1、第11讲 同余定理第一关 求被除数【知识点】1.所谓的同余，顾名思义，就是许多的数被一个数d去除，有相同的余数d数学上的称谓为模如a=6，b=1，d=5，则我们说a和b是模d同余的因为他们都有相同的余数12.同余式定律6的应用，我们知道一个数的各个位数之和如果能被3整除那么这个数也能被3整除，如12，因为1+2=3能被3整除，所以12也能被3整除如果我们利用定律6，就可以找出任何一个数能被另一个数整除的表达式来如我们用11来试试，11可以表示为10+1，所以有同余式：10-1（mod 11）把上式两边都乘以各自，即：1010（-1）（-1）=1 （mod 11）101010（-1）（-1）（-
2、1）=-1 （mod 11）101010101 （mod 11）我们可以发现，任何一个（在十进制系统中表示的）整数如果它的数码交替到变号之和能被11整除，这个数就能被11整除，如1353这个数它的数码交替变号之和为：1+（-3）+5+（-3）=0，因为0能被11整除，所以1353也能被11整除其他的数的找法也一样，都是两边都乘以各自的数，然后找出右边的数的循环数列即可【例1】 被3、4、5除都余1，且不等于1的最小非0自然数是多少？【答案】61【例2】 有一个自然数，被6除余1，被5除余1，被4除余1，这个自然数最小是几？【答案】61【例3】 某个自然数除以2余1，除以3余2，除以4余1，除以
3、5也余1，则这个数最小是多少？【答案】41【例4】 妈妈有些糖，若5块5块的分，最后余1块，若4块4块的分，也余1块，妈妈至少有多少块糖？【答案】21【例5】 某班同学决定分组去看望动车事故受伤的病人，按7人一组还剩1人，按6人一组也还剩1人，已知这个班人数不超过50人，则这个班级有多少人？【答案】43【例6】 有一箱子橘子在3040个之间，2个2个地数多1个，5个5个地数多1个，3个3个地数也多1个，这箱橘子有多少个？【答案】31【例7】 被2、3、4、5、6除余1而被7整除的最小正整数是几？【答案】301【例8】 一个盒子里装有不多于200颗糖，如果每次2颗，3颗，4颗或6颗地取出，最终盒
4、内都只剩一颗糖，如果每次11颗地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少颗糖？【答案】121【例9】 对任意正整数m、n，定义r（m，n）为mn的余数（比如r（8，3）表示83的余数，所以r（8，3）=2那么满足方程r（m，1）+r（m，2）+r（m，3）+r（m，10）=4）的最小正整数解为多少？【答案】120【例10】 一个四位数被7，8，9，10除都余3，此四位数最大是多少？【答案】7563【例11】 三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19，23，31所得的商相同，所得的余数也相同，求这三个数。【答案】523，631，847【例12】 两位自然数ab与ba除以7都余1，并且ab，求
5、abba【答案】2668【例13】 传说中的一条龙有100个头，一名武士一剑可以砍掉它的15，17，20或5个头就在这种情况下，勇士再次挥剑之前，在龙的肩上又分别会长出24，2，14或17个新的头如果把龙的头都砍光了，龙就死了问：龙会死吗？请说明理由.【答案】龙是不会死的，理由如下：砍掉15个头，会长出24个新的头，相当于长出9个头；砍掉17个头，会长出2个新的头，相当于砍掉15个头；砍掉20个头，会长出14个新的头，相当于砍掉6个头；砍掉5个头，会长出17个新的头，相当于长出12个头；相当于长出或砍掉的头都是3的倍数，而100除以3余1，所以，勇士再次挥剑之前龙的头数还是除以3余1，而武士一
6、剑砍掉15、17、20或5个头，这四个数中没有除以3余1的数，所以砍不死最后，最少剩4个头这4个头是指剩下的2个头和又长出的2个头，勇士是砍不掉的，因为勇士砍掉的头数中不含有4个头。第二关 求除数【例14】 三个数：23，51，72，各除以大于1的自然数，得到同一个余数则这个除数是多少？【答案】7【例15】 一个数除33、48、68，余数相同，请问这个数是多少？【答案】5【例16】 有一整数，除300，262，205得到的余数相同，这个整数是多少？【答案】19【例17】 用一个大于0的自然数，分别去除35、59和123，所得的余数相同这个数是多少？【答案】2或4或8【例18】 100和84除以
7、同一个数，得到的余数相同，但余数不为0这个除数可能是多少？【答案】8或16【例19】 有一个大于1的整数，除45，59，101所得的余数相同，这个数是多少？【答案】2，7或14【例20】 有一个大于1的整数，用它除300、262、205得到相同的余数，求这个数【答案】19【例21】 有一个大于1的整数，分别去除365，450，314所得的余数都相同，求这个数【答案】17【例22】 290，233，195除以某个大于1的整数，得到的余数相同，那么这个整数是多少？【答案】19来源:Z。xx。k.Com【例23】 一个数去除55l，745，1133，1327这4个数，余数都相同问这个数最大可能是多少
8、？【答案】194【例24】 有一个数分别去除492，2241，3195余数都是15，求这个数最大是多少？【答案】159【例25】 在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是多少？【答案】98【例26】 学校买来101个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓网如果把这三种物品平均分给每个班，这三种物品剩下的数量相同学校应有多少个班？【答案】17【例27】 有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差33求这个数是多少？【答案】6第三关 求余数【例28】 270和213对于除数19同余（判断对错）【答案】【例29】 3590，3648与4228对于除数29是否同余？【
9、答案】是【例30】 已知283，352，444被同一个正整数除的余数相同，则相同的余数是多少？【答案】7【例31】 自然数N（N1）分别除63，297和210得到相同的余数，这个余数是多少？【答案】17【例32】 一个非自然数a，分别除442，297和210得到相同的余数，这个相同的余数是多少？【答案】7来源:学科网ZXXK【例33】 三个自然数57、96、148被某自然数除，余数相同，且不为零，求284被这个数除的余数是多少？来源:学,科,网【答案】11【例34】 115，200，319被某个大于1的自然数除，所得余数都相同，求2014除以这个自然数的余数【答案】8【例35】 自然数390，
10、369，425被某自然数（且大于1）除时余数相同，那么2851被这个自然数除的余数是多少？【答案】2来源:Zxxk.Com【例36】 某数去除74、109和165，所得的余数相同，139与5612的积除以这个数余多少？【答案】2【例37】 某个自然数被247除余63，被248除也余63那么这个自然数被26除余数是多少？【答案】11【例38】 一个数介于2013至2156之间，它除以5、11、13这三个数所得的余数相同，这个余数最大是多少？【答案】4【例39】 若2836，4582，5164，6522四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为多少？【答案】120【例
11、40】 小林在计算有余数的除法时，把被除数171错写成117，结果商比原来小3，但余数恰好相同这道题的除数和余数的和是多少？【答案】27【例41】 有一个整数，除1200，1314，1048所得的余数相同且大于5问：这个数与余数的和？【答案】60【例42】 若2017，1029与725除以d的余数均为r，那么d-r的最大值是多少？【答案】35【例43】 甲、乙、丙、丁四个旅行团分别有游客69人、85人、93人、99人现在要把这四个旅行团分别进行分组，使每组都是A名游客，以便乘车前往参观游览已知甲、乙、丙三个旅行团分成每组A人的若干组后，所剩的人数都相同，那么，丁旅行团分成每组A人的若干组后还剩
12、多少人？【答案】3【例44】 甲、乙、丙、丁四人到果园摘苹果，分别摘得苹果52、66、87、97个他们把摘得的苹果装框，每筐装的苹果个数相同已知甲、乙、丙三人装完若干筐后，所剩的不足一筐的苹果数量相同（不是0），则丁装完若干筐后，不足一筐的苹果还剩多少个？【答案】6第四关 【例45】 有一类自然数除112所得的余数都是7，那么，这类自然数共有多少个？【答案】4【例46】 已知2008被一些自然数去除，得到的余数都是10这些自然数共有多少个？来源:学科网ZXXK【答案】11【例47】 12009之间同时能被3、5、7除都余2的数有多少个？【答案】20【例48】 在小于1000的非0自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个？（余数可以为0）【答案】99【例49】 393除以一个两位数，余数为8，这样的两位数有多少个？它们分别是什么？【答案】4；11，35，55或77【例50】 求能被3除余2的所有的两位数的和。【答案】1635
