1、31 函数与方程31.1 方程的根与函数的零点内 容 标 准学 科 素 养1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系2会求函数的零点3掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数.提升数学运算发展逻辑推理应用直观想象01课前 自主预习02课堂 合作探究04课时 跟踪训练03课后 讨论探究基础认识知识点一 函数的零点预习教材P8687，思考并完成以下问题如图为函数 f(x)在4,4上的图象：(1)根据函数的图象，你能否得出方程 f(x)0 的根的个数？(2)你认为方程的根与对应函数的图象有什么关系？(3)函数的零点是“点”吗？提示：方程 f(x)0 的根即为函数 f(x)的图象与 x 轴
2、交点的横坐标，由题图可知，方程有 3 个根，即 x3，1,2.提示：方程的根是使函数值等于零的自变量值，也就是函数图象与 x 轴交点的横坐标提示：函数的零点不是点，而是函数 yf(x)与 x 轴的交点的横坐标，即零点是一个实数当函数的自变量取这一实数时，其函数值为零 知识梳理 1.函数的零点对于函数 yf(x)，把使 f(x)0 的实数 x 叫做函数 yf(x)的零点2方程、函数、图象之间的关系方程 f(x)0函数 yf(x)的图象与 x 轴有交点函数 yf(x)有实数根有零点知识点二 函数零点的判断预习教材P8788，思考并完成以下问题函数 f(x)x24x3 的图象如图(1)函数的零点是什
3、么？(2)判断 f(0)f(2)与 f(2)f(4)的符号提示：1,3.提示：f(0)3，f(2)1，f(4)3，f(0)f(2)0，f(2)f(4)0.知识梳理 函数零点的存在性定理如果函数 yf(x)在区间a，b上的图象是的一条曲线，并且有，那么，函数 yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c(a，b)，使得，这个 c 也就是方程 f(x)0 的根思考：该定理具备哪些条件？提示：定理要求具备两条：函数在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线；f(a)f(b)0.连续不断f(a)f(b)0 f(c)0 自我检测1函数 y4x2 的零点是()A2 B(2,0)C.12，0D.12解析：令
4、 y4x20 得 x12，故函数 y4x2 的零点是12.答案：D2若函数 f(x)在区间(2,5)上是减函数，且图象是一条连续不断的曲线，f(2)f(5)0，则函数 f(x)在区间(2,5)上零点的个数是_解析：由函数零点存在性定理和函数的单调性知，f(x)在区间(2,5)上有且只有一个零点答案：13已知函数 yf(x)的定义域为 R，图象连续不断，若计算得 f(1)0，f(2)0，f(3)0，则可以确定零点所在区间为_解析：yf(x)的定义域为 R，图象连续不断，且 f(2)f(3)0，函数零点所在区间为(2,3)答案：(2,3)探究一 求函数的零点例 1 判断下列函数是否存在零点，如果存
5、在，请求出(1)f(x)x27x6；(2)f(x)1log2(x3)；(3)f(x)2x13；(4)f(x)x24x12x2.解析(1)解方程 f(x)x27x60，得 x1 或 x6，所以函数的零点是1，6.(2)解方程 f(x)1log2(x3)0，得 x1，所以函数的零点是1.(3)解方程 f(x)2x130，得 xlog26，所以函数的零点是 log26.(4)解方程 f(x)x24x12x20，得 x6，所以函数的零点为6.方法技巧 函数零点的求法求函数 f(x)的零点时，通常转化为解方程 f(x)0，若方程 f(x)0 有实数根，则函数 f(x)存在零点，该方程的根就是函数 f(x
6、)的零点；否则，函数 f(x)不存在零点跟踪探究 1.若函数 f(x)x2xa 的一个零点是3，求实数 a 的值，并求函数f(x)其余的零点解析：由题意知 f(3)0，即(3)23a0，a6，f(x)x2x6.解方程 x2x60，得 x3 或 2.函数 f(x)其余的零点是 2.探究二 判断函数零点所在的区间阅读教材 P88 练习 2 题利用信息技术作出函数的图象，并指出下列函数零点所在的大致区间：(1)f(x)x33x5；(2)f(x)2xln(x2)3；(3)f(x)ex14x4；(4)f(x)3(x2)(x3)(x4)x.题型：判断函数零点所在区间例 2 函数 f(x)2x1x5 的零点
7、所在的区间为()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)解析 f(2)221250，f(3)231350，故 f(2)f(3)0，又 f(x)在定义域内是增函数，则函数 f(x)2x1x5 只有一个零点，且零点所在的区间为(2,3)答案 C方法技巧 判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点.跟踪探究 2.根据表格中的数据，可以判定方程 ex2x50 的一个根所在的区间是()x01234ex1
8、2.727.3920.0954.602x55791113A.(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)解析：设 f(x)ex2x5，此函数的图象是连续不断的，由表可知 f(0)1540，f(1)2.7274.280，f(2)7.3991.610，所以 f(2)f(3)0，所以函数 f(x)的一个零点，即方程 ex2x50 的一个根所在的区间为(2,3)探究三 函数零点的个数阅读教材 P88 例 1求函数 f(x)ln x2x6 的零点的个数题型：求零点的个数例 3 已知 0a1，则函数 ya|x|logax|的零点的个数为()A1 B2C3 D4解析 函数 ya|x|logax|(0a1)
9、的零点的个数即方程 a|x|logax|(0a1)的根的个数，也就是函数f(x)a|x|(0a1)与 g(x)|logax|(0a1)的图象的交点的个数画出函数 f(x)a|x|(0a1)与 g(x)|logax|(0a1)的图象，如图所示，观察可得函数 f(x)a|x|(0a1)与 g(x)|logax|(0a1)的图象的交点的个数为 2，从而函数 ya|x|logax|的零点的个数为 2.答案 B延伸探究 1.把本例函数“ya|x|logax|”改为“y2x|logax|1”，再判断其零点个数解析：由 2x|logax|10 得|logax|12x，作出 y12x 及 y|logax|(0
10、a1)的图象如图所示由图可知，两函数的图象有两个交点，所以函数 y2x|logax|1 有两个零点2若把本例条件换成“函数 f(x)|2x2|b 有两个零点”，求实数 b 的取值范围解析：由 f(x)|2x2|b0，得|2x2|b.在同一平面直角坐标系中分别画出 y|2x2|与 yb 的图象，如图所示则当 0b0，f(b)0，则函数 f(x)在区间(a，b)内()A一定有零点 B一定没有零点C可能有两个零点D至多有一个零点思路探究：(1)数形结合借助几何直观感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程，将数(量)与形(图)结合起来，把函数与方程结合起来，灵活运用给解决问题带来很大方便(2)数形结合的思想方法的核心是根据题意画出符合条件的图象，然后根据图象进行判断解析：若函数 f(x)的图象及给定的区间(a，b)，如图，图所示，可知 A 错若如图所示，可知 B 错、D 错故 C 正确答案：C04课时 跟踪训练