1、河南省郑州市第一中学2019-2020学年高二数学下期线上线下教学衔接检测试题 理（含解析）第卷一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知复数，则复数的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘方和除法法则将复数化为一般形式，进而可求得复数的虚部.【详解】，因此，复数的虚部为.故选：A.【点睛】本题考查复数虚部的求解，考查了复数的乘方和除法法则的应用，考查计算能力，属于基础题.2.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点因为函数在处的导数值，所以是函数的极值点以上推理中（ ）A. 小前提错
2、误B. 大前提错误C. 推理形式错误D. 结论正确【答案】B【解析】【分析】对大前提，小前提，推理形式与结论进行判断【详解】大前提：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，错误，极值点的定义中除要求，还需要在两侧的导数的符号相反虽然小前提正确，推理形式正确，但结论是错误的，故选：B【点睛】本题考查三段论推理，三段论推理的结论是正确的前提条件是大前提、小前提、推理形式都正确3.三角形的面积为，（为三角形的边长，为三角形的内切圆的半径）利用类比推理，可以得出四面体的体积为 ( )A. （为底面边长）B. （分别为四面体四个面的面积，为四面体内切球的半径）C. （为底面面积，为四面体的高）D. （为
3、底面边长，为四面体的高）【答案】B【解析】【分析】根据类比规则求解.【详解】平面类比到空间时，边长类比为面积，内切圆类比为内切球，调节系数也相应变化，因此四面体的体积为（分别为四面体四个面的面积，为四面体内切球的半径），选B.【点睛】本题考查类比推理，考查基本分析推理能力，属基本题.4.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(nN*)能被9整除”,要利用归纳假设证明当n=k+1时的情况,只需展开()A. (k+3)3B. (k+2)3C. (k+1)3D. (k+1)3+(k+2)3【答案】A【解析】假设当nk时，原式能被9整除，即k3(k1)3(k2)3能被9整除当nk1时，(k
4、1)3(k2)3(k3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k3)3展开，让其出现k3即可5.小明通过某次考试的概率是未通过的5倍，令随机变量，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据通过某次考试的概率是未通过的5倍，由求解.【详解】因为通过某次考试的概率是未通过的5倍，所以，解得.故选：C【点睛】本题主要考查离散型随机变量的概率，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.6.高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙二人相邻的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出甲、乙二人相邻时的排法数，再求出甲、乙二人相邻,
5、甲、丙二人也相邻的排法数，然后再求概率.【详解】甲、乙、丙等五位同学站成一排, 甲、乙二人相邻则将甲、乙看成一个元素，由捆绑法有种不同的排法.甲、乙、丙等五位同学站成一排, 甲、乙二人相邻, 甲、丙二人也相邻则甲、乙、丙三人看成一个元素，甲在中间，由捆绑法有所以已知甲、乙二人相邻，则甲、丙二人相邻的概率是故选：C【点睛】本题考查概率的计算和捆绑法解决元素相邻的排列问题，在用捆绑法解决元素相邻的排列问题时，要注意松绑的处理(即被捆绑的元素的内部的排列)，属于中档题.7.已知随机变量，若，则，分别为（ ）A. 和B. 和C. 和D. 和【答案】C【解析】【分析】利用二项分布的数学期望和方差公式求出
6、和，然后利用期望和方差的性质可求出和的值.【详解】，.，由期望和方差的性质可得，.故选：C.【点睛】本题考查均值和方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用8.已知，函数，若在上是单调减函数，则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数的解析式，可求导函数，根据导函数与单调性的关系，可以得到；分离参数 ，根据所得函数的特征求出 的取值范围.【详解】因为所以 因为在上是单调减函数所以即所以 当时， 恒成立当 时， 令 ，可知双刀函数，在 上为增函数，所以 即所以选C【点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参
7、数的函数的最值问题；（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）.9.设曲线为自然对数的底数上任意一点处的切线为，总存在曲线上某点处的切线，使得，则实数a的取值范围为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求得的导数，设为上的任一点，可得切线的斜率，求得的导数，设图象上一点可得切线的斜率为，运用两直线垂直的条件：斜率之积为，分别求的值域A，的值域B，由题意可得，可得a的不等式，可得a的范围【详解】的导数为，设为上的任一点，则过处的切线的斜率为，的导数为，过图象上一点处的切线的斜率为由，可得，即，
8、任意的，总存在使等式成立,则有的值域为，所以的值域为由，即，即，解得：，故选D【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线垂直的条件：斜率之积为，考查任意存在性问题的解法，注意运用转化思想和值域的包含关系，考查运算能力，属于中档题10.西部某县委将位大学生志愿者（男女）分成两组,分配到两所小学支教,若要求女生不能单独成组,且每组最多人,则不同的分配方案共有（ ）A. 种B. 种C. 种D. 种【答案】C【解析】试题分析：分组的方案有3、4和2、5两类，第一类有种;第二类有种，所以共有N=68+36=104种不同的方案.考点：排列组合综合应用11.若对、，且，都有，则的最小值是（ ）A.
9、 B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意可得，变形得出，构造函数，可知函数在区间上单调递减，利用导数求得函数单调递减区间，由此可求得实数的最小值.【详解】对、，且，都有，可得，构造函数，则函数在区间上单调递减，令，解得，即函数的单调递减区间为，则，因此，实数的最小值为.故选：C.【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，将问题转化为函数的单调性是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.12.已知不等式恒成立，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】令，利用导数求出函数的最大值，由不等式恒成立可得，代入并令，再次利用导数求出函数的最小值即可得解.【详
10、解】令，则，若，则，所以，函数在上单调递增，无最大值；若，令，则函数上单调递增，在上单调递减，所以，根据题意可得，所以，令，当时，单调递减；当时，单调递增，所以，故的最小值为.故选：B【点睛】本题考查导数在恒成立求参数问题中的应用，利用导数求函数的最值，属于中档题.第卷二、填空题：本大题共4小题13.由曲线和曲线围成的封闭图形的面积为_【答案】【解析】【分析】先求交点确定可积区间，再利用定积分求结果.【详解】由得，所以所求面积为【点睛】本题考查利用定积分求面积，考查基本分析求解能力，属基础题.14.某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数（单位：辆）均服从正态分布，若，假设三个收费口
11、均能正常工作，则这个收费口每天至少有一个超过700辆的概率为_【答案】【解析】【分析】先由正态分布，根据题意，求出的概率，再由独立重复试验的概率计算公式，即可求出结果.【详解】因为高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数均服从正态分布，所以，因此三个收费口每天至少有一个超过700辆的概率为.故答案为：.【点睛】本题主要考查正态分布以及独立重复试验，属于基础题型.15.已知，均为非负数，且，则的最小值为_【答案】2【解析】【分析】根据题意得到，再由柯西不等式，即可求出结果.【详解】因为，均为非负数，且，则，所以由柯西不等式可得：，所以；当且仅当，即，由解得：，即时，等号成立.故答案为：2
12、.【点睛】本题主要考查由柯西不等式求最值，熟记柯西不等式即可，属于常考题型.16.已知函数是定义在上的增函数，则不等式的解集为_【答案】【解析】【分析】构造函数，则，所以的单调递减，将转化成，又，再根据函数单调性即可求出结果.详解】设，所以，因为，所以，所以在上为减函数，因为函数是定义在上的增函数，所以，所以在上恒成立，又因为，所以，所以，即，因为，所以，所以，又在上为减函数，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查导数在判断单调性中的应用，解题的关键是合理构造函数，利用导函数判断构造的函数的单调性.三、解答题：本大题共6小题解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.已知复数，是实数，是虚数单位
13、（1）求复数；（2）若复数所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围【答案】（1）z=2i（2）m（，2）时，复数所表示的点在第一象限【解析】【试题分析】（1）将代入，再借助是实数，其虚部为0建立方程求出的值；（2）将代入，借助其表示的点在第一象限建立不等式组，通过解不等式组求出的取值范围：解：（1）z=bi（bR），=又是实数， b=2，即z=2i（2）z=2i，mR，（m+z）2=（m2i）2=m24mi+4i2=（m24）4mi，又复数所表示的点在第一象限，解得m2，即m（，2）时，复数所表示的点在第一象限18.已知函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若的解集包含，求实数的取值范围【答案
14、】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用分类讨论法，求得不等式的解集（2）（2）原命题等价于在上恒成立，即在上恒成立，由此求得的范围【详解】解：（1）当时，或或或或，所以不等式的解集为或（2），由于，所以上式，所以在区间上恒成立，所以【点睛】本题主要考查分类讨论法解绝对值不等式，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题19.已知的二项展开式中所有奇数项的系数之和为512.(1)求展开式的所有有理项（指数为整数）；(2)求展开式中项的系数【答案】（1） （2）164【解析】【试题分析】（1）依据题设运用二项式展开式的公式及待定系数法进行求解；（2）依据题设先求出展开式中项的系数，再组合
15、数公式的性质求解：解:（1）， （ r =0, 1, ，10 ）Z，6有理项为，（2），项的系数为20.复旦大学附属华山医院感染科主任医师张文宏在接受媒体采访时谈到：通过救治研究发现，目前对于新冠肺炎最有用的“特效药”还是免疫力而人的免疫力与体质息息相关，一般来讲，体质好，免疫力就强复学已有一段时间，某医院到学校调查高二学生的体质健康情况，随机抽取12名高二学生进行体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：65，78，90，86，52，87，72，86，87，98，88，86根据此年龄段学生体质健康标准，成绩不低于80的为优良（1）将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，在该学校全体高二学生中任选
16、3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；（2）从抽取的12人中随机选取3人，记表示成绩“优良”的人数，求的分布列和期望【答案】（1）（2）见解析，2【解析】分析】（1）从该社区中任选1人，成绩是“优良”的概率为，由此能求出在该社区老人中任选三人，至少有1人成绩是优良的概率（2）由题意得的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和期望【详解】解：（1）抽取的12人中成绩是优良的频率为，故从该校全体高二学生中任选1人，成绩是“优良”的概率是，设“在该校全体高二学生中任选3人，至少有1人成绩优良”为事件，则（2）由题意可知，的可能取值为0，1，2，3，所以的分
17、布列为0123【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用，属于中档题21.设函数，其中是的导函数（1）令，猜想的表达式，并给出证明；（2）若恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据，由，得到，猜想，再用数学归纳法证明（2）由恒成立，得到恒成立，令，用导数法研究成立即可.【详解】（1）因为，所以，可猜想下面用数学归纳法证明当时，结论成立假设当时结论成立，即则当时，结论成立由可知，结论对成立（2）法1：已知恒成立，即恒成立设，则，当时，（当且仅当，时等号成立），在上单调递增又，在上恒成立，
18、当时，恒成立（当且仅当时等号成立）当时，对，有，在上单调递减，即当时，存在，使，不恒成立综上可知，的取值范围是法2：已知恒成立，即恒成立当时，无论取什么值，都成立；当时，令，令，故在上单调递增，即，在上单调递增，即的取值范围是法3：已知恒成立，即恒成立，令，所以函数的图象不在函数的图象的上方，其中，在上单调递增，又在上单调递增，且，的图象如图所示，的图象恒过点，由图象可知【点睛】本题主要考查数学归纳法的应用研究导数与不等式恒成立问题，还考查了猜想，转化化归和运算求解的能力，属于难题.22.已知函数，是函数的导函数（1）若，求证：对任意，；（2）若函数有两个极值点，求实数的取值范围【答案】（1）
19、见解析；（2）【解析】【分析】（1）当时，只需证明的最小值大于等于零即可；（2）法一：函数有两个极值点，即在上有两个不等根，转化为在上有两个不等根，注意到和函数互为反函数，将所求问题进一步转化为和函数有两个不同的交点，构造函数，利用导数解决即可.法二：有两个变号零点，分，两种情况讨论，在讨论时，注意二次求导，结合极限即可得到答案.【详解】（1）当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，证毕（2）法一：函数有两个极值点，即有两个变号零点，即在上有两个不等根，即在上有两个不等根，即函数和的图象有两个不同的交点函数和函数互为反函数，只需函数和函数有两个不同的交点，即方程有两个不等正根，令，当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，又时，；时，法二：函数有两个极值点，即有两个变号零点，当时，由（1），则在上是增函数，无极值点，当时，令，则，因为，且在上是增函数，存在，使得，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，则，由，得，则，令，在上是减函数，所以，即，又时，；时，故在上有两个变号的零点，从而函数有两个极值点，所以.【点晴】本题考查利用导数研究函数的极值、证明不等式的问题，考查学生的逻辑推理能力，转化与化归的思想，是一道中档题.
