1、江苏省徐州市沛县2019-2020学年高二数学上学期学情调研试题（一）（含解析）考试范围：椭圆、双曲线、抛物线考试时间：120分钟满分：150分注意：本试卷包含、两卷.第卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置.第卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置.答案写在试卷上均无效，不予记分.第卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则该椭圆的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，由椭圆的焦点坐标可得椭圆的焦点在x轴上，且c=1，结合椭圆的离心率公式可得a的值，由椭圆的几何性质可得b的
2、值，将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案【详解】根据题意，椭圆的一个焦点为则该椭圆焦点在x轴上，且 ，又因为椭圆的离心率为，即，所以，则，故所求椭圆标准方程为.故选：B.【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，注意椭圆离心率公式的应用.是基础题.2.若曲线表示椭圆，则的取值范围是()A. B. C. D. 或【答案】D【解析】【分析】根据椭圆标准方程可得，解不等式组可得结果.【详解】曲线表示椭圆，解得，且，的取值范围是或，故选D【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程以及不等式的解法，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.3.已知抛物线的焦点在直线上，则此抛物线的标准方程是（ ）A. B.
3、 C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】分焦点在x轴和y轴两种情况分别求出焦点坐标，然后根据抛物线的标准形式可得答案【详解】当焦点在x轴上时，根据，可得焦点坐标为得 ，则抛物线的标准方程为，当焦点在y轴上时，根据，可得焦点坐标为，则抛物线的标准方程为.故选：C【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程解题时注意分焦点在x轴上、焦点在y轴上两种情形讨论属基础题4.已知双曲线的离心率为,则椭圆的离心率为()A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】根据双曲线离心率可求得，代入椭圆方程中，根据椭圆可构造出离心率，化简得到结果.【详解】由双曲线离心率得：，解得：椭圆方程为 椭圆离心率故选：【点睛】
4、本题考查椭圆离心率的求解，涉及到双曲线离心率的应用，属于基础题.5.设为抛物线的焦点，曲线与交于点，轴，则A. B. C. D. 【答案】D【解析】试题分析：由抛物线的性质可得，故选D.考点：1、直线与抛物线；2、抛物线的几何性质；3、反比例函数.6.（2017新课标全国卷文科）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为A. B. C. D. 【答案】A【解析】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点，半径为，圆的方程为，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，整理可得，即即，从而，则椭圆的离心率，故选A.【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率
5、的求值及取值范围问题，其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.7.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于A. B. 3C. 5D. 【答案】A【解析】抛物线焦点为,故,双曲线焦点到渐近线的距离等于,故距离为,所以选.8.设F1、F2是椭圆的两焦点，P为椭圆上的点，若PF1PF2，则PF1F2的面积为（ ）A. 8B. 4C. 4D. 2【答案】C【解析】【分析】根据椭圆的定义和勾股定理，建立关于的方程，求得，结合直角三角形的面积公式，即可求得的面积.详解
6、】由椭圆，可得，则，设，由椭圆的定义可知：，因为，得，由勾股定理可得：，即，可得，解得，即，所以的面积为.故选C.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，以及椭圆的定义和焦点三角形的应用，其中解答中熟练应用椭圆的定义和勾股定理，求得是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.已知F是双曲线C：的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则的面积为A. B. C D. 【答案】D【解析】由得，所以，将代入，得，所以，又点A的坐标是(1，3)，故APF的面积为，选D点睛:本题考查圆锥曲线中双曲线简单运算，属容易题由双曲线方程得，结合PF与x轴垂直，可得，最后由点A的
7、坐标是(1，3)，计算APF的面积10.已知椭圆：（）的左、右焦点为、，离心率为，过的直线交于、两点，若的周长为，则的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由椭圆定义，利用的周长为，求出.根据离心率为，可得，求出b，即可得出椭圆的方程.【详解】由椭圆的定义可知，的周长应为，即，故，又因为离心率为，即 ，所以， 所以椭圆C的标准方程为.故选：A.【点睛】本题考查椭圆的定义，标准方程与几何性质，注意的周长应为，椭圆离心率公式的应用.是基础题.11.椭圆上的点到直线的距离的最小值为( )A. B. C. 3D. 6【答案】A【解析】【分析】设P（ cos，sin），02，求出
8、P到直线2xy80 的距离d，由此能求出点P到直线的距离的最小值【详解】椭圆4x2+y22，P为椭圆上一点，设P（ cos，sin），02，P到直线2xy80 的距离：d，当且仅当cos（）1时取得最小值点P到直线2xy80的距离的最小值为dmin故选：A【点睛】本题考查点到直线的距离公式的最小值的求法，解题时要认真审题，注意椭圆的参数方程的合理运用12.已知椭圆(ab0)的左、右焦点分别是F1,F2,焦距为2c,若直线y=(x+c)与椭圆交于M点,且满足MF1F2=2MF2F1,则椭圆的离心率是 ( )A. B. -1C. D. 【答案】B【解析】【分析】依题意知，直线y=(x+c)经过椭圆
9、的左焦点F1（-c，0），且倾斜角为60，从而知MF2F1=30，设|MF1|=x，利用椭圆的定义即可求得其离心率【详解】椭圆的方程为，作图如右图：椭圆的焦距为2c，直线 y=(x+c)经过椭圆的左焦点F1（-c，0），又直线y=(x+c)与椭圆交于M点，倾斜角MF1F2=60，又MF1F2=2MF2F1，MF2F1=30，F1MF2=90设|MF1|=x，则 ，|F1F2|=2c=2x，故x=c ，又|MF1|+|MF2|=2a，2a=（ +1）c，该椭圆的离心率 故选B【点睛】本题考查椭圆的简单性质，着重考查直线与椭圆的位置关系，突出椭圆定义的考查，理解得到直线y=(x+c)经过椭圆的左焦
10、点F1（-c，0）是关键，属于中档题第卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为3，则点到另一个焦点的距离为_.【答案】9【解析】【分析】先根据条件求出，再根据椭圆的定义，由其到一个焦点的距离，可得到另一个焦点的距离.【详解】设所求距离为，由题得：，根据椭圆的定义，椭圆上任意一点到两个焦点距离的和等于，则有，故 .故答案为：9.【点睛】本题主要考查椭圆的定义，在解决涉及到圆锥曲线上的点与焦点之间的关系的问题中，圆锥曲线的定义往往是解题的突破口.本题属于基础题.14.若双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦点坐标是_.【答案】【解析】试题分析：
11、由题意得，因为双曲线的渐近线方程为，所以，解得，所以，所以双曲线的交点坐标为.考点：双曲线的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了双曲线的几何性质，其中解答中涉及到双曲线的标准方程、双曲线的渐近线方程的应用，以及双曲线中关系式的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题，本题的解答中根据双曲线的渐近线方程，求解实数的值，根据关系式确定的值是解答的关键.15.已知过点的直线与椭圆相交于两点，若点是的中点，则直线的方程为 _ .【答案】【解析】由点M是AB的中点,则设M(1+m,1+n),N(1m,1n)，则 ， ，两式相减得： ，整理得：，直线AB的斜率 ,则直线l的方程方程y+1=
12、 (x1)，整理得：3x4y7=0，16.已知点在抛物线上运动，为抛物线的焦点，点的坐标为，则的最小值是_【答案】7【解析】 点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理 2若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦 AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.在平面直角坐标系中，矩形的一边在轴上，另一边在轴上方，且，其中，如图所示（1）若为椭圆的焦点，且椭圆经过两点，求该椭圆的方程；（2）若为双曲线的焦点，且双曲线经过两点，求双曲线的方
13、程【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据为焦点和椭圆定义得，求得，；利用求得，进而得到椭圆方程；（2）根据为焦点和双曲线定义得，求得，；利用求得，进而得到双曲线方程.【详解】（1）为椭圆的焦点，且椭圆经过两点根据椭圆的定义：， 椭圆方程为：（2）为双曲线的焦点，且双曲线经过两点，根据双曲线的定义：， 双曲线方程为：【点睛】本题考查利用椭圆、双曲线的定义求解椭圆、双曲线的标准方程问题，属于基础题.18.平面直角坐标系中，椭圆C的中心是坐标原点，对称轴为坐标轴，一个焦点F的坐标为，离心率为求椭圆C的标准方程：若直线l经过焦点F，其倾斜角为，且交椭圆C于A、B两点，求线段AB长【答案】（
14、1）；（2）.【解析】【分析】一个焦点F的坐标为，可得，由离心率为可得，利用可得，从而可得结果；（2）利用点斜式可得直线方程为，与椭圆方程联立，得，求出，利用两点间距离公式可得结果.【详解】设椭圆标准方程为，其中又 由解得椭圆C的标准方程为：根据直线过焦点F，其倾斜角为，可得直线方程为，与椭圆C方程联立，得，解得【点睛】本题考查待定系数法求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，属中档题用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；设方程：根据上述判断设方程或；找关系：根据已知条件，建立关于、的方程组；得方程：解方程组，将解代入所设方
15、程，即为所求.19.已知抛物线（）的焦点位于直线上.（1）求抛物线方程；（2）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，交抛物线于，两点，求线段的中点的横坐标.【答案】（1）；（2）3【解析】【分析】（1）先求出焦点进而求出p，从而求出抛物线的方程；（2）先根据抛物线的焦点坐标和直线的倾斜角可表示出直线AB的方程，然后联立直线方程与抛物线方程可得到两根之和与两根之积，进而可得到中点C的横坐标.【详解】解：（1）抛物线的焦点F位于直线上， 抛物线方程为；（2）抛物线的焦点坐标为，准线方程为，由倾斜角为45得直线AB的方程为 ，设点， ，将代入，得，则 ，故中点C的横坐标为3.【点睛】本题主要考查抛物线的标
16、准方程，直线与抛物线的综合问题，利用韦达定理，中点坐标公式求中点的坐标属于中档题20.已知双曲线：（，）的离心率为，虚轴长为4.（1）求双曲线的标准方程；（2）直线：与双曲线相交于，两点，为坐标原点，的面积是，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或【解析】【分析】（1）运用双曲线的离心率公式和a，b，c的关系，解方程组即可得到，进而得到双曲线的方程；（2）将直线l的方程代入双曲线方程并整理，根据l与双曲线交于不同的两点A、B，进而可求得m的范围，设，运用韦达定理和弦长公式，以及求出O点到直线AB的距离公式，最后由三角形的面积求得m，进而可得直线方程.【详解】解：（1）由题可得 ，解得，故双曲线
17、的标准方程为；（2）由得，由得 ，设， ，则 ， O点到直线l的距离 ， ， 或 或 故所求直线方程为：或【点睛】本题考查了双曲线的方程的求法，注意运用离心率公式和a，b，c的关系，考查三角形的面积的求法，注意运用联立直线方程和双曲线的方程，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题.21.已知抛物线过点，且焦点为F，直线l与抛物线相交于A，B两点求抛物线C的方程，并求其准线方程；为坐标原点.若，证明直线l必过一定点，并求出该定点【答案】（1）抛物线C的方程为，其准线方程为（2）直线l必过一定点，详见解析【解析】【分析】（1）点M代入抛物线方程，可得P，即可求出抛物线方程及其准线方程；（
18、2）直线l的方程为代入,得，利用韦达定理结合，求出b，即可证明直线l 必过一定点，并求出该定点【详解】解：将代入，得，所以，故抛物线C的方程为，其准线方程为设直线l的方程为代入，得，设，则，x1x2y1y2(ty11)(ty21)y1y24bt24bt2b24b4，所以直线方程为，必过一定点【点睛】本题主要考查抛物线的方程及准线方程，以及直线过定点的问题，意在考查学生的逻辑思维能力、化归与转化能力、运算求解能力，以及设而不求思想22.如图，已知椭圆的右焦点为，点分别是椭圆的上、下顶点，点是直线上的一个动点（与轴的交点除外），直线交椭圆于另一个点.（1）当直线经过椭圆的右焦点时，求的面积；（2）
19、记直线的斜率分别为，求证：为定值；求的取值范围.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析：（1）先联立直线的方程为与椭圆方程的方程组，求出交点坐标，进而求出点到直线的距离公式求出上的高，运用三角形的面积公式求解；（2）先求出斜率的值，再计算其积进行推算；先运用直线与椭圆的位置关系计算出向量的的坐标形式，再运用向量的数量积公式进行推证：解：（1）由题意，焦点，当直线过椭圆的右焦点时，则直线的方程为，即，联立，解得或(舍），即.连，则直线，即 ，而，.故.（2）解:法一：设，且，则直线的斜率为，则直线的方程为，联立化简得，解得，所以，所以为定值.由知，所以，令故，因为在上单调递增，所以，即的取值范围为.解法二：设点，则直线的方程为，令，得.所以，所以(定值）.由知，所以，.令，则，因为在上单调递减,所以，即的取值范围为.
