1、2空间向量的运算知识点一 空间向量的加减法 填一填(1)设a和b是空间两个向量，过一点O作a和b的相等向量和，根据平面向量加法的平行四边形法则，平行四边形的对角线OC对应的向量就是a与b的和，记作ab.(2)与平面向量类似，a与b的差定义为a(b)，记作ab，其中b是b的相反向量(3)空间向量加法和减法的运算律与平面向量的运算律相同，表示如下：结合律(ab)ca(bc)；交换律abba.答一答利用空间图形验证空间向量满足结合律提示：如图所示，作a，b，c，则(ab)c()，a(bc)()，(ab)ca(bc)知识点二 空间向量的数乘 填一填(1)空间向量a与一个实数的乘积是一个向量，记作a.满
2、足：|a|a|；当0时，a与a方向相同；当0时，a与a方向相反；当0时，a0.(2)空间向量的数乘运算律与平面向量的数乘运算律相同，表示如下：aa(R)；(ab)ab，()aaa(R，R)；()a(a)(R，R)(3)空间两个向量a与b(b0)共线的充要条件是存在实数，使得ab.答一答设e1，e2不共线，且e1e20，那么你能够得到什么结论？提示：0.(否则e1e2，与e1，e2不共线矛盾)知识点三 空间向量的数量积 填一填(1)由于空间任意两个向量经平移后都可以在同一个平面内，因此，空间两个向量a和b的数量积和平面中的情形完全一样，即空间两个向量a和b的数量积是一个数，等于|a|b|cosa
3、，b，记作ab.(2)空间向量的数量积与平面向量的数量积具有同样的运算律交换律：abba；分配律：a(bc)abac；(ab)(a)b(R)(3)和平面向量一样，利用空间向量的数量积，可以得到以下结论：|a|；abab0；cosa，b(a0，b0)(4)对于任意一个非零向量a，我们把叫作向量a的单位向量，记作a0，a0与a同方向答一答三个向量a，b，c均不为0，则等式(ab)ca(bc)成立吗？提示：不成立，因ab，bc是一个数，(ab)c与c共线，a(bc)与a共线，故它们不表示同一个向量1(1)在中，O并不一定是原点，它可以是空间中的任意一点，也就是说对任意点O，都有.(2)有限个向量求和
4、，交换相加向量的顺序其和不变(3)三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量2(1)关于空间向量的数乘应注意：a(R)仍为向量；0a0；00.(2)在运用空间向量的运算法则化简向量表达式时，要结合空间图形，分析各向量在图形中的表示，然后运用运算法则，把空间向量转化为平面向量解决，并要化简到最简为止3关于空间向量的数量积的几个注意点：(1)两个空间向量的数量积是一个实数，要注意0a0(a为任意向量)(2)数量积不满足结合律，即(ab)ca(bc)(3)空间向量数量积的几个结论的作用：用于对向量模的计算；用于判断空间两个向量的垂直；可以帮助我们求两个向量的夹角；用于
5、不等式的证明4向量中应该重视的问题：(1)空间向量的加法、减法、数乘向量的意义及运算律与平面向量类似，这些运算不但适合学过的代数运算律，而且很多性质与实数性质相同(2)两个向量数量积的性质的作用：可以求两个向量的夹角；用于判断空间两个向量垂直；主要用于对向量模的计算(3)利用向量解立体几何问题的一般方法：把角度或线段转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明解决问题(4)用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题，一般用向量共线定理；解决两点距离或线段长度问题，一般用向量的模；求异面直线的夹角问题，一般可化为两向量的夹角，但要注意两种角范围不同，最后应注意转化；解决垂直问题
6、，一般可化为向量的数量积为零题型一 空间向量的加法、减法【例1】已知ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O，Q是CD的中点，求下列各题中x，y的值：(1)xy；(2)xy.【思路探究】要确定等式xy中x，y的值，就是看怎样用，来表示，同理要确定(2)中的x，y的值，也需把用，表示出来即可【解】(1)如图()，xy.(2)2，2.又2，2.从而有2(2)22x2，y2.规律方法 注意下面结论：设a，b，c是三个不共面的向量，如果x1ay1bz1cx2ay2bz2c，那么必有x1x2，y1y2，z1z2.如图，在正方体ABCDABCD中，点E是上
7、底面ABCD的中心，求下列各式中的x，y，z的值：(1)xyz.(2)xyz.解：(1)，又xyz，x1，y1，z1.(2)()().又，xyz，x，y，z1.题型二 空间向量的数乘【例2】如图，点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，其中E，H是中点，F，G是三等分点，且CF2FB，CG2GD.求证：与为共线向量【思路探究】要证与共线，根据共线向量定理只要证明即可【证明】E，H分别是AB，AD的中点，().又CF2FB，CG2GD，.().与为共线向量规律方法 (1)判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数，使ab成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体
8、图形，通过化简、计算得出ab，从而得到ab.(2)共线向量定理还可用来判定两直线平行、证明三点共线在证明两直线平行时，先取两直线的方向向量，通过证明此两向量共线来判定两直线平行当两共线的有向线段有公共点时，两直线即为同一直线，即此时三点共线已知空间四边形ABCD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点求证：四边形EFGH为平行四边形证明：如图，连接BD，解法1：E，H分别是AB，DA的中点，().同理可得，.又点E不在FG上，EHFG且EHFG.四边形EFGH为平行四边形解法2：()，()，.又点H不在EF上，HGEF且HGEF，四边形EFGH是平行四边形题型三 空间向量的数量积【例
9、3】如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB4，AD3，AA12，E为侧面AB1的中点，F为A1D1的中点，试计算：(1)；(2)；(3).【思路探究】长方体的棱对应的向量模长已知，且它们之间的夹角已知，因此，可利用向量的线性运算，将其他向量的数量积运算转化为这些向量的数量积，从而达到简单运算的目的【解】设a，b，c，则|a|4，|b|3，|c|2，abacbc0.(1)b(ca)bbcabb2|b|29.(2)(cab)(ac)acc2a2acabbcc2a212.(3)(ca)b(ba)bcabb2aca2aba2b2.规律方法 在空间图形中计算数量积的方法步骤：(1)在几何体中
10、求空间向量数量积的步骤：将相关向量用已知模和夹角的向量线性表示；利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；代入ab|a|b|cosa，b求解(2)长方体、四面体等是研究空间向量的常见载体，要熟悉其结构特点，善于挖掘隐含的垂直或特殊角等如图，已知E是正方体ABCDA1B1C1D1的棱C1D1的中点，试求向量与夹角的余弦值解：设a，b，c，则ab，ac，abacbc0.设正方体的棱长为m，则|m，|m.(ab)|a|2acabbcm2，cos，.故向量与夹角的余弦值为.多维探究待定系数法 用不共面的向量表示空间的其他向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，包括加法的平
11、行四边形法则和三角形法则【例4】已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA平面ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，且PMMC21，N为PD中点，求满足xyz的实数x，y，z的值【思路分析】结合图形，从向量出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到目标向量用，表示出来，即可求出x，y，z的值【解】(方法一)如图所示，取PC的中点E，连接NE，则.，连接AC，则，()，x，y，z.(方法二)如图所示，在PD上取一点F，使F分所成的比为2，连接MF，则，而，()，.x，y，z.(方法三)如图， ()()()，x，y，z.已知空间四边形OABC的棱OA，OB，BC互相垂直，OAOBBC1，N是
12、OC的中点，点M在AB上，若x，试探究x的值，使MNAB.解：如图，由于x，则x.(1x)x，()，(1x)x(x1)(x).又，MNAB，0，即(x1)(x)()0.，互相垂直且它们长度为1，从而求x1x0，得x.1如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，向量表达式化简后的结果是(A)A. B.C. D.解析：().2设|a|1，|b|2，且a，b120，则(2ab)2(D)A2 B12C2 D4解析：(2ab)24a24abb24412cos12044.3已知非零向量a，b不平行，并且|a|b|，则ab与ab之间的位置关系是垂直解析：(ab)(ab)a2b20，(ab)(ab)4已知在空间四边形OABC中，OBOC，ABAC，求证：OABC.证明：如图OBOC，ABAC，OAOA.AOCAOB，AOCAOB.()|cosAOC|cosAOB0，即OABC.
