1、【师说系列】2022届高考数学一轮练之乐 1.9.2空间几何体的表面积和体积 文一、选择题1一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A48B328C488 D80解析：由三视图可知本题所给的是一个底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱，所以该直四棱柱的表面积为S2(24)4442424488.答案：C2某几何体的三视图如图所示，则它的体积是()A8 B8C82 D.解析：显然圆锥的底面半径为1，高为2，组合体体积为四棱柱体积减去圆锥体积，即V2221228，选A.答案：A3已知球的直径SC4，A，B是该球球面上的两点，AB2，ASCBSC45，则棱锥SABC的体积为()A. B.C.
2、D.解析：由题可知AB一定在与直径SC垂直的小圆面上，作过AB的小圆交直径SC于D，如图所示，设SDx，则DC4x，此时所求棱锥即分割成两个棱锥SABD和CABD，在SAD和SBD中，由已知条件可得ADBDx，又因为SC为直径，所以SBCSAC90，所以DBCDAC45，所以在BDC中，BD4x，所以x4x，解得x2，所以ADBD2，所以ABD为正三角形，所以VSABD4.答案：C4如图，某几何体的正视图(主视图)，侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形，等腰三角形和菱形，则该几何体体积为()A4 B4C2 D2解析：由题意知该几何体为如图所示的四棱锥，底面为菱形，且AC2，BD2，高QP3
3、，其体积V(22)32.答案：C5棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为()A.a3 B.a3C.a3 D.a3解析：正八面体可以看做两个正四棱锥拼接而成，其中正四棱锥的棱长为a，高为a.则V2(a)2aa3.答案：C6已知正四面体ABCD的表面积为S，其四个面的中心分别为E、F、G、H，设四面体EFGH的表面积为T，则等于()A. B.C. D.解析：设正四面体ABCD的棱长为a，如图所示，则EFMNBDa，所以.答案：A二、填空题7一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3.解析：由三视图可知，此几何体的上面是圆锥，其半径为1，高是3，此
4、几何体的下面是长方体，其长，宽，高分别是3,2,1，因此该几何体的体积V1233216(m3)答案：68如图，半径为4的球O中有一内接圆柱当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_解析：由球的半径为4，可知球的表面积为64.设内接圆柱的底面半径为r，高为2h，则h2r216.圆柱的侧面积为2r2h4rh432，当且仅当rh2时取等号，即内接圆柱的侧面积最大，最大值为32，此时球的表面积与内接圆柱的侧面积之差为32.答案：329已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为_解
5、析：设球心为O1，半径为r1，圆锥底面圆圆心为O2，半径为r2，则有4rr，即r2r1，所以O1O2，设两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高分别为h1、h2，则.答案：三、解答题10已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形，(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体侧面积S.解析：由已知可得，该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥VABCD，如图所示(1)V(86)464(2)该四棱锥有两个侧面VAD、VBC是全等的等腰三角形，且BC边上的高为h1 4，另两个侧
6、面VAB，VCD也是全等的等腰三角形，AB边上的高为h2 5因此S2(6485)4024.11如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，点E在线段AD上，且CEAB.(1)求证：CE平面PAD；(2)若PAAB1，AD3，CD，CDA45，求四棱锥PABCD的体积解析：证明：(1)因为PA平面ABCD，CE平面ABCD，所以PACE.因为ABAD，CEAB，所以CEAD.又PAADA，所以CE平面PAD.(2)由(1)可知CEAD.在RtECD中，DECDcos451，CECDsin451.又因为ABCE1，ABCE，所以四边形ABCE为矩形所以S四边形ABCDS矩形ABCESEC
7、DABAECEDE1211.又PA平面ABCD，PA1，所以V四棱锥PABCDS四边形ABCDPA1.12某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图(1)所示，墩的上半部分是正四棱PEFGH(底面为正方形，从顶点向底面作垂线，垂足是底面中心)，下半部分是长方体ABCDEFGH.图(2)、图(3)分别是该标识墩的正视图和俯视图(1)请画出该安全标识墩的侧视图；(2)求该安全标识墩的体积；(3)证明：直线BD平面PEG.解析：(1)侧视图同正视图，如图所示(2)该安全标识墩的体积为VVPEFGHVABCDEFGH4026040220320003200064000(cm3)(3)证明：如图，连接EG，HF及BD，EG与HF相交于点O，连接PO.由正四棱锥的性质可知，PO平面EFGH，POHF.又EGHF，POEGO，HF平面PEG.又BDHF，BD平面PEG.
