 C.144 D.297【答案】B【解析】a1+a4+a7=39a4=13,a3+a6+a9=27a6=9，S9=99.4.等差数列an的公差为d,前n项的和为Sn,当首项a1和d变化时,a2+a8+a11是一个定值,则下列各数中也为定值的是（ ）A.S7 B.S8 C.S13 D.S15【答案】C【解析】因a2+a8+a11=3a7,故a7为定值.又S13=13a7,选C5.已知数列an中
3、,a3=2,a7=1,又数列是等差数列,则a11等于( )A.0 B. C. D.-1【答案】B【解析】+(7-3)d,d=.+(11-3)d=,a11=.6.已知数列an的通项为an=26-2n,若要使此数列的前n项之和Sn最大,则n的值是( )A.12 B.13 C.12或13 D.14【答案】C【解析】由得12n13,故n=12或13.7.在等差数列an中,-1,若它的前n项和Sn有最大值,则下列各数中是Sn的最小正数值的是( )A.S1 B.S38 C.S39 D.S40【答案】C【解析】因Sn有最大值,故d0,又0.因a21a20,故a200,a20+a210.S40=20(a1+a
4、40)=20(a20+a21)0.S39=39a200,S39-S38=a390.又S39-S1=a2+a3+a39=19(a2+a39)=19(a1+a40)0,故选C.二、填空题（每小题5分，共15分）8.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下图的规律拼成若干个图案:则第n个图案中有白色地面砖_块.【答案】4n+2【解析】每增加一块黑砖,则增加4块白砖,故白砖数构成首项为6,公差为4的等差数列,故an=6+4(n-1)=4n+2.9.设f(x)=,利用课本中推导等差数列前n项和方法,求f()+f()+f()的值为_.【答案】5【解析】当x1+x2=1时,f(x1)+ f(x2)=1.设S=f(
5、)+f()+f(),倒序相加有2S=f()+f()+f()+f()+f()+f()=10.即S=5.10.数列1,2+3,4+5+6,7+8+9+10,的一个通项公式an=_.【答案】【解析】前n项一共有1+2+3+n=个自然数,设Sn=1+2+3+n=,则an=.三、解答题（1113题每小题10分，14题13分，共43分）11.an是等差数列，公差d0，Sn是an的前n项和，已知a2a3=40,S4=26.(1)求数列an的通项公式an；(2)令bn=，求数列bn的所有项之和T.【解析】（1）S4=(a1+a4)=2(a2+a3)=26.又a2a3=40,d0，a2=5,a3=8,d=3.a
6、n=a2+(n-2)d=3n-1.(2)bn=Tn=.12.已知f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7,(1)设f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列an，求证：an为等差数列；（2）设f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成bn,求bn的前n项和.(1)证明：f(x)=x-(n+1)2+3n-8,an=3n-8.an-1-an=3,an为等差数列.(2)【解析】bn=|3n-8|,当1n2时，bn=8-3n,b1=5.Sn=；当n3时，bn=3n-8.Sn=5+2+1+4+(3n-8)=7+=.Sn=13.假设你在某公司打工，根据表现，老板给你两个加薪的方案：（）每年年末加1 000元；(
7、)每半年结束时加300元.请你选择.(1)如果在该公司干10年，问两种方案各加薪多少元？(2)对于你而言，你会选择其中的哪一种？【解析】设方案一第n年年末加薪an,因为每年末加薪1 000元，则an=1 000n；设方案二第n个半年加薪bn，因为每半年加薪300元，则bn=300n.(1)在该公司干10年（20个半年），方案（）共加薪S10=a1+a2+a10=55 000（元）.方案（）共加薪T20=b1+b2+b20=20300+300=63 000元.(2)设在该公司干n年，两种方案共加薪分别为：Sn=a1+a2+an=1 000n+1 000=500n2+500n,T2n=b1+b2+
8、b20=2n300+300=600n2+300n；令T2nSn即600n2+300n500n2+500n,解得，n2,当n=2时等号成立.如果干3年以上（包括3年）应选择第二方案；如果只干2年，随便选；如果只干1年，当然选择第一方案.14.设an是正数组成的数列,其前n项和为Sn,且对于所有的正整数n,有an=2-2.(1)写出数列an的三项;(2)求数列an的通项公式,并写出推证过程;(3)令bn=,求数列bn的前n项和Tn.【解析】(1)由题意，当n=1时，有a1=2-2,S1=a1，a1=2-2,解得a1=2.当n=2时，有a2=2-2,S2=a1+a2,将a1=2代入，整理得（a2-2
9、）2=16,由a20，解得a2=6.当n=3时，有a3=2-2,S3=a1+a2+a3,将a1=2,a2=6代入，整理得（a3-2）2=64,由a30，解得a3=10.所以该数列的前三项分别为2，6，10.(2)由an=2-2(nN*),整理得Sn=(an+2)2,则Sn+1=(an+1+2)2,an+1=Sn+1-Sn=(an+1+2)2-(an+2)2.整理，得（an+1+an）(an+1-an-4)=0,由题意知an+1+an0,an+1-an=4.即数列an为等差数列，其中首项a1=2，公差d=4,an=a1+(n-1)d=2+4(n-1).即通项公式为an=4n-2(nN*).(3)bn=,Tn=b1+b2+bn=.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
