1、第2节二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题考试要求1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.知 识 梳 理1.二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界直线.不等式AxByC0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线.(2)对于直线AxByC0同一侧的所有点(x，y)，使得AxByC的值符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合同一个不等式
2、AxByC0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式AxByC0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b0表示的平面区域在直线xy10的下方.(4)直线axbyz0在y轴上的截距是.答案(1)(2)(3)(4)2.下列各点中，不在xy10表示的平面区域内的是()A.(0，0) B.(1，1)C.(1，3) D.(2，3)解析把各点的坐标代入可得(1，3)不适合，故选C.答案C3.(必修5P86T3改编)不等式组表示的平面区域是()解析x3y60表示直线x3y60及其右下方部分，xy20表示直线xy20左上方部分，故选B.答案B4.(2019北京卷)若x，y
3、满足则yx的最小值为_，最大值为_.解析作出可行域，如图阴影部分所示.设zyx，则yxz.z的几何意义是直线yxz的纵截距，通过图象可知，当直线yxz经过点A(2，3)时，z取得最大值，此时zmax321.当经过点B(2，1)时，z取得最小值，此时zmin123.答案315.实数x，y满足若z3xy的最小值为1，则正实数k_.解析因为k0，则题中的不等式组表示的平面区域为以(1，0)，为顶点的三角形区域(包含边界)，易得当目标函数z3xy经过平面区域内点时，z3xy取得最小值zmin1，解得k.答案6.(2020嘉兴测试)在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积等于_，z2xy的取值
4、范围是_.解析不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，由可得C(1，0)，由可得B(1，4)，由可得A(0，1)，则平面区域的面积为412.当目标函数z2xy经过可行域中的点B时取得最大值6，经过点A时取得最小值1，所以z的取值范围是1，6.答案21，6考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域【例1】 (1)设不等式组所表示的区域面积为S(mR).若S1，则()A.m2 B.2m0C.0m2 D.m2(2)(一题多解)(2020杭州四中仿真模拟)若不等式组表示的平面区域是等腰三角形区域，则实数a的值为_.解析(1)如图，当xy1与ymx的交点为(1，2)时，阴影部分的面积为1，此时m
5、2，若S1，则m2，故选A.(2)法一不等式组表示的平面区域是如图所示的阴影区域，而直线ax3y40过定点，且不等式ax3y40表示不含原点的区域，故若不等式组表示的平面区域是等腰三角形区域，则只能为如图所示的ABC，其中ABAC.tan OAC，tan ABC，且OAC2ABC，tanOAC，解得a4.图图法二在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，其中边界直线ax3y40过定点，则由图易得当a0时，得到的平面区域不是三角形，不符合题意；当a0时，易得三角形的三个顶点为，(4，0)，则有，解得a4.答案(1)A(2)4规律方法二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，
6、测试点定域，注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线.测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点.【训练1】 (1)若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为()A.3 B.1 C. D.3(2)已知aR，若存在实数x，y满足则实数a的取值范围为()A. B.(，1C.1，) D.解析(1)如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则2m2，则m1，由解得即A(1m，1m).由解得即B，所围成的区域为ABC，则SABCSADCSBDC(22m)(1m)(22m)(1m)(1m)2，解得m3(舍去)或m1.故选B.(2)要使得
7、存在实数x，y满足不等式组所表示的可行域如图所示(含边界)，即1a2a，得a1，故选C.答案(1)B(2)C考点二线性规划相关问题 多维探究角度1求线性目标函数的最值【例21】 (2019浙江卷)若实数x，y满足约束条件则z3x2y的最大值是()A.1 B.1 C.10 D.12解析如图，不等式组表示的平面区域是以A(1，1)，B(1，1)，C(2，2)为顶点的ABC区域(包含边界).作出直线yx并平移，知当直线yx经过C(2，2)时，z取得最大值，且zmax322210.故选C.答案C角度2求非线性目标函数的最值【例22】 (1)已知实数x，y满足不等式组则(x1)2(y2)2的取值范围是(
8、)A.1，5 B.，5 C.5，25 D.5，26(2)(2019浙江名师预测卷五)设实数x，y满足则z6x3y的最大值为_，z1的取值范围为_.解析(1)画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示.因为(x1)2(y2)2表示平面区域内的点到点P(1，2)的距离的平方，直线PO：y2x与直线x2y0垂直，由图知，点P(1，2)到直线x2y0的距离的平方为所求最小值，即为5，与点A(0，3)的距离的平方为所求最大值，即为(01)23(2)226，所以所求取值范围为5，26，故选D.(2)作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示(含边界)，由图知目标函数z6x3y过点(4，2
9、)时取得最大值为zmax643218.目标函数z1表示x0时阴影部分内的点与点(0，1)的连线的斜率，故z1有最小值，当阴影部分内的点(x0，y0)(x00)逐渐靠近点(0，2)时，点(x0，y0)与点(0，1)的连线的斜率逐渐趋于，所以z1.答案(1)D(2)18角度3求参数的值或范围【例23】 (1)已知x，y满足条件若zmxy取得最大值的最优解不唯一，则实数m的值为()A.1或2 B.1或C.1或2 D.2或(2)已知实数x，y满足约束条件若z2xy在点(0，0)处取得最小值，则z2xy的最大值是()A.3 B.4 C.5 D.6解析(1)在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区
10、域如图中阴影部分所示(包含边界)，由图易得当目标函数zmxy与直线xy2或xy10平行时，目标函数取得最大值的最优解不唯一，所以m1或m2.(2)由目标函数z2xy在点(0，0)处取到最小值，则边界直线x2ya0过点(0，0)，故a0，因此约束条件所对应的平面区域为AOB内部(含边界)，如图所示，则目标函数z2xy移至点A(4，2)时有最大值为6，故选D.答案(1)A(2)D规律方法线性规划两类问题的解决方法(1)求目标函数的最值：画出可行域后，要根据目标函数的几何意义求解，常见的目标函数有：截距型：形如zaxby；距离型：形如z；斜率型：形如z.(2)求参数的值或范围：参数的位置可能在目标函
11、数中，也可能在约束条件中.求解步骤为：注意对参数取值的讨论，将各种情况下的可行域画出来；在符合题意的可行域里，寻求最优解.【训练2】 (1)(角度1)若实数x，y满足x2y21，则|xy1|2x3y1的最大值是()A.5 B. C.4 D.(2)(角度2)(2019温州适应性测试)已知实数x，y满足则zx2y2的最大值为()A.2 B.2 C.4 D.8(3)(角度3)已知实数x，y满足约束条件若ztxy的最小值为1，则实数t的取值范围是()A.t2 B.2t1C.t1 D.t2或t1解析(1)当xy1时，z|xy1|2x3y13x4y在点处有最大值5，当xy1时，z|xy1|2x3y1x2y
12、2在点(0，1)处有最大值4，所以|xy1|2x3y1的最大值是5，故选A.(2)在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，其是以(2，2)，(1，1)，为顶点的三角形及其内部，zx2y2表示平面区域内的点到原点的距离的平方，由图易得平面区域内的点(2，2)到原点的距离最大，则zmax22228.故选D.(3)画出满足约束条件的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，由图易知只有平移直线txy0经过直线2xy10与直线xy10的交点C(0，1)时，目标函数ztxy的值为1，则目标函数ztxy要取得最小值1，直线ztxy必过点C(0，1).当t0时，则t1，即0t1；当t0时，则t2，
13、即2t0)的最大值为1，则m的值是()A. B.1 C.2 D.5解析作出可行域，如图所示的阴影部分.化目标函数zymx(m0)为ymxz，由图可知，当直线ymxz过A点时，直线在y轴的截距最大，由解得即A(1，2)，2m1，解得m1.故选B.答案B8.若函数y2x图象上存在点(x，y)满足约束条件则实数m的最大值为()A. B.1 C. D.2解析在同一直角坐标系中作出函数y2x的图象及所表示的平面区域，如图阴影部分所示.由图可知，当m1时，函数y2x的图象上存在点(x，y)满足约束条件，故m的最大值为1.答案B二、填空题9.(2020杭州质检)若实数x，y满足不等式组则2x3y的最小值为_
14、.解析在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，其是以(1，1)，(4，4)，(2，0)为顶点的三角形区域(包含边界)，由图易得当目标函数z2x3y经过平面区域内的点(2，0)时，z2x3y取得最小值，zmin22304.答案410.已知O是坐标原点，点M的坐标为(2，1)，若点N(x，y)为平面区域上的一个动点，则的最大值是_.解析依题意得不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，其中A，B，C(1，1).设z2xy，当目标函数z2xy过点C(1，1)时，z2xy取得最大值3.答案311.已知实数x，y满足不等式组则|xy|的最大值为_.解析在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示
15、的平面区域为以A(4，0)，B(8，8)，C(0，2)为顶点的三角形区域(包含边界)，设zxy，则由图易得当zxy经过平面区域内的点A(4，0)时，zxy取得最大值zmax404，当zxy经过平面区域内的点C(0，2)时，zxy取得最小值zmin022，所以|xy|的取值范围为0，4，最大值为4.答案412.已知实数x，y满足设bx2y，若b的最小值为2，则b的最大值为_.解析作出不等式组满足的可行域如图阴影部分所示.作出直线l0：x2y0，y，当l0平移至A点处时b有最小值，bmina，又bmin2，a2，当l0平移至B(a，2a)时，b有最大值bmaxa2(2a)5a10.答案1013.(
16、2019浙江名师预测卷四)实数x，y满足不等式组动点(x，y)对应的区域面积是_，z的最小值是_.解析画出不等式组表示的平面区域易计算得区域面积等于；z2，其中表示点(1，3)与区域内的任意点(x，y)连线的斜率，当x1，y2时，斜率取得最小值，则zmin.答案14.(2020台州期末评估)已知x，y满足条件则2xy的最大值是_，原点到点P(x，y)的距离的最小值是_.解析作出x，y满足条件的可行域，如图中阴影部分所示(包含边界)，目标函数z2xy在的交点A(2，2)处取最大值，zmax2226，原点到点P(x，y)的距离的最小值是|OB|.答案6能力提升题组15.若实数x，y满足不等式组则2
17、|x1|y的最大值是()A. B. C.4 D.1解析设z2|x1|y在平面直角坐标系中画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，是以A(2，0)，B(0，1)，C为顶点的三角形区域(含边界)，z2xy2(x1)在点A(2，0)处取得最大值2；z2xy2(x1)在点C处取得最大值，故z2|x1|y的最大值是.答案B16.已知实数x，y满足则xy的最大值是()A. B. C.4 D.解析画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，设直线x2y60与曲线y相切于第一象限(z0)，切点为(x0，y0).由y，得y，所以解得所以xy的最大值为，故选A.答案A17.已知不等式组表示的平面
18、区域为D，若函数y|x1|m的图象上存在区域D上的点，则实数m的取值范围是()A.2，1 B. C. D.解析不等式组表示的平面区域为如图所示的ABC及其内部，而函数y|x1|m的图象可看作是由函数y|x1|的图象上下平移而得到的，显然当平移至图中折线a和折线b及其之间的位置时均符合题意.当在折线a位置时，将点(2，1)代入即可求出m2；当在折线b位置时，将点(1，1)代入即可求出m1，所以实数m的取值范围为2，1，故选A.答案A18.(2019浙江名师预测卷三)记不等式组表示的区域为，(x，y)为内(含边界)上一点，若以原点为圆心，半径为r的圆与区域无公共点，则r的取值范围是_.解析不等式组
19、所表示的平面区域为如图中阴影部分(包含边界)所示，以原点为圆心，半径为r的圆与区域无公共点，即如图所示，所以临界状态下的圆与直线xy30相切，此时r，或者该圆过直线xy30与直线xy30的交点(4，1)，此时r，所以满足题意的r的取值范围为0r或r.答案(，)19.若x，y满足约束条件则|xy|xy|的取值范围为_.解析根据约束条件画出可行域如图中ABC区域(含边界)，A(1，3)，B(1，1)，C(3，1)，且ABC区域在直线lOB：xy0的右侧，所以|xy|xy|xy|xy|取BC的中点为M，AC的中点为N，由图可知直线lMN：xy0将可行域分割为两部分，其中M(1，1)，N(2，2)，当xy时，对应区域为MNC区域(含边界)，22y4，当xy时，对应区域为四边形ABMN区域(不含边界MN)，22x4，所以|xy|xy|的取值范围是2，4.答案2，420.已知实数x，y满足条件则z的最大值为_，z取得最大值的最优解为_.解析不等式组表示的可行域为如图所示的阴影部分，当x0，y2，此时z1，当x0时，令u0，)，则z111，即z的最大值为1，此时u0，故最优解为(3，0).答案1(3，0)
