1、绝密启用前宁夏回族自治区银川市2021届高三数学下学期5月普通高等学校招生全国统一考试 理注意事项:1答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2作答时,务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1集合,则A0,1,2B1,2 C-1, 0,1,2D1,0,12欧拉公式(e是自然对数的底数,i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它将三角函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数和指数函数的关系,它在复变函数论里占有非常重要的地位,当
2、时,就有,根据上述背景知识试判断表示的复数在复平面对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具,它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成(清)陆以湉冷庐杂识卷中写道:近又有七巧图,其式五,其数七,其变化之式多至千余,体物肖形,随手变幻,盖游戏之具,足以排闷破寂,故世俗皆喜为之如图是一个用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中任取一点,则此点取自阴影部分的概率为ABCD4已知等比数列的各项均为正数,且成等差数列,则数列的公比是AB2CD或5已知圆截轴所得的弦长为,过点且斜率为的直线与圆交于两点,若,则的值为ABCD6下列正
3、确命题的序号有若随机变量,且,则在一次随机试验中,彼此互斥的事件,的概率分别为,则与是互斥事件,也是对立事件一只袋内装有个白球,个黑球,连续不放回地从袋中取球,直到取出黑球为止,设此时取出了个白球,.由一组样本数据,得到回归直线方程,那么直线至少经过,中的一个点ABCD7已知实数,满足,则ABCD8已知为上的的奇函数,为偶函数,若当,则ABCD9将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于直线对称,则的最大值为ABCD10圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上,其上、下底面半径分别为4和5,则该圆台的体积为ABCD11设双曲线的左、右焦点分别为,过的直线与双曲线的右支交于两点,若,且是的
4、一个四等分点,则双曲线C的离心率是ABCD512平行于轴的直线与函数的图像交于,两点,则线段长度的最小值为ABCD二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13已知的展开式中的系数为5,则_.14若为所在平面内任意一点,且满足,则的形状为_.(填:等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形)15已知数列满足,数列的前项和为,则_.16如图,在的方格中,移动规则如下:每行均可左右移动,每列均可上下移动,每次仅能对某一行或某一列进行移动,其他行或列不变化221213331例如:若想移动成每行的数字相同,则最少需要移动次_.三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
5、第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。(一)必考题:共60分)17(12分)某地开发一片荒地,如图,荒地的边界是以C为圆心,半径为1千米的圆周.已有两条互相垂直的道路OE,OF,分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A,B.现规划修建一条新路(由线段MP,线段QN三段组成),其中点M,N分别在OE,OF上,且使得MP,QN所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P,Q,所对的圆心角为.记PCA(道路宽度均忽略不计).(1)若,求QN的长度;(2)求新路总长度的最小值.18(12分)2021年3月底,我国新冠肺炎疫情得到有效防控,但海外确诊病例却持
6、续暴增,防疫物资供不应求.某医疗器械厂开足马力,日夜生产防疫所需物品.质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况,从生产线上随机抽取了50个零件进行测量,根据所测量的零件质量(单位:克),得到如图的频率分布直方图:(1)根据频率分布直方图,求这50个零件质量的中位数(结果精确到0.01);(2)若从这50个零件中质量位于之外的零件中随机抽取2个,求这两个零件中恰好有1个是质量在上的概率;(3)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平,以频率代表概率,已知这批零件有10000个,某采购商提出两种收购方案:A所有零件均以50元/百克收购;B质量位于的零件以40元/个收购,其他零件以30元/个收购.
7、请你通过计算为该厂选择收益最好的方案.19(12分)如图1,在直角梯形中,.将沿折起,折起后点的位置为点,得到三棱锥如图2所示,平面平面,直线与平面所成角的正切值为.(1)求线段的长度;(2)试判断在线段上是否存在点,使二面角的平面角的余弦值为?若存在,请确定其位置;若不存在,请说明理由.20(12分)在平面直角坐标系中,已知椭圆的焦距为4,且过点(1)求椭圆的方程(2)设椭圆的上顶点为,右焦点为,直线与椭圆交于、两点,问是否存在直线,使得为的垂心,若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由21(12分)已知函数在定义域内有两个不同的极值点(1)求的取值范围;(2)设两个极值点分别为,(),证
8、明:(二)选考题:共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.22选修44:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数,且,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为(1)写出曲线和直线的直角坐标方程;(2)若直线与轴交点记为,与曲线交于,两点,求23选修4-5:不等式选讲已知是正实数,且(1)求的最小值;(2)求证:2021年数学(理科)参考答案一、 选择题123456789101112CDDCDACCABAD二、填空题:15. 13. -114.等腰三角形 15. 16. 317.【答案】(1)QN的长度为1千米
9、(2)【分析】(1)连接,通过切线的几何性质,证得四边形是正方形,由此求得的长度.(2)用表示出线段,线段的长,由此求得新路总长度的表达式,利用基本不等式求得新路总长度的最小值.【详解】(1)连接CB,CN,CM,OMON,OM,ON,PM,QN均与圆C相切CBON,CAOM,CPMP,CQNQ,CBCAPCA,PCQ,QCB,此时四边形BCQN是正方形,QNCQ1,答:QN的长度为1千米;(2)PCA,可得MCP,NCQ,则MP,NQ设新路长为,其中(,),即,当时取“”,18.【答案】(1)中位数为71.47;(2);(3)该厂选择方案B;答案见解析.【详解】(1)零件质量位于的频率为,零
10、件质量位于的频率为, .2分,这50个零件质量的中位数位于区间,设为,则,解得,故这50个零件质量的中位数为71.47 .4分(2)质量位于的零件个数为个,质量位于的零件个数为个, .6分故这两个零件中恰好有1个是质量在上的概率为. .8分(3)这组数据的平均数为,.9分方案A:收益为元; .10分质量位于的零件个数为个,质量位于之外的零件个数为个,方案B:收益为元. .11分,该厂选择方案B. .12分19.【答案】(1)2;(2)存在;为的四等分点,且.【详解】(1)因为平面平面,平面平面又面,所以面,所以与面所成角为,又所以,因为在直角梯形中,所以所以,令那么,所以所以,即(2)以的中点
11、为坐标原点,为轴,过点平行于的直线为轴,为轴,建立如图空间直角坐标系,设,.设二面角的平面角为设平面的一个法向量为.则,即取,得.取面的一个法向量则,所以化简整理得:或(舍去)当时,所以为的四等分点,且20.【解析】(1)由已知可得,.2分解得,所以椭圆的方程为.4分(2)由已知可得,可设直线的方程为,代入椭圆方程整理,得.6分设,则,即.8分,即,或.10分由,得又时,直线过点,不合要求,故存在直线满足题设条件.12分21解:(1)由题意得,的定义域是,令,函数在定义域内有两个不同的极值点等价于在上2个零点,当时,在上,递减,不满足题意,当时,在上,递增,在,上,递减,要使在上2个零点,只需
12、,即,解得:,故的范围是;(2)由(1)可知,两式相减可得,要证明,只需证明,即证明,把代入整理得:,令,即证明,令,则,当时,函数在递减,故(1),故,命题得证22解:(1)曲线的参数方程为为参数,且,转换为直角坐标方程为.3分直线的极坐标方程为,转换为直角坐标方程为.5分(2)直线与轴交点记为,即,转换为参数方程为为参数)与曲线交于,两点,.7分把直线的参数方程代入方程得到,所以,.9分则:.10分23.【解析】(1)a,b,c是正实数,且a+b+2c=1所以()(a+b+2c).2分,当且仅当,即,时等号成立,的最小值为.5分(2)由柯西不等式可得(12+12+22)(a2+b2+c2)(a+b+2c)2=1,.7分即,当且仅当,即,时等号成立,.9分a2+b2+c2成立.10分