1、高考资源网（） 您身边的高考专家2015-2016学年广东省揭阳市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题1已知集合A=x|x22x0，B=0，1，2，3，则AB=（）A1，2B0，1，2C1D1，2，32已知复数z满足（2z+1）i=2，则z=（）A12iB +iCiDi3已知向量=（1，2），=（1，1），则（）=（）A8B5C4D44若方程f（x）2=0在区间（0，+）上有解，则函数y=f（x）的图象可能是（）ABCD5在等差数列an中，已知a3+a5=2，a7+a10+a13=9，则此数列的公差为（）AB3CD6利用计算机在区间（0，1）上产生随机数a，则不等式ln（3a1）0成立的概
2、率是（）ABCD7抛物线y2=8x的焦点到双曲线x2=1的渐近线的距离是（）ABC1D8函数f（x）=cos2（x）cos2（x+）的最大值和最小正周期分别为（）A，B1，C，D1，9 某人以15万元买了一辆汽车，此汽车将以每年20%的速度折旧，如图是描述汽车价值变化的算法流程图，则当n=4吋，最后输出的S的值为（）A9.6B7.68C6.144D4.91522410己知棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1的一个面A1B1C1D1在一半球底面上，且A，B、C，D四个顶点都在此半球面上，則此半球的体积为（）RA4B2C16D8b11已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，
3、Q是直线PF与C的一个交点，若+2=，则|QF|=（）cA3B4C6D8112若关于x的方程4sin2xmsinx+1=0在（0，）内有两个不同的实数解，则实数m的取值范围为（）JAm4或m4B4m5C4m8Dm5或m=4w二、填空题J13已知f（x）=，则f（f（2）=w14设变量x，y满足约束条件，则z=x3y的最小值o15如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一正方体被截去一部分后所得几何体的三视图，则被截去部分的几何体的表面积为216数列an的递项公式an=（1）n2n+ncos（n），其前n项和为Sn，则S10等于C三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）f17已
4、知a，b，c分别是ABC内角A，B，C的对边，且csinA=acosC7（I）求C的值；g（）若c=2a，b=2，求ABC的面积m18某中学随机抽取50名高一学生调查其每天运动的时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，运动W的时间的范围是0，100，样本数据分组为0，20），20，40），40，60），60，80），80，1002（1）求直方图中x的值；8（2）定义运动的时间不少于1小时的学生称为“热爱运动”，若该校有高一学生1200人，请估计有多少学生“热爱运动”；e（3）设m，n表示在抽取的50人中某两位同学每大运动的时间，且已知m，n40，60）80，100，
5、求事件“|mn|20”的概率A19如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC是边长为2的等边三角形D为AB中点/（）求证：BC1平面A1CD；A（）若四边形CBB1C1是正方形，且A1D=，求多面体CA1C1BD的体积=20已知椭圆C的中心在原点，焦点在y轴上，且长轴的长为4，离心率等于=（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C在第一象限的点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点A，B求证：直线AB的斜率为定值21己知函数f（x）=alnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y=2（1）求a、b的值；（2）当x0且x1时求证：f（x）
6、选做题（从以下三题中任选一题作答，若多做则按所做的第一题得分）选修4-1：几何证明选讲22如图，四边形ABCD内接于O，过点A作O的切钱EP交CB 的延长线于P，己知PAB=25（1）若BC是O的直径，求D的大小；（2）若DAE=25，求证：DA2=DCBP选修4-4：坐标系与参数方程23在平面直角坐标系xOy中己知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是=4（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标系方程；（2）直线l与曲线C相交于A、B两点，求AOB的值选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=|x2|（1）解不等式f（x）
7、+f（x+1）2（2）若a0，求证：f（ax）af（x）f（2a）2015-2016学年广东省揭阳市高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1已知集合A=x|x22x0，B=0，1，2，3，则AB=（）A1，2B0，1，2C1D1，2，3【考点】交集及其运算【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可【解答】解：由A中不等式变形得：x（x2）0，解得：0x2，即A=0，2，B=0，1，2，3，AB=0，1，2，故选：B【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2已知复数z满足（2z+1）i=2，则z=（）A12iB +iCiDi444783
8、4【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数的除法运算法则化简求解即可【解答】解：复数z满足（2z+1）i=2，则z=故选：C【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力3已知向量=（1，2），=（1，1），则（）=（）A8B5C4D4【考点】平面向量的坐标运算【分析】利用数量积的坐标运算性质即可得出【解答】解： =（2，3），（）=1（2）+23=8，故选：A【点评】本题考查了数量积的坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题4若方程f（x）2=0在区间（0，+）上有解，则函数y=f（x）的图象可能是（）ABCD【考点】函数的图象【分析】由题意可得在区间（0，+）上，
9、f（x）2能够成立，结合所给的选项，得出结论【解答】解：方程f（x）2=0在区间（0，+）上有解，在区间（0，+）上，f（x）2能够成立，结合所给的选项，故选：D【点评】本题主要考查函数的图象，函数的值域，属于中档题5在等差数列an中，已知a3+a5=2，a7+a10+a13=9，则此数列的公差为（）AB3CD【考点】等差数列的通项公式【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，由此能求出此数列的公差【解答】解：在等差数列an中，a3+a5=2，a7+a10+a13=9，解得故选：A【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的合理运用6利用计算机在区
10、间（0，1）上产生随机数a，则不等式ln（3a1）0成立的概率是（）ABCD【考点】几何概型【分析】根据不等式的解法，利用几何概型的概率公式即可得到结论【解答】解：由ln（3a1）0得a，则用计算机在区间（0，1）上产生随机数a，不等式ln（3a1）0成立的概率是P=，故选：C【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，比较基础7抛物线y2=8x的焦点到双曲线x2=1的渐近线的距离是（）ABC1D【考点】双曲线的简单性质【分析】先确定抛物线的焦点位置，进而可确定抛物线的焦点坐标，再由题中条件求出双曲线的渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论【解答】解：抛物线y2=8x的焦点在x轴上，且
11、p=4，抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0），由题得：双曲线x2=1的渐近线方程为xy=0，F到其渐近线的距离d=故选：B【点评】本题考查抛物线的性质，考查双曲线的基本性质，解题的关键是定型定位，属于基础题8函数f（x）=cos2（x）cos2（x+）的最大值和最小正周期分别为（）A，B1，C，D1，【考点】正弦函数的图象；三角函数的化简求值【分析】使用诱导公式对f（x）进行化简，【解答】解：f（x）=cos2（x+）cos2（x+）=sin2（x+）cos2（x+）=cos（2x+）=sin2xf（x）的最大值为1，周期T=故选：B【点评】本题考查了三角函数的恒等变换和正弦函数的性质，观察
12、两角的关系，用一个角表示出另一个角是解题关键，属于中档题9 某人以15万元买了一辆汽车，此汽车将以每年20%的速度折旧，如图是描述汽车价值变化的算法流程图，则当n=4吋，最后输出的S的值为（）A9.6B7.68C6.144D4.9152【考点】程序框图【分析】由题意，模拟执行程序，根据流程计算S的值即可得解【解答】解：由题意可知，设汽车x年后的价值为S，则S=15（120%）x，结合程序框图易得当n=4时，S=15（120%）4=6.144故选：C【点评】本题考查了函数在实际问题中的应用，关键是运用等比数列的通项公式求解，属于基础题10己知棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1的一个面A1B
13、1C1D1在一半球底面上，且A，B、C，D四个顶点都在此半球面上，則此半球的体积为（）A4B2C16D8【考点】球的体积和表面积【分析】先求正方体的底面对角线的长，再求球的半径，然后求半球的体积【解答】解：正方体的顶点A、B、C、D在半球的底面内，顶点A1、B1、C1、D1在半球球面上，底面ABCD的中心到上底面顶点的距离就是球的半径=，半球的体积： =4故选：A【点评】本题考查球内接多面体的知识，考查空间想象能力，是基础题11已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若+2=，则|QF|=（）A3B4C6D8【考点】抛物线的简单性质【分析】过Q向
14、准线l作垂线，垂足为Q，根据已知条件，结合抛物线的定义得=，即可得出结论【解答】解：如图，根据已知条件，结合抛物线的定义得=，|QQ|=6，|QF|=6故选：C【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、向量的共线，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12若关于x的方程4sin2xmsinx+1=0在（0，）内有两个不同的实数解，则实数m的取值范围为（）Am4或m4B4m5C4m8Dm5或m=4【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】利用换元法，结合三角函数的性质以及一元二次方程与一元二次函数之间的关系进行求解即可【解答】解：设t=sinx，则0t1，则方程等价为f（t）=4t2mt+1=
15、0在（0，1内有唯一解，即或f（1）=5m0，得m=4或m5故选：D【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法转化为一元二次函数和一元二次方程是解决本题的关键二、填空题13已知f（x）=，则f（f（2）=4【考点】函数的值【分析】利用分段函数的性质求解【解答】解：f（x）=，f（2）=16，f（f（2）=f（16）=4故答案为：4【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用14设变量x，y满足约束条件，则z=x3y的最小值8【考点】简单线性规划【分析】作出变量x，y满足约束条件所对应的平面区域，采用直线平移的方法，将直线l：平移使它经过区域上顶点
16、A（2，2）时，目标函数达到最小值8【解答】解：变量x，y满足约束条件所对应的平面区域为ABC如图，化目标函数z=x3y为 将直线l：平移，因为直线l在y轴上的截距为，所以直线l越向上移，直线l在y轴上的截距越大，目标函数z的值就越小，故当直线经过区域上顶点A时，将x=2代入，直线x+2y=2，得y=2，得A（2，2）将A（2，2）代入目标函数，得达到最小值zmin=232=8故答案为：8【点评】本题考查了用直线平移法解决简单的线性规划问题，看准直线在y轴上的截距的与目标函数z符号的异同是解决问题的关键15如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一正方体被截去一部分后所得几何体的三视图，
17、则被截去部分的几何体的表面积为54+18【考点】由三视图求面积、体积【分析】作出几何体的直观图，观察截去几何体的结构特征，代入数据计算【解答】解：由三视图可知正方体边长为6，截去部分为三棱锥，作出几何体的直观图如图所示：被截去的几何体的表面积S=+（6）2=54+18故答案为54+18【点评】本题考查了常见几何体的三视图和结构特征，属于基础题16数列an的递项公式an=（1）n2n+ncos（n），其前n项和为Sn，则S10等于687【考点】数列的求和【分析】利用分组求和法和余弦函数性质求解【解答】解：数列an的递项公式an=（1）n2n+ncos（n），其前n项和为Sn，S10=（2）+（2
18、）2+（2）10+cos+2cos2+10cos10=+5=687故答案为：687【点评】本题考查数列的前10项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17已知a，b，c分别是ABC内角A，B，C的对边，且csinA=acosC（I）求C的值；（）若c=2a，b=2，求ABC的面积【考点】正弦定理【分析】（I）由题意和正弦定理可得sinCsinA=sinAcosC，由三角形内角的范围和同角三角函数基本关系可得C=；（）由余弦定理可得a的方程，解方程代入S=absinC，计算可得【解答】解：（I）a，b，c分别是ABC内角
19、A，B，C的对边，且csinA=acosC，sinCsinA=sinAcosC， sinCsinAsinAcosC=0，sinC=cosC，tanC=，由三角形内角的范围可得C=；（）c=2a，b=2，C=，由余弦定理可得c2=a2+b22abcosC，4a2=a2+124a，解得a=1+，或a=1（舍去）ABC的面积S=absinC=【点评】本题考查解三角形，涉及正余弦定理和三角形的面积公式，属基础题18某中学随机抽取50名高一学生调查其每天运动的时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，运动的时间的范围是0，100，样本数据分组为0，20），20，40），40，6
20、0），60，80），80，100（1）求直方图中x的值；（2）定义运动的时间不少于1小时的学生称为“热爱运动”，若该校有高一学生1200人，请估计有多少学生“热爱运动”；（3）设m，n表示在抽取的50人中某两位同学每大运动的时间，且已知m，n40，60）80，100，求事件“|mn|20”的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图【分析】（1）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1的性质能求出x（2）由频率分布图求出运动时间不少于1小时的频率，由此能估计有多少名学生“热爱运动”（3）由直方图得成绩在40，60）的人数为3人，成绩在80，100的人数为2人，利用列举法能求出
21、事件“|mn|20”的概率【解答】解：（1）由频率分布直方图，得：20（0.002+0.0032+x+0.025）=1，解得x=0.017（2）由频率分布图得运动时间不少于1小时的频率为：20（0.002+0.003）=0.1，估计有12000.1=120名学生“热爱运动”；（3）由直方图得成绩在40，60）的人数为50200.003=3人，设为A、B、C，成绩在80，100的人数为50200.002=2人，设为x，y，若m，n40，60），80，100内时，则有Ax，Ay，Bx，By，Cx，Cy，共有6种情况，所以基本事件总数为10种，事件“|mn|20”所包含的基本事件个数有6种，P（|m
22、n|20）=【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用19如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC是边长为2的等边三角形D为AB中点（）求证：BC1平面A1CD；（）若四边形CBB1C1是正方形，且A1D=，求多面体CA1C1BD的体积4447834【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定【分析】（1）取AC1中点E，连结DE，由中位线定理得出DEBC1，故而BC1平面A1CD；（2）由勾股定理的逆定理可证明AA1平面ABC，然后利用作差法求出多面体的体积【解答】解：（I）连结AC1，设AC1A1C=E，连结DE，则
23、E是AC1的中点，D是AB的中点，DEBC1，又DE平面A1CD，BC1平面A1CD，BC1平面A1CD（II）四边形CBB1C1是正方形，ABC是边长为2的等边三角形，D为AB中点AD=1，AA1=B1B=BC=2，AD2+A1A2=5=A1D2，A1AAD，又B1BBC，B1BA1A，A1ABC，又AD平面ABC，BC平面ABC，ADBC=B，A1A平面ABC，SABC=S=，SACD=多面体CA1C1BD的体积V=VVV=SABCAA1SACDAA1SBB1=多面体CA1C1BD的体积为【点评】本题考查了线面平行的判定，多面体的体积计算，属于中档题20已知椭圆C的中心在原点，焦点在y轴上
24、，且长轴的长为4，离心率等于（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C在第一象限的点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点A，B求证：直线AB的斜率为定值【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）设椭圆方程为=1，（ab0），由长轴的长为4，离心率等于，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程（2）由椭圆，得P（1，），设PA的直线方程为y=k（x1），与椭圆联立，得（2+k2）x2+2k（）x+（）24=0，设A（xA，xB），B（xB，yB），求出xA，同理，求出xB，由此能证明直线AB的斜率为定值【解答】解：（1）椭圆C的中心在原点，焦点在y轴上，设椭
25、圆方程为=1，（ab0），长轴的长为4，离心率等于，解得a=2，b=，椭圆C的方程为=1证明：（2）由椭圆，得P（1，），由题意知两直线PA、PB的斜率必存在，设PA的斜率为k，则PA的直线方程为y=k（x1），由，得（2+k2）x2+2k（）x+（）24=0，设A（xA，yA），B（xB，yB），则xP=1，xA=，同理，得，则xBxA=，yByA=k（xB1）k（xA1）=，直线AB的斜率kAB=为定值【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率为定值的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理的合理运用21己知函数f（x）=alnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处
26、的切线方程为y=2（1）求a、b的值；（2）当x0且x1时求证：f（x）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出f（x）的导数，由已知切线方程，可得f（1）=2，f（1）=0，解方程可得a，b的值；（2）讨论x1，0x1时，原不等式的等价变形，设g（x）=x2lnx，求得导数，判断单调性，即可得证【解答】解：（1）函数f（x）=alnx+的导数为f（x）=，曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y=2，可得f（1）=2b=2，f（1）=ab=0，解得a=b=1；（2）证明：当x1时，f（x），即为lnx+1+lnx+，即x2lnx0，当0
27、x1时，f（x），即为x2lnx0，设g（x）=x2lnx，g（x）=1+=0，可得g（x）在（0，+）递增，当x1时，g（x）g（1）=0，即有f（x）；当0x1时，g（x）g（1）=0，即有f（x）综上可得，当x0且x1时，f（x）都成立【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，考查不等式的证明，注意运用分类讨论的思想方法，以及构造函数法，运用单调性证明，考查运算能力，属于中档题选做题（从以下三题中任选一题作答，若多做则按所做的第一题得分）选修4-1：几何证明选讲22如图，四边形ABCD内接于O，过点A作O的切钱EP交CB 的延长线于P，己知PAB=25（1）若BC是O的直径，求
28、D的大小；（2）若DAE=25，求证：DA2=DCBP【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定【分析】（1）由弦切角定理得ACB=PAB=25，从而ABC=65，由此利用四边形ABCD内接于O，能求出D（2）由DAE=25，ACD=PAB，D=PBA，从而ADCPBA，由此能证明DA2=DCBP【解答】解：（1）EP与O相切于点A，ACB=PAB=25，又BC是O的直径，ABC=65，四边形ABCD内接于O，ABC+D=180，D=115证明：（2）DAE=25，ACD=PAB，D=PBA，ADCPBA，又DA=BA，DA2=DCBP【点评】本题考查角的大小的求法，考查一线段平方是
29、另两线段乘积的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意弦切角定理的合理运用选修4-4：坐标系与参数方程23（2016银川校级一模）在平面直角坐标系xOy中己知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是=4（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标系方程；（2）直线l与曲线C相交于A、B两点，求AOB的值【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（1）直线l消去参数t，能求出直线l的普通方程，曲线C的极坐标方程是2=16，由此能求出曲线C的直角坐标系方程（2）求出圆心C（0，0）到直线l： +y4=0的距离为2，由此能求
30、出AOB的值【解答】解：（1）直线l的参数方程为（t为参数），直线l的普通方程为曲线C的极坐标方程是=4，2=16，曲线C的直角坐标系方程为x2+y2=16（2）C的圆心C（0，0）到直线l： +y4=0的距离：d=2，cos，0，【点评】本题考查直线的普通方程和曲线的直角坐标系方程的求法，考查角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标和直角坐标互化公式的合理运用选修4-5：不等式选讲24（2016银川校级一模）已知函数f（x）=|x2|（1）解不等式f（x）+f（x+1）2（2）若a0，求证：f（ax）af（x）f（2a）【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式【分析】（1）由条件利用绝对值的意义求得不等式f（x）+f（x+1）2的解集（2）由条件利用绝对值三角不等式，证得不等式成立【解答】（1）解：不等式f（x）+f（x+1）2，即|x1|+|x2|2|x1|+|x2|表示数轴上的点x到1、2对应点的距离之和，而2.5 和0.5对应点到1、2对应点的距离之和正好等于2，不等式的解集为0.5，2.5（2）证明：a0，f（ax）af（x）=|ax2|a|x2|=|ax2|+|2ax|ax2+2aax|=|2a2|=f（2a2），f（ax）af（x）f（2a）成立【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值三角不等式，属于基础题高考资源网版权所有，侵权必究！
