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2020-2021学年人教A数学必修1课件:3-1-1 方程的根与函数的零点 .ppt

上传人:高**** 文档编号:80176 上传时间:2024-05-24 格式:PPT 页数:29 大小:1.44MB
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资源描述

1、31 函数与方程31.1 方程的根与函数的零点内 容 标 准学 科 素 养1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系2会求函数的零点3掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数.提升数学运算发展逻辑推理应用直观想象01课前 自主预习02课堂 合作探究04课时 跟踪训练03课后 讨论探究基础认识知识点一 函数的零点预习教材P8687,思考并完成以下问题如图为函数 f(x)在4,4上的图象:(1)根据函数的图象,你能否得出方程 f(x)0 的根的个数?(2)你认为方程的根与对应函数的图象有什么关系?(3)函数的零点是“点”吗?提示:方程 f(x)0 的根即为函数 f(x)的图象与 x 轴

2、交点的横坐标,由题图可知,方程有 3 个根,即 x3,1,2.提示:方程的根是使函数值等于零的自变量值,也就是函数图象与 x 轴交点的横坐标提示:函数的零点不是点,而是函数 yf(x)与 x 轴的交点的横坐标,即零点是一个实数当函数的自变量取这一实数时,其函数值为零 知识梳理 1.函数的零点对于函数 yf(x),把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 yf(x)的零点2方程、函数、图象之间的关系方程 f(x)0函数 yf(x)的图象与 x 轴有交点函数 yf(x)有实数根有零点知识点二 函数零点的判断预习教材P8788,思考并完成以下问题函数 f(x)x24x3 的图象如图(1)函数的零点是什

3、么?(2)判断 f(0)f(2)与 f(2)f(4)的符号提示:1,3.提示:f(0)3,f(2)1,f(4)3,f(0)f(2)0,f(2)f(4)0.知识梳理 函数零点的存在性定理如果函数 yf(x)在区间a,b上的图象是的一条曲线,并且有,那么,函数 yf(x)在区间(a,b)内有零点,即存在 c(a,b),使得,这个 c 也就是方程 f(x)0 的根思考:该定理具备哪些条件?提示:定理要求具备两条:函数在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线;f(a)f(b)0.连续不断f(a)f(b)0 f(c)0 自我检测1函数 y4x2 的零点是()A2 B(2,0)C.12,0D.12解析:令

4、 y4x20 得 x12,故函数 y4x2 的零点是12.答案:D2若函数 f(x)在区间(2,5)上是减函数,且图象是一条连续不断的曲线,f(2)f(5)0,则函数 f(x)在区间(2,5)上零点的个数是_解析:由函数零点存在性定理和函数的单调性知,f(x)在区间(2,5)上有且只有一个零点答案:13已知函数 yf(x)的定义域为 R,图象连续不断,若计算得 f(1)0,f(2)0,f(3)0,则可以确定零点所在区间为_解析:yf(x)的定义域为 R,图象连续不断,且 f(2)f(3)0,函数零点所在区间为(2,3)答案:(2,3)探究一 求函数的零点例 1 判断下列函数是否存在零点,如果存

5、在,请求出(1)f(x)x27x6;(2)f(x)1log2(x3);(3)f(x)2x13;(4)f(x)x24x12x2.解析(1)解方程 f(x)x27x60,得 x1 或 x6,所以函数的零点是1,6.(2)解方程 f(x)1log2(x3)0,得 x1,所以函数的零点是1.(3)解方程 f(x)2x130,得 xlog26,所以函数的零点是 log26.(4)解方程 f(x)x24x12x20,得 x6,所以函数的零点为6.方法技巧 函数零点的求法求函数 f(x)的零点时,通常转化为解方程 f(x)0,若方程 f(x)0 有实数根,则函数 f(x)存在零点,该方程的根就是函数 f(x

6、)的零点;否则,函数 f(x)不存在零点跟踪探究 1.若函数 f(x)x2xa 的一个零点是3,求实数 a 的值,并求函数f(x)其余的零点解析:由题意知 f(3)0,即(3)23a0,a6,f(x)x2x6.解方程 x2x60,得 x3 或 2.函数 f(x)其余的零点是 2.探究二 判断函数零点所在的区间阅读教材 P88 练习 2 题利用信息技术作出函数的图象,并指出下列函数零点所在的大致区间:(1)f(x)x33x5;(2)f(x)2xln(x2)3;(3)f(x)ex14x4;(4)f(x)3(x2)(x3)(x4)x.题型:判断函数零点所在区间例 2 函数 f(x)2x1x5 的零点

7、所在的区间为()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)解析 f(2)221250,f(3)231350,故 f(2)f(3)0,又 f(x)在定义域内是增函数,则函数 f(x)2x1x5 只有一个零点,且零点所在的区间为(2,3)答案 C方法技巧 判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入:将区间端点值代入函数求出函数的值(2)判断:把所得的函数值相乘,并进行符号判断(3)结论:若符号为正且函数在该区间内是单调函数,则在该区间内无零点,若符号为负且函数连续,则在该区间内至少有一个零点.跟踪探究 2.根据表格中的数据,可以判定方程 ex2x50 的一个根所在的区间是()x01234ex1

8、2.727.3920.0954.602x55791113A.(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)解析:设 f(x)ex2x5,此函数的图象是连续不断的,由表可知 f(0)1540,f(1)2.7274.280,f(2)7.3991.610,所以 f(2)f(3)0,所以函数 f(x)的一个零点,即方程 ex2x50 的一个根所在的区间为(2,3)探究三 函数零点的个数阅读教材 P88 例 1求函数 f(x)ln x2x6 的零点的个数题型:求零点的个数例 3 已知 0a1,则函数 ya|x|logax|的零点的个数为()A1 B2C3 D4解析 函数 ya|x|logax|(0a1)

9、的零点的个数即方程 a|x|logax|(0a1)的根的个数,也就是函数f(x)a|x|(0a1)与 g(x)|logax|(0a1)的图象的交点的个数画出函数 f(x)a|x|(0a1)与 g(x)|logax|(0a1)的图象,如图所示,观察可得函数 f(x)a|x|(0a1)与 g(x)|logax|(0a1)的图象的交点的个数为 2,从而函数 ya|x|logax|的零点的个数为 2.答案 B延伸探究 1.把本例函数“ya|x|logax|”改为“y2x|logax|1”,再判断其零点个数解析:由 2x|logax|10 得|logax|12x,作出 y12x 及 y|logax|(0

10、a1)的图象如图所示由图可知,两函数的图象有两个交点,所以函数 y2x|logax|1 有两个零点2若把本例条件换成“函数 f(x)|2x2|b 有两个零点”,求实数 b 的取值范围解析:由 f(x)|2x2|b0,得|2x2|b.在同一平面直角坐标系中分别画出 y|2x2|与 yb 的图象,如图所示则当 0b0,f(b)0,则函数 f(x)在区间(a,b)内()A一定有零点 B一定没有零点C可能有两个零点D至多有一个零点思路探究:(1)数形结合借助几何直观感知事物的形态与变化,利用图形理解和解决数学问题的过程,将数(量)与形(图)结合起来,把函数与方程结合起来,灵活运用给解决问题带来很大方便(2)数形结合的思想方法的核心是根据题意画出符合条件的图象,然后根据图象进行判断解析:若函数 f(x)的图象及给定的区间(a,b),如图,图所示,可知 A 错若如图所示,可知 B 错、D 错故 C 正确答案:C04课时 跟踪训练

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