1、第六节几何概型(理)第三节几何概型(文)时间：45分钟分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1(2014福州质检)在区间上随机取一个数x，使得0tanx1成立的概率是()A. B.C. D.解析由0tanx1，得0x，故所求概率为.答案C2在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为()A. B.C. D.解析设ACx，由题意知x(12x)320x4或8x12，所求事件的概率P.答案C3(2013湖南卷)已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使APB的最大边是AB”发生的概率为，则(
2、)A. B.C. D.解析由已知，点P的分界点恰好是边CD的四等分点，由勾股定理可得AB2(AB)2AD2，解得()2，即，故选D.答案D4(2013陕西卷)如图， 在矩形区域ABCD的A, C两点处各有一个通信基站， 假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源， 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点， 则该地点无信号的概率是()A1 B.1C2 D.解析由题意知，两个四分之一圆补成半圆其面积为12，矩形面积为2，则所求概率为1.答案A5(理)如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为()A. B.C.
3、 D.解析令阴影部分的面积为S，正方形的面积为S，则S1，S(x)dx，所以点P恰好取自阴影部分的概率P.答案C5(文)(2013广州模拟)在ABC中，ABC60，AB2，BC6，在BC上任取一点D，使ABD为钝角三角形的概率为()A.B.C.D.解析如图，过点A作AHBC，垂足为H，则在RtAHB中，BHABcos602cos601；过点A作AMAB，交BC于点M，则在RtABM中，BM4，故MCBCBM2.由图可知，要使ABD为钝角三角形，则点D只能在线段BH或线段MC上选取，故所求事件的概率P，故选C.答案C6(2013沧州联考)用一平面截一半径为5的球面得到一个圆，则此圆面积小于9的概
4、率是()A. B.C. D.解析如图，此问题属几何概型，球的直径为10，用一平面截该球面，所得的圆面积大于等于9的概率为P(A).所截得圆的面积小于9的概率为P()1.答案B二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7(2013湖北卷)在区间2,4上随机地取一个数x，若x满足|x|m的概率为，则m_.解析由几何概型知：m3.答案38(2013茂名模拟)已知一颗粒子等可能地落入如图所示的四边形ABCD内的任意位置，如果通过大量的试验发现粒子落入BCD内的频率稳定在附近，那么点A和点C到直线BD的距离之比约为_解析由几何概型的概率计算公式，得粒子落在ABD与CBD中的概率之比等于ABD与C
5、BD的面积之比，而ABD与CBD的面积之比又等于点A和点C到直线BD的距离之比，所以点A和点C到直线BD的距离之比约为.答案9(2014抚顺六校期中)若实数a，b满足a2b21，则关于x的方程x22xab0有实数根的概率是_解析44(ab)0，ab10，所求概率.答案三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10如图所示，在单位圆O的某一直径上随机的取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率解弦长不超过1，即|OQ|，而Q点在直径AB上是随机的，记事件A弦长超过1由几何概型的概率公式得P(A).弦长不超过1的概率为1P(A)1.11投掷一个质地均匀的、每个面上标有一个数
6、字的正方体玩具，它的六个面中，有两个面标的数字是0，两个面标的数字是2，两个面标的数字是4，将此玩具连续抛掷两次，以两次朝上一面的数字分别作为点P的横坐标和纵坐标(1)求点P落在区域C：x2y210内的概率；(2)若以落在区域C上的所有点为顶点作面积最大的多边形区域M，在区域C上随机撒一粒豆子，求豆子落在区域M上的概率解(1)以0、2、4为横、纵坐标的点P共有(0,0)、(0,2)、(0,4)、(2,0)、(2,2)、(2,4)、(4,0)、(4,2)、(4,4)共9个，而这些点中，落在区域C内的点有：(0,0)、(0,2)、(2,0)、(2,2)共4个，故所求概率为P.(2)区域M的面积为4
7、，而区域C的面积为10，所求概率为P.12如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，H分别是棱A1B1，D1C1上的点(点E与B1不重合)，且EHA1D1.过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G.(1)证明：AD平面EFGH；(2)设AB2AA12a，在长方体ABCDA1B1C1D1内随机选取一点，记该点取自几何体A1ABFED1DCGH内的概率为p.当点E，F分别在棱A1B1，B1B上运动且满足EFa，求p的最小值解(1)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADA1D1.又EHA1D1，ADEH.AD平面EFGH，EH平面EFGH，AD平面EFGH.(2)设BCb，则长方体ABCDA1B1C1D1的体积VABBCAA12a2b，几何体EB1FHC1G的体积V1(EB1B1F)B1C1EB1B1F.EBB1F2a2，EB1B1F，当且仅当EB1B1Fa时等号成立V1.p11，当且仅当EB1B1Fa时等号成立，p的最小值等于.
